移動(dòng)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中抑制病毒傳播模型

吳三柱，李 鵬，吳三斌

(1.西安石油大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，西安 710065； 2.陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，西安 710119；3.榆林職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理工程系，陜西 榆林 719100)

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)安全逐漸成為一個(gè)潛在的巨大問題,例如，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)漏洞、蠕蟲攻擊、惡意代碼攻擊等,因此，網(wǎng)絡(luò)安全問題日益受到重視[1-3]。

近年來，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者致力于研究病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播[4-15],根據(jù)病毒傳播的狀態(tài)和轉(zhuǎn)換關(guān)系，分別提出SI(Susceptible-Infected)模型[9]、SIS(Susceptible-Infected-Susceptible)模型[10]、SIR(Susceptible-Infected-Removed)模型[11]、SIRS(Susceptible-Infected-Removed-Susceptible)模型[12]、SEIRS(Susceptible-Exposed-Infected-Removed-Susceptible)模型[13]等。文獻(xiàn)[9-10]分別提出了SI模型和SIS模型，網(wǎng)絡(luò)中都只有易感節(jié)點(diǎn)和感染節(jié)點(diǎn)，SI模型中易感節(jié)點(diǎn)被感染節(jié)點(diǎn)感染病毒后終身處于感染狀態(tài)，而SIS模型中易感節(jié)點(diǎn)被感染節(jié)點(diǎn)感染病毒后可以治愈，治愈后可以再次恢復(fù)為易感節(jié)點(diǎn);文獻(xiàn)[11-12]分別研究了SIR模型和SIRS模型，這兩種模型中的網(wǎng)絡(luò)都具有三種狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，即在SI模型和SIS模型的狀態(tài)中增加免疫節(jié)點(diǎn),而SIR模型和SIRS模型的最大區(qū)別也是被免疫的節(jié)點(diǎn)能否再次被感染;文獻(xiàn)[13]研究了SEIRS模型，在SIRS模型的基礎(chǔ)上增加潛伏期狀態(tài)，即易感節(jié)點(diǎn)被感染后先進(jìn)入潛伏狀態(tài)。這些模型的研究大多基于靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，即網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖不隨時(shí)間變化，而現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)是移動(dòng)的且具有一定的生命周期。

因此，迫切需要研究移動(dòng)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播模型。本文基于以上進(jìn)展，提出了更加符合現(xiàn)實(shí)中病毒傳播的SIRD(Susceptible-Infected-Recovered-Dead)模型，該模型既考慮了病毒節(jié)點(diǎn)在移動(dòng)過程中具有移動(dòng)和停留狀態(tài)，又考慮了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)因物理器件的損壞或電量的耗盡而不能再發(fā)揮作用。

1 網(wǎng)絡(luò)模型

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)區(qū)域是一個(gè)球體表面(因?yàn)榍蝮w表面無邊界，節(jié)點(diǎn)在每個(gè)周期內(nèi)掃過的面積不變)，其半徑為R1，則球體表面積A為：

A=4πR12

(1)

網(wǎng)絡(luò)中共有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)均勻分布在區(qū)域內(nèi)，則平均密度ρ為：

ρ=N/A

(2)

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1，網(wǎng)絡(luò)中共有4種狀態(tài)節(jié)點(diǎn)，分別為易感節(jié)點(diǎn)(Susceptible, S)、感染節(jié)點(diǎn)(Infected, I)、免疫節(jié)點(diǎn)(Recovered, R)、死亡節(jié)點(diǎn)(Dead, D)，分別用S(t)、I(t)、R(t)、D(t)表示在任意t時(shí)刻4種節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)區(qū)域中的比例。為了維持網(wǎng)絡(luò)的正常生命周期，新的節(jié)點(diǎn)持續(xù)加入，假設(shè)新加入的節(jié)點(diǎn)為易感節(jié)點(diǎn)，加入率為α。要使網(wǎng)絡(luò)中存活節(jié)點(diǎn)數(shù)維持不變，則死亡率也為α，由此可得：

(3)

(4)

由式(3)和(4)可得，在任意時(shí)刻t都有：

S(t)+R(t)+I(t)=1

(5)

圖1 節(jié)點(diǎn)之間狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig. 1 State transition relationships between nodes

為了更好地刻畫網(wǎng)絡(luò)區(qū)域中感染節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)行為，將運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T劃分為多個(gè)周期，每個(gè)周期由移動(dòng)時(shí)間Tmove和停留時(shí)間Tstay(在停留期間感染節(jié)點(diǎn)不再感染通信范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn))兩部分組成，可以劃分為Tnumber個(gè)周期，如圖2所示。

圖2 時(shí)間T由多個(gè)周期組成Fig. 2 Time T consists of multiple periods

按照上述定義，則有：

Tnumber=?T/(Tmove+Tstay)」

(6)

假設(shè)感染節(jié)點(diǎn)以隨機(jī)方向模型[16]為移動(dòng)方式，其通信半徑為r，移動(dòng)速度為V，則感染節(jié)點(diǎn)在時(shí)間T內(nèi)移動(dòng)總時(shí)間為Ttotal，掃過的面積為SArea。圖3給出一個(gè)周期內(nèi)節(jié)點(diǎn)掃過的面積示意圖。

圖3 一個(gè)周期內(nèi)節(jié)點(diǎn)掃過的面積Fig. 3 Area swept by nodes in one period

如果T-Tnumber(Tmove+Tstay)

Ttotal=T-TnumberTstay

(7)

如果T-Tnumber(Tmove+Tstay)≥Tmove，則：

Ttotal=Tmove+TnumberTmove

(8)

SArea=πr2Tnumber+2rVTtotal

(9)

一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)在T時(shí)間內(nèi)掃過的區(qū)域內(nèi)有易感節(jié)點(diǎn)數(shù)CS(t)為：

CS(t)=SAreaρS(t)

(10)

然而，易感節(jié)點(diǎn)進(jìn)入感染節(jié)點(diǎn)范圍內(nèi)并不意味著一定能夠感染，事實(shí)上感染節(jié)點(diǎn)通過一定概率φ不斷發(fā)送探測(cè)包來熟知通信范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，一旦發(fā)現(xiàn)易感節(jié)點(diǎn)后，感染節(jié)點(diǎn)才發(fā)送病毒，進(jìn)而以概率δ成功感染周邊易感節(jié)點(diǎn)。假設(shè)此過程中感染節(jié)點(diǎn)發(fā)送探測(cè)包所耗費(fèi)時(shí)間忽略不計(jì),則感染節(jié)點(diǎn)成功感染易感節(jié)點(diǎn)概率σ為：

σ=φδ

(11)

則單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)成功感染易感節(jié)點(diǎn)數(shù)NS(t)為：

NS(t)=σCS(t)/T

(12)

將式(11)、(10)、(9)、(2)、(1)代入式(12)得：

(13)

令β為：

(14)

則Ns(t)為：

Ns(t)=βS(t)

(15)

2 模型的建立與分析

2.1 模型的建立

根據(jù)圖1所示節(jié)點(diǎn)之間狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立如下SIRD病毒傳播動(dòng)力學(xué)方程：

(16)

2.2 平衡點(diǎn)存在性分析

由式(5)可得在任意時(shí)間t總有R(t)=1-S(t)-I(t)，因此只需要求式(16)中S(t)和I(t)，即求下面二維系統(tǒng)模型:

(17)

(18)

(19)

因此，可以得到式(17)的基本再生數(shù)R0為：

(20)

定理1 當(dāng)R0>1時(shí)，式(17)不僅有無病平衡解P0，還有地方病平衡解P1；當(dāng)R0≤1時(shí)，式(17)只有無病平衡解P0。

證明 首先證明P0的存在性。

因?yàn)?<α<1,0<ε<1,所以S0=α/(α+ε)>0即P0(S0，I0)始終存在。

其次證明P1的存在性。

①當(dāng)R0>1時(shí)，即：

②當(dāng)R0<1時(shí)，即：

αβ/[(α+ε)(α+λ)]<1

③當(dāng)R0=1時(shí)，即：αβ=(α+ε)(α+λ)，P1=P0，因此，式(17)只有唯一的解P1。

證畢。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.3.1 局部穩(wěn)定性分析

為了探討系統(tǒng)(17)在平衡點(diǎn)Px(Sx，Ix)處的穩(wěn)定性，其中P0、P1∈Px，系統(tǒng)(17)在Px處的Jacobian矩陣為：

(21)

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡解P0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明 將P0(α/(α+ε),0)代入式(21)得到P0處的Jacobian矩陣為：

(22)

J(P0)的特征多項(xiàng)式為：

a2Z2+a1Z+a0=0

(23)

當(dāng)R0=1時(shí)，同樣可得式(17)只有唯一的解P0。同上可得無病平衡解P0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理3 當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡解P1是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

(24)

J(P0)的特征多項(xiàng)式為：

m2Z2+m1Z+m0=0

(25)

其中m0=αβ-(α+ε)(α+λ)，m1=αβ/(α+λ)，m2=1。

2.3.2 全局穩(wěn)定性分析

定理4 當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡解P0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明 當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(17)只有無病平衡解P0。由李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定性理論[18]，構(gòu)造函數(shù)Q(S，I)=I，由于在時(shí)間趨于無窮大時(shí)，無病平衡保證了S≤S0=α/(α+ε)，則Q函數(shù)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)為：

I(βα/(α+ε)-λ-α)=

I[αβ-(α+ε)(α+λ)]/(α+ε)=

(α+λ)I[αβ/[(α+ε)(α+λ)]-1]=

(α+λ)I(R0-1)≤0

則根據(jù)李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定性理論，無病平衡解P0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，病毒最終消亡。

定理5 當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡解P1是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明 當(dāng)R0>1時(shí)，確保了地方病平衡解P1的存在性。構(gòu)造Dulac函數(shù)W(S，I)=1/I，令

M=α-βSI-εS-αS

N=βSI-λI-αI

則：

WM=α/I-(ε/I+α/I+β)S

WN=βS-λ-α

則根據(jù)Dulac判定定理可知，系統(tǒng)(17)在第一象限無閉軌線，故地方病平衡點(diǎn)P1是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，病毒將持續(xù)存在。

綜上所述，由定理2～5可知：當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡解P0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡解P1是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。在病毒傳播中物理意義：1)當(dāng)控制基本再生數(shù)R0≤1時(shí)，隨著時(shí)間的推移，在某一刻，網(wǎng)絡(luò)中的感染節(jié)點(diǎn)消亡，即I0=0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別為S0、1-S0。此時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中存活的節(jié)點(diǎn)只有易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)且密度維持不變，從而有效地將網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺；2)當(dāng)控制基本再生數(shù)R0>1時(shí)，隨著時(shí)間的推移，在某一刻，網(wǎng)絡(luò)中的感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別變?yōu)楹愣ㄖ礗0、S0、1-I0-S0。此時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中存活的感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)密度維持不變，從而有效地控制病毒在網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散。

3 實(shí)驗(yàn)評(píng)估

由上面理論可知：當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡解P0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)存在無病平衡解且該解是全局穩(wěn)定的，病毒最終消亡；當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡解P1是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)存在地方病平衡解且該解是全局穩(wěn)定的，病毒將持續(xù)傳播并穩(wěn)定在一定的比例。為了驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性和一致性，本文采用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，通過分析各參數(shù)與R0關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論。仿真環(huán)境使用Matlab軟件，利用控制變量法來實(shí)現(xiàn)。在求解過程中，時(shí)間復(fù)雜度O(f(n))中的f(n)與仿真總時(shí)長(zhǎng)成正比，故其時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。實(shí)驗(yàn)用到參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Tab. 1 Simulation parameter setting

3.1 通信半徑r對(duì)傳播的影響

由式(14)和(20)可得：

(26)

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(26)得：

9πr2+10 800r-50 000π≤0

-396.188 1≤r≤14.022 5

故R0≤1，即01，即r>14.022 5。分別取r=5、10、20、30，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖4和圖5所示。

當(dāng)r=5、10時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖4和圖5的(a)和(b)可知，r=5、10時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度趨于相等的恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)r=20、30時(shí)，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.345 4，0.154 6)和P1(0.224 7，0.275 3)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)將持續(xù)感染易感節(jié)點(diǎn)并穩(wěn)定在一定的比例。從圖4和圖5(c)、(d)可知，r=20、30時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴(kuò)大傳播。

圖4 不同r下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 4 I(t) changing with time t under different r

圖5 不同r下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 5 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different r

3.2 移動(dòng)速度V對(duì)傳播的影響

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(26)得：V≤4.283，所以R0≤1，即01，即V>4.283。分別取V=0.5、2.5、5.0、9.5，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖6和圖7所示。

圖6 不同V下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 6 I(t) changing with time t under different V

當(dāng)V=0.5、2.5時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖6和圖7的(a)和(b)可知，V=0.5、2.5時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度趨于相等的恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)V=5.0、9.5時(shí)，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.429 4，0.070 6)和P1(0.227 7，0.272 3)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)將持續(xù)感染易感節(jié)點(diǎn)并穩(wěn)定在一定的比例。從圖6和圖7的(c)和(d)可知，V=5.0、9.5時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴(kuò)大傳播。

圖7 不同V下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 7 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different V

3.3 節(jié)點(diǎn)密度ρ對(duì)傳播的影響

由式(14)和式(20)可得：

(27)

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(27)得：ρ≤0.011 28，所以R0≤1，即0<ρ≤0.011 28；R0>1，即ρ>0.011 28。分別取ρ=0.005、0.010、0.020、0.030，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖8和圖9所示。

圖8 不同ρ下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 8 I(t) changing with time t under different ρ

圖9 不同ρ下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 9 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different ρ

當(dāng)ρ=0.005、0.01時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖8和圖9的(a)和(b)可知，ρ=0.005、0.01時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度趨于相等的恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)ρ=0.02、0.03時(shí)，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.282，0.218)和P1(0.188，0.312)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)將持續(xù)感染易感節(jié)點(diǎn)并穩(wěn)定在一定的比例。從圖8和圖9的(c)和(d)可知，ρ=0.02、0.03時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴(kuò)大傳播。

3.4 易感節(jié)點(diǎn)免疫率ε對(duì)傳播的影響

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(26)得：ε≥0.041 2，所以R0≤1，即ε≥0.041 2；R0>1，即ε<0.041 2。分別取ε=0.02、0.03、0.09、0.9，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖10和圖11所示。

圖10 不同ε下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 10 I(t) changing with time t under different ε

圖11 不同ε下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 11 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different ε

當(dāng)ε=0.09、0.9時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.526 3，0)和P0(0.1，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖10和圖11的(c)和(d)可知，ε=0.09、0.9時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴(kuò)大傳播。

當(dāng)ε=0.02、0.03時(shí)，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.708 2，0.075 1)和P1(0.708 2，0.039 7)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)將持續(xù)感染易感節(jié)點(diǎn)并穩(wěn)定在一定的比例。從圖10和圖11的(a)和(b)可知，ε=0.02、0.03時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度趨于相等的恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

3.5 感染節(jié)點(diǎn)病毒查殺率λ對(duì)傳播的影響

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(26)得：λ≥0.041 2，所以R0≤1，即λ≥0.041 2；R0>1，即λ<0.041 2。分別取λ=0.025、0.03、0.09、0.9，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖12和圖13所示。

圖12 不同λ下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 12 I(t) changing with time t under different λ

圖13 不同λ下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 13 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different λ

當(dāng)λ=0.09、0.9時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖12和圖13的(c)和(d)可知，λ=0.09、0.9時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)、易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴(kuò)大傳播。

當(dāng)λ=0.025、0.03時(shí)，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.442 6，0.091 8)和P1(0.460 3，0.061)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)將持續(xù)感染易感節(jié)點(diǎn)并穩(wěn)定在一定的比例。從圖12和圖13的(a)和(b)可知，λ=0.025、0.03時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度趨于相等的恒定值，即網(wǎng)絡(luò)中的病毒全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

3.6 加入比例(死亡率)α對(duì)傳播的影響

令R0≤1且將各參數(shù)代入式(26)得：

2 500πα2+(482π-2 160)α+25π≥0

上面等式恒成立，故0<α<1，所以R0≤1，即0<α<1；R0>1，無解。分別取α=0.1、0.3、0.6、0.9，可得時(shí)間與節(jié)點(diǎn)密度變化曲線，如圖14和圖15所示。

當(dāng)α=0.1、0.3、0.6、0.9時(shí)，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5,0)、P0(0.75,0)、P0(0.8571,0)、P0(0.9,0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)最終消亡。從圖14和圖15可知，α=0.1、0.3、0.6、0.9時(shí)，隨著時(shí)間的推移，感染節(jié)點(diǎn)的密度都趨于0，易感節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度分別趨于恒定值，α值越大感染節(jié)點(diǎn)趨于0用時(shí)越短，即α的值只要在取值范圍內(nèi)且其取值越大病毒被查殺的速度越快，網(wǎng)絡(luò)中的病毒最終全部查殺完畢，網(wǎng)絡(luò)趨于全局穩(wěn)定狀態(tài)。

圖14 不同α下I(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 14 I(t) changing with time t under different α

圖15 不同α下S(t)，I(t)，R(t)隨時(shí)間t變化曲線Fig. 15 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different α

當(dāng)α=0時(shí)，無病平衡解為P0(0，0)是全局穩(wěn)定的，感染節(jié)點(diǎn)和易感節(jié)點(diǎn)最終消亡，即此時(shí)變?yōu)镾IR模型，如圖16。

圖16 α=0時(shí)S(t)，I(t)，R(t) 隨時(shí)間t變化曲線Fig. 16 S(t), I(t) and R(t) changing with time t at α=0

以上通過對(duì)節(jié)點(diǎn)通信半徑、移動(dòng)速度、密度、易感節(jié)點(diǎn)免疫率、感染節(jié)點(diǎn)病毒查殺率和節(jié)點(diǎn)死亡率等6個(gè)參數(shù)討論及仿真實(shí)驗(yàn)。綜上可得仿真結(jié)果與理論一致，因此本文模型可以很好地對(duì)仿真參數(shù)控制，進(jìn)而達(dá)到預(yù)期效果。

4 結(jié)語

針對(duì)移動(dòng)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中現(xiàn)有的病毒傳播模型，本文提出了更加符合現(xiàn)實(shí)中病毒傳播的SIRD模型。之后基于該模型建立了微分方程組，分析了平衡點(diǎn)存在性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，得出結(jié)論，當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)存在無病平衡解且該解是全局穩(wěn)定的，病毒最終消亡；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)存在地方病平衡解且該解是全局穩(wěn)定的，病毒將持續(xù)傳播并穩(wěn)定在一定的比例。最后基于R0討論了節(jié)點(diǎn)通信半徑、移動(dòng)速度、密度、易感節(jié)點(diǎn)免疫率、感染節(jié)點(diǎn)病毒查殺率和節(jié)點(diǎn)死亡率對(duì)移動(dòng)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的影響，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的正確性和一致性。