解線性最小二乘問題的2 個混合交替CQ 算法

付元敏， 朱立軍， 賀 龍

（北方民族大學 數學與信息科學學院，寧夏 銀川750021）

總是假設SFP（1）是有解的和Ω 代表SFP（1）的解集，即

這個問題出現在相位恢復、信號工程、圖像重建等領域，參見文獻［2 -4］.為了解決分裂可行性問題，2004 年，Byrne［3］給出了一個CQ算法如下：

接下來的問題叫做多集分裂可行性問題（MSSFP），它被發現應用在強度可調放射療法中，已經被許多學者研究［5-9］：分別給出H1和H2的閉凸子集

和有界線性算子A：H1→H2，找到點使得總是假設多集分裂可行性問題是有解的，為了解決這個問題，Censor 等［6］提出了如下算法：

PC和PQ分別代表C 和Q上的正交投影，也就是說PC（x）使｛‖c -z‖，c∈C｝取得最小值，其中‖·‖代表2 -范數.

為了解決分裂等式問題，Moudafi［10］提出了如下的交替CQ算法：

2013 年，Byrne 等［11］提出了如下投影Landweber算法研究分裂等式問題：

2016 年，Chuang 等［12］提出了如下混合交替CQ算法解決分裂等式問題：

受到以上研究的啟發，本文給出2 個改進的混合交替CQ算法來研究線性最小二乘問題.

1 預備知識

本節給出一些基本的定義和引理.令H是實的希爾伯特空間賦有內積〈·，·〉和范數‖·‖的性質.接下來介紹一些記號.

（ii）‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2〈x，y〉和‖x-y‖2=‖x‖2+‖y‖2-2〈x，y〉；

（iii）〈x+y，x-y〉=‖x‖2-‖y‖2；

（iv）‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈x+y，y〉；

（v）‖αx +（1 -α）y‖2=α‖x‖2+（1 -α）‖y‖2-α（1 -α）‖x-y‖2，?x，y∈H，?α∈［0，1］.

定義1.1三角不等式性成立：

定義1.2T：H→H是Lipschitz連續的，如果

對于正的常數κ 成立，κ 是Lipschitz 常數.也說T是κ-Lipschitz連續的.

定義1.3令C 是H 的非空閉凸子集，T：C→C是非擴張映射，如果‖Tx - Ty‖≤‖x - y‖， x，y ∈C.

引理1.4［12］令｛ρn｝n∈N是在（0，1/max｛‖A‖2，‖B‖2｝）中的序列，使得文獻［12］中的（2.34）式成立并且假設

或

那么文獻［12］中的算法2.2 產生的序列｛（xn，yn）｝n∈N存在使得和ˉ，n→∞.

引理1.5［13］假設f：Rn→R是一個有限凸函數，那么它是處處次可導的并且在Rn的任意有界子集上是一致有界的.

引理1.6［14］令K是希爾伯特空間H的非空閉凸子集，｛xn｝是在H里的序列滿足如下性質：

（ii）ωω（xn）?K，

那么，｛xn｝弱收斂到K中的一點.

引理1.7［15］令C是實的希爾伯特空間H的非空閉凸子集，PC是H到C的度量投影，那么

（i）〈x-PCx，PCx-y〉≥0 對于所有的x∈H，y∈C成立；

（ii）‖x-PCx‖2+‖PCx-y‖2≤‖x-y‖2對于所有的x∈H，y∈C成立；

（iii）‖PCx -PCy‖2≤〈x -y，PCx -PCy〉對于所有的x，y∈H成立.

引理1.8［5］假設0 ＜γ ＜2/L，其中L 是文獻［5］的（3.2）中定義的，當MSSFP 有解時由文獻［5］的算法（3.1）產生的序列｛xn｝弱收斂到MSSFP的解z，同時z也是函數p在Ω上的最小值.

為了解決SFP定義如下逼近函數

f（x）的梯度函數是

請參見文獻［21］.

2 主要成果

令H1、H2、H3是實的希爾伯特空間賦有內積〈·，·〉H1和范數‖·‖Hi的性質，內積和范數簡記為〈·，·〉和‖·‖.C、Q 分別是H1和H2的非空閉凸子集.A：H1→H2是有界線性算子和A*是其共軛算子.令δ∈（0，1）.Ω =｛x∈C：Ax∈Q｝=C∩A-1Q是分裂可行性問題和多集分裂可行性問題的解.假設借助引理1.4 得到定理2.1 和定理2.3.｛ρn｝n∈N是在（0，∞）中的序列.現在給出如下算法研究（SFP）.

算法2.1給定x0∈H1，借助下面迭代步驟找到近似解.

步驟1 計算（un，vn）：

步驟3 計算（xn+1，PQAxn+1）：

接下來，更新n：n+1 和回到步驟1.

注2.1如果

那么（8）式成立.

證明不失一般性，假設xnun，PQAxnvn，有

定理2.1令｛ρn｝n∈N是在（0，1/max｛‖A‖2，1｝）中的序列使得（8）式成立，假設

或

那么算法2.1 中的序列｛（xn，PQAxn）｝n∈N存在使得和

證明取n∈N 并令n 固定，取任意的∈Ω并令）固定，那么有首先設

那么

由（9）式可得

然后借助引理1.7 可得

因此，由（11）和（12）式得

由（13）和（14）式有

接下來有

由引理1.7 有

和

所以，由（16）～（19）式可得

其顯示

借助（9）、（15）和（21）式得

并且有

其顯示

因此，由（25）式得到

借助（23）和（26）式可得

由引理1.7 有

同理，

同理，

借助（28）～（31）式可得

得到

由（27）和（35）式得到

｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N是有界序列，存在｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N的子序列｛xnk｝k∈N和｛PQAxnk｝k∈N使得和

此外

和平方范數的下半連續性有

和

顯然

存在.因此，由（38）式可得

同理由（39）式可得

注記2.2假設｛ρn｝n∈N滿足如下不等式：

那么｛ρn｝n∈N滿足定理2.1 的條件.

為了解決多集分裂可行性問題（MSSFP）定義逼近函數

g（x）的梯度函數是

令Ω=｛x∈C：Ax∈Q｝=C∩A-1Q是多集分裂可行性問題的解集并且假設給出如下算法研究多集分裂可行性問題.

算法2.3給定x0∈H1，找出如下迭代步驟的近似解.

步驟1 計算（un，vn）如下：

步驟3 計算（xn+1，PQAxn+1）如下：

接下來，更新n：n+1 和回到步驟1.

定理2.3令序列｛ρn｝n∈N滿足

且假設

或

那么算法2.3 中序列｛（xn，PQAxn）｝n∈N存在是（MSSFP）的解，即ˉ 和→∞.

證明取n∈N且令n固定.取且令）固定，那么和首先，設

由（45）式有

由引理1.7 得到

所以，由（47）式得

由（48）式可得

接下來有

由引理1.7 得

和

所以，由（50）～（52）式可得

由（45）、（49）和（55）式

由

可得

因此，由（59）式得到

由（57）和（60）式可得

由引理1.7 有

同理，

可得到

由（62）～（65）式得

可得到

由（61）和（69）式得到

由｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N是 有 界 序 列，存 在｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N的子序列｛xnk｝k∈N和｛PQAxnk｝k∈N使得

和

顯然

存在.所以，由（72）式可得

同理，由（73）式可得

3 應用

3.1 線性最小二乘問題給出線性方程Ax =b，其中A是m×n矩陣，x∈Rn，b∈Rm.問題

叫做線性最小二乘問題（LLSP）.這個問題等價于ATAx=ATb.為了解決LLSP定義如下逼近函數

h（x）的梯度函數是

ai是A 的行，即，b =（β1，…，βm），ai∈Rn，βi∈R，i∈I =1，2，…，m.給出如下算法解決（LLSP）：

算法3.1給定x0∈H1，找到下列迭代步驟的近似解：

步驟1 計算un如下：

步驟3 計算xn+1如下：

接下來，更新n：=n+1 和回到步驟1.

借助定理2.3 得到如下定理解決線性最小二乘問題.

定理3.1給定b∈H2，δ∈（0，1）.令Ω2是（V）的解，假設令｛ρn｝n∈N滿足以上條件并假設

或

那么，算法3.1 中的序列｛xn｝n∈N存在使得

4 結束語

本文給出2 個混合交替CQ算法解決分裂可行性問題和多集分裂可行性問題.給出弱收斂證明并把它們應用求解線性最小二乘問題.