基于組合相關(guān)函數(shù)的CosBOC(10,5)信號(hào)無模糊跟蹤方法

袁志鑫，周艷玲

(湖北大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，武漢 430062)

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)發(fā)展至今已被廣泛地應(yīng)用于軍事和民用的諸多領(lǐng)域。隨著越來越多導(dǎo)航信號(hào)的投入使用，衛(wèi)星導(dǎo)航波段的頻率資源競(jìng)爭(zhēng)越來越激烈。二進(jìn)制偏移載波(Binary Offset Carrier，BOC)[1]信號(hào)使用正弦或余弦相位方波副載波來調(diào)制偽隨機(jī)噪聲碼，能夠?qū)崿F(xiàn)頻段共用和頻譜分離。由于BOC信號(hào)自相關(guān)函數(shù)主峰較窄，因此它比相同碼率的二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)信號(hào)具有更好的碼跟蹤性能和抗多徑性能；而BOC信號(hào)并非十全十美，它的自相關(guān)函數(shù)除了主峰之外還存在多個(gè)副峰，這使得鑒別器曲線存在多個(gè)錯(cuò)誤的鎖定點(diǎn)，容易使接收機(jī)處于模糊捕獲和跟蹤的狀態(tài)[2]。為了更好地利用BOC信號(hào)，必須采取措施抑制或消除跟蹤模糊。

目前針對(duì)BOC信號(hào)跟蹤模糊有一些經(jīng)典解決方案。1)類二進(jìn)制相移鍵控法(Binary Phase Shift Keying Like，BPSK Like)[3-4]。將本地參考信號(hào)設(shè)置為BPSK調(diào)制信號(hào)，并將其調(diào)制到BOC信號(hào)頻譜的主瓣中心頻率上，再與接收到的BOC信號(hào)相關(guān)，得到的互相關(guān)函數(shù)與BPSK調(diào)制信號(hào)的自相函數(shù)相似，是單峰無模糊的，只是此互相關(guān)函數(shù)相對(duì)BOC信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)主峰變寬了，且由于接收信號(hào)和本地信號(hào)不匹配，造成了信噪比損耗和跟蹤精度的下降。2)峰跳法(Bump Jump)[5]。相對(duì)常規(guī)接收機(jī)而言增加了遠(yuǎn)超前和遠(yuǎn)滯后本地復(fù)現(xiàn)信號(hào)，通過將遠(yuǎn)超前和遠(yuǎn)滯后相關(guān)器的輸出幅度與即時(shí)相關(guān)器的輸出幅度進(jìn)行比較，峰跳法可以確定所跟蹤的峰是否為主峰。當(dāng)信噪比較大時(shí)該方法效果較好；當(dāng)信噪比較小時(shí)該方法相對(duì)遜色。3)偽相關(guān)函數(shù)(Pseudo Correlation Function，PCF)方法[6]。在本地采用兩路經(jīng)過特殊設(shè)計(jì)的信號(hào)分別與接收信號(hào)相關(guān)，將得到互相關(guān)函數(shù)再經(jīng)過非線性組合獲得無副峰相關(guān)函數(shù)以消除模糊性的問題。4)子載波相位消除法(Sub Carrier Phase Cancellation technique，SCPC)。在本地環(huán)路上增加了4個(gè)子載波，將本地各個(gè)子載波與接收信號(hào)進(jìn)行相關(guān)求和以得到無模糊的相關(guān)函數(shù)。該方法需要額外估計(jì)子載波的相位以及額外的相關(guān)器，增加了跟蹤環(huán)路的復(fù)雜度。4)組合相關(guān)函數(shù)法[7-8]。將本地參考信號(hào)經(jīng)過一系列采樣，獲得不同時(shí)延的輔助信號(hào)加權(quán)組合再與接收的BOC信號(hào)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。以無模糊單峰相關(guān)函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)來求得加權(quán)系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)無模糊跟蹤。該方法采樣點(diǎn)較多，代價(jià)是計(jì)算量相對(duì)比較大。

文中將正弦相位和余弦相位方波副載波的BOC調(diào)制分別表示為SinBOC(m,n)或CosBOC(m,n)[9]，其中n表示偽碼碼率與1.023 MHz的比值，m表示方波副載波頻率與1.023 MHz的比值。文獻(xiàn)[10-11]中提出的基于副峰消除技術(shù)的無模糊跟蹤方法，都只僅適用于SinBOC(m,n)信號(hào)而不適用于CosBOC(m,n)信號(hào)。文獻(xiàn)[7,12-13]中提出的基于組合相關(guān)方法的方案僅針對(duì)SinBOC(m,n)信號(hào)，不適用CosBOC(m,n)信號(hào)。文獻(xiàn)[14]根據(jù)SinBOC(m,n)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)計(jì)了由不同加權(quán)系數(shù)和延遲組成的本地信號(hào)，運(yùn)算量較小，性能較好?？梢奀osBOC(m,n)信號(hào)跟蹤模糊減輕技術(shù)研究相對(duì)較薄弱，這主要是因?yàn)镃osBOC(m,n)信號(hào)相關(guān)函數(shù)相對(duì)SinBOC(m,n)信號(hào)更復(fù)雜，難以統(tǒng)一簡(jiǎn)潔地表達(dá)，減輕或消除CosBOC(m,n)信號(hào)的跟蹤模糊相對(duì)更困難。

因CosBOC(m,n)信號(hào)實(shí)際應(yīng)用信號(hào)僅2個(gè)：伽利略系統(tǒng)[15-16]E6頻段上的CosBOC(10,5)信號(hào)和E1頻段上的CosBOC(15,2.5)。本文僅針對(duì)應(yīng)用于伽利略系統(tǒng)E6頻段上的CosBOC(10,5)信號(hào)，提出了基于組合相關(guān)函數(shù)的無模糊跟蹤算法。該方法增加一路本地參考波形，由盡可能少的CosBOC(10,5)信號(hào)移位加權(quán)線性組合而成。加權(quán)系數(shù)的個(gè)數(shù)由其自相關(guān)函數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù)決定，從而大幅度減小了運(yùn)算量，并分析了跟蹤階段的碼跟蹤精度。該方法也適用于其他CosBOC(m,n)信號(hào)，但是由于不同的CosBOC(m,n)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)難以統(tǒng)一表達(dá)，加上m與n的比值較大時(shí)對(duì)應(yīng)相關(guān)函數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)也比較多，因此本文僅討論了CosBOC(10,5)信號(hào)，對(duì)其他CosBOC(m,n)信號(hào)也具有參考意義。

1 無模糊組合相關(guān)函數(shù)方法

僅僅考慮熱噪聲的影響時(shí)，從導(dǎo)航衛(wèi)星中接收到的CosBOC中頻信號(hào)可表示為：

nr(t)

(1)

其中：C為接收信號(hào)的功率；τ是傳播過程中的碼延遲；fIF是中頻載波頻率；θ0是載波初相位；nr(t)為帶限白噪聲。此白噪聲過程可以表示為：

nr(t)=nc(t) cos (2πfIFt)-ns(t) sin (2πfIFt)

(2)

其中：nc(t)和ns(t)是獨(dú)立分布的零均值高斯白噪聲過程，具有相同的雙邊功率譜密度N0。SCosBOC(t)是CosBOC信號(hào)的基帶表達(dá)式，可以表示為：

SCosBOC(t)=D(t-τ)c(t-τ)pCosBOC(t-τ)

(3)

其中：D(t-τ)表示為導(dǎo)航電文；c(t-τ)是偽碼；pCosBOC(t-τ)是余弦相位方波副載波，可表示為：

pCosBOC(t)=sign(cos(2πfst)); 0≤t≤1/fs

(4)

其中fs是方波副載波頻率。根據(jù)偽碼的相關(guān)性質(zhì)，接收的CosBOC(m,n)信號(hào)和本地信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)R(τ)最終等效于方波副載波的自相關(guān)函數(shù)(AutoCorrelation Function，ACF)，可表示為：

(5)

其中Tc表示一個(gè)偽碼碼片的持續(xù)時(shí)間。

定義k=2m/n，表示為BOC信號(hào)的調(diào)制階數(shù)。CosBOC(m,n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)在正負(fù)一個(gè)碼片周期[-Tc,Tc]內(nèi)的自相關(guān)函數(shù)有4k+1個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。相鄰轉(zhuǎn)折點(diǎn)之間的寬度為Ts/2，其中Ts=Tc/k表示為副載波的半周期。文中將這些4k+1個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的位置分別標(biāo)記為[-2k，-2k+1，…，-1，0，1，…，2k-1，2k]。由于CosBOC信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是分段線性的，相鄰轉(zhuǎn)折點(diǎn)之間的部分是線性的，因此取轉(zhuǎn)折點(diǎn)值進(jìn)行線性組合的結(jié)果也是線性的，這意味著通過控制轉(zhuǎn)折點(diǎn)的值可以控制目標(biāo)相關(guān)函數(shù)的形狀。

定義Rβ(τ)為目標(biāo)相關(guān)函數(shù)，目標(biāo)相關(guān)函數(shù)可以由其ACF移位加權(quán)獲得，可表示為：

(6)

其中：Wi表示轉(zhuǎn)折點(diǎn)i處的加權(quán)系數(shù)；R(τ-iTs/2)是不同延遲的CosBOC(m,n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。

為了消除跟蹤模糊，目標(biāo)相關(guān)函數(shù)的形狀應(yīng)為單峰三角形。為了獲得更好的跟蹤精度，相關(guān)函數(shù)最好與原自相關(guān)函數(shù)主峰相當(dāng)；同時(shí)為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)和計(jì)算，目標(biāo)互相關(guān)函數(shù)的過零點(diǎn)取CosBOC信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)是最理想的選擇。根據(jù)以上分析，可將目標(biāo)相關(guān)函數(shù)在零延遲時(shí)的組合相關(guān)結(jié)果設(shè)置為1，而目標(biāo)相關(guān)函數(shù)在其他轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的組合相關(guān)結(jié)果設(shè)置為0。于是可以把目標(biāo)相關(guān)函數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的值表示成以下向量的形式：

Rtag=[Rtag_-2k,…,Rtag_-1,Rtag_0,Rtag_1,…,Rtag_2k]T

(7)

其中Rtag_j表示位于j(j=-2k，-2k+1，…，-1,0，1,…，2k-1，2k)處的目標(biāo)相關(guān)值，根據(jù)以上分析可知：

(8)

如針對(duì)CosBOC(10,5)信號(hào)的ACF，共有17個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，則可以定義目標(biāo)相關(guān)函數(shù)表示為Rtag=[0，…，0，1，0，…，0]T，是一個(gè)17×1的向量，如圖1所示。

圖1 CosBOC(10,5)的自相關(guān)函數(shù)和目標(biāo)相關(guān)函數(shù)波形Fig. 1 Autocorrelation function and target correlation function waveforms of CosBOC(10,5)

由以上分析和式(6)，可將位于轉(zhuǎn)折點(diǎn)j處的目標(biāo)相關(guān)值表示為：

(9)

其中Ri-j表示位于轉(zhuǎn)折點(diǎn)i-j處的CosBOC(m,n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)值，當(dāng)|i-j|>2k時(shí)，Ri-j=0。

由式(7)和式(9)可知，針對(duì)4k+1個(gè)目標(biāo)相關(guān)值可建立4k+1個(gè)方程來求解目標(biāo)相關(guān)值。把4k+1個(gè)目標(biāo)相關(guān)值方程用以下矩陣的形式表示，每一行表示為一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)相關(guān)值方程：

Rtag=Racf×W

(10)

其中：

Racf=

W=(W-2kW-2k+1…W-1W0W1…W2k-1W2k)T

(11)

矩陣Racf中參數(shù)已知，可根據(jù)此式和矩陣相關(guān)性質(zhì)來求解加權(quán)系數(shù)矩陣W，得到加權(quán)系數(shù)矩陣如式(12)所示：

(12)

選擇應(yīng)用于伽利略系統(tǒng)E6頻段上的CosBOC(10,5)信號(hào)作為研究分析對(duì)象。根據(jù)式(12)求得CosBOC(10,5)對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)矩陣W如式(13)所示：

(14)

將該本地參考信號(hào)與接收信號(hào)相關(guān)，就可以得到目標(biāo)相關(guān)函數(shù)。

為了統(tǒng)一評(píng)價(jià)該方法的性能，有必要對(duì)本地信號(hào)進(jìn)行功率歸一化處理。本地參考信號(hào)功率如式(15)所示：

(32k+1)/3

(15)

則本地參考信號(hào)可用式(15)的功率來進(jìn)行歸一化處理，如下所示：

(16)

本地信號(hào)功率歸一化的波形如圖2所示。

圖2 CosBOC(10,5)的本地參考信號(hào)波形Fig. 2 Local reference signal waveform of CosBOC(10,5)

歸一化的目標(biāo)相關(guān)函數(shù)可以表示為：

(17)

針對(duì)CosBOC(10,5)信號(hào)求得的歸一化組合目標(biāo)相關(guān)函數(shù)如圖3中所示。從圖3中可以看出，獲得的相關(guān)函數(shù)僅有一個(gè)副峰，消除了跟蹤模糊；同時(shí)由于接收信號(hào)與本地信號(hào)的不匹配，造成了相關(guān)運(yùn)算信噪比損失。由于需要消除載波殘差，獲得的相關(guān)函數(shù)需要進(jìn)行平方運(yùn)算。為了避免進(jìn)一步減少相關(guān)損失，采用自相關(guān)函數(shù)與目標(biāo)相關(guān)函數(shù)相乘R(τ)Rn_tag(τ)替代Rn_tag(τ)Rn_tag(τ)。由于Rn_tag(τ)僅在0≤|τ|

(18)

假設(shè)偽碼序列是理想的，信號(hào)載波被完全剝離，把CosBOC(10,5)信號(hào)的歸一化自相關(guān)函數(shù)和目標(biāo)相關(guān)函數(shù)相乘可得到以下最終進(jìn)入鑒別器的歸一化無模糊相關(guān)函數(shù)表達(dá)式：

Run(τ)=R(τ)Rn_tag(τ)=

(19)

針對(duì)CosBOC(10,5)信號(hào)的進(jìn)入鑒別器的歸一化無模糊相關(guān)函數(shù)如圖3所示。

圖3 CosBOC(10,5)的歸一化組合相關(guān)函數(shù)Fig. 3 Normalized combination correlation function of CosBOC(10,5)

2 跟蹤環(huán)路模型及跟蹤性能分析

基于組合相關(guān)函數(shù)方法的碼跟蹤環(huán)路的結(jié)構(gòu)如圖4所示。接收機(jī)生成本地BOC信號(hào)以及本地參考波形的超前(E)和滯后(L)版本。接收到的BOC信號(hào)先分別與復(fù)現(xiàn)的同相和正交載波相乘，剝離載波，然后與兩個(gè)本地波形的超前(E)和滯后(L)版本進(jìn)行相關(guān)，經(jīng)積分清零后得到相關(guān)器的輸出，再通過鑒別器。每個(gè)周期鑒別器都會(huì)輸出碼延遲的估計(jì)誤差，而后通過碼NCO輸出新的超前和滯后碼。從圖4中可以看出，該跟蹤環(huán)路相對(duì)于Bump Jump、BPSK Like、PCF方法來說，減少了參考信號(hào)支路和濾波電路等，結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單，降低了硬件復(fù)雜度。

圖4 碼跟蹤環(huán)路模型Fig. 4 Code tracking loop model

圖4中，IE1和IL1分別是接收信號(hào)與本地BOC信號(hào)在E和L支路上的同相相位相關(guān)器輸出，IE2和IL2分別是接收信號(hào)與本地參考信號(hào)在E和L支路上的同相相位相關(guān)器輸出；QE1和QL1分別是接收信號(hào)與本地BOC信號(hào)在E和L支路上的正交相位相關(guān)器輸出，QE2和QL2分別是接收信號(hào)與本地參考信號(hào)在E和L支路上的正交相位相關(guān)器輸出。為了便于分析，令：

(20)

V(Δτ)=(XIE-XIL)+(YQE-YQL)=2C[(Run(Δτ-d/2)+|Run(Δτ-d/2)|)-(Run(Δτ+

d/2)+|Run(Δτ+d/2)|)]

(21)

式(21)中，Δτ表示碼延遲的估計(jì)誤差，d是超前相關(guān)器和滯后相關(guān)器的間隔。相關(guān)器的間隔取0.01Tc時(shí)CosBOC(10,5)信號(hào)的鑒別器輸出曲線如圖5所示，可以看到鑒別輸出曲線是無模糊的。

圖5 CosBOC(10,5)信號(hào)的鑒別器輸出曲線Fig. 5 Discriminator output curve of CosBOC(10,5) signal

假設(shè)Δτ=0，IE1、IL1、IE2和IL2以及QE1、QL1、QE2和QL2的聯(lián)合分布分別是：

(22)

其中，均值μ0和方差σ0分別是：

(23)

(24)

式(24)中，Rlocal表示為本地參考信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。

閉環(huán)碼跟蹤誤差標(biāo)準(zhǔn)差[17]可以通過式(25)獲得：

(25)

其中:BL是單邊帶環(huán)路噪聲帶寬，帶寬的單位是Hz;σμ為鑒別器的輸出標(biāo)準(zhǔn)差;Tcoh為相干積分時(shí)間;Kμ為鑒別器增益。鑒別器增益可以通過對(duì)獲得的鑒別曲線求導(dǎo)計(jì)算出來。在Δτ=0時(shí)，鑒別器增益可以表示為式(26)：

(26)

為了分析評(píng)價(jià)本文方法的跟蹤性能，文中也分析了Bump Jump、BPSK Like、PCF方法的跟蹤性能作為對(duì)比。碼環(huán)單邊帶噪聲帶寬BL=1 Hz，相干積分時(shí)間Tcoh=1 ms，相關(guān)器間隔為0.05碼片。跟蹤性能結(jié)果如圖6所示。在假設(shè)不發(fā)生假鎖或能快速跳回到主峰的前提下Bump Jump方法獲得跟蹤精度是同條件下該信號(hào)的最理想跟蹤情況，實(shí)際情況下Bump Jump方法存在一定概率的誤鎖，尤其是信噪比較低時(shí)。本文方法中本地信號(hào)與輸入信號(hào)不完全匹配，性能有所損失，正如圖6所示，其跟蹤性能比假設(shè)完全無跟蹤模糊的Bump Jump方法差一些，但是消除了跟蹤模糊。雖說本文方法也存在信噪比損失，但是其碼跟蹤性能比BPSK Like好很多，這主要是由于其獲得的無模糊相關(guān)函數(shù)主峰相對(duì)較窄，保留了相對(duì)較高的鑒別器增益。與PCF方法相比，當(dāng)載噪比C/N0≤25 dB·Hz時(shí)，本文方法的碼跟蹤性能比PCF方法稍好；當(dāng)載噪比C/N0>25 dB·Hz時(shí)，本文方法只比PCF方法稍差。由于信噪比較高時(shí)各種方法性能都不錯(cuò)，某種程度上信噪比較低時(shí)方法的改進(jìn)更有實(shí)際意義。另外從碼跟蹤環(huán)路的結(jié)構(gòu)上來看，相對(duì)于PCF方法，本方法同相和正交支路各減少了一路參考信號(hào)，降低了跟蹤環(huán)路的復(fù)雜性?？梢姳疚姆椒傮w上性能較好。

圖6 CosBOC(10,5)信號(hào)的碼跟蹤誤差Fig. 6 Code tracking error of CosBOC (10,5) signal

3 結(jié)語

本文針對(duì)CosBOC(10,5)信號(hào)提出了一種基于組合相關(guān)函數(shù)的無模糊跟蹤方法，并具體分析了碼跟蹤性能的情況。該方法由一系列具有不同延遲的CosBOC(10,5)信號(hào)的線性組合構(gòu)造本地參考信號(hào)從而獲得單峰無模糊的相關(guān)函數(shù)。該方法與Bump Jump、BPSK Like和PCF算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法跟蹤環(huán)路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且整體上具有較好的跟蹤性能。原理上該方法可以適用于其他BOC調(diào)制信號(hào)，但針對(duì)不同調(diào)制信號(hào)，本地參考信號(hào)的設(shè)計(jì)難度有所不同。未來可以深化和擴(kuò)展該方法來解決其他更復(fù)雜的衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的跟蹤模糊性問題。