三參數(shù)冪函數(shù)與點(diǎn)繪法在水文Z～Q關(guān)系曲線擬合中的對(duì)比分析

覃 毅

（河池水文中心巴馬水文中心站，廣西 河池 547000）

0 引言

在水文實(shí)際工作中，通常采用目估法繪制一條光滑的Z～Q關(guān)系曲線，但該方法受人為主觀因素影響，查讀的隨意性較大，且過程較為繁瑣，工作效率和質(zhì)量不高。Excel軟件匯集了大量的圖表繪制、分析處理工具及數(shù)據(jù)計(jì)算等功能，極大地滿足了水文分析工作需求，利用Excel 對(duì)水文資料進(jìn)行處理和分析，可以極大地減少水文工作者的工作量，提高工作效率和質(zhì)量，尤其是本文提及的利用Excel中圖表繪制功能及規(guī)劃求解工具對(duì)Z～Q關(guān)系曲線的擬合提供了很大便利[1]，通過與人工曲線的對(duì)比分析，其擬合成果的準(zhǔn)確性和實(shí)用性俱佳，具有廣泛的推廣應(yīng)用價(jià)值。

1 方法的原理

1.1 Excel“規(guī)劃求解”

“規(guī)劃求解”是Excel 的一組假設(shè)分析程序。借助“規(guī)劃求解”可求得Excel中目標(biāo)單元格達(dá)到的最優(yōu)值。“規(guī)劃求解”將直接或間接地對(duì)與目標(biāo)單元格中公式相關(guān)聯(lián)的一組單元格中的數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，最終在目標(biāo)單元格公式中求得期望的結(jié)果。在創(chuàng)建模型過程中，可以對(duì)“規(guī)劃求解”模型中的可變單元格數(shù)值應(yīng)用約束條件，約束條件可以引用其他影響目標(biāo)單元格公式的單元格[2]。

1.2 三參數(shù)冪函數(shù)與Z～Q關(guān)系曲線

通過分析實(shí)測流量點(diǎn)據(jù)分布散點(diǎn)圖，我們可以大致判斷其Z～Q關(guān)系曲線符合冪函數(shù)的曲線類型，為便于利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行相關(guān)的水文分析與計(jì)算，我們利用近似的冪函數(shù)表達(dá)Z～Q關(guān)系。當(dāng)水位流量關(guān)系點(diǎn)據(jù)呈單一曲線分布時(shí)，在Excel 中應(yīng)用規(guī)劃求解的方法進(jìn)行關(guān)系曲線擬合適宜采用三參數(shù)冪函數(shù)，即

其中：Z為水位，m；Q為流量為待率定參數(shù)。等式兩邊分別取對(duì)數(shù)得到：

Z、Q為一組實(shí)測水位、流量數(shù)據(jù)，三參數(shù)冪函數(shù)公式中的a，b，c可以由Excel對(duì)多組實(shí)測水位、流量數(shù)據(jù)率定而得，由式（1）（2）可知關(guān)于Z的函數(shù)與參數(shù)a、b及流量Q相關(guān)程度較高，而當(dāng)Q為 0 時(shí)，Z=c，此時(shí)參數(shù)c的物理意義即為斷面的河底高程。在應(yīng)用規(guī)劃求解的過程中，可以使得工作表上某個(gè)預(yù)設(shè)值達(dá)到最優(yōu)，對(duì)于利用三參數(shù)冪函數(shù)擬合水位流量關(guān)系曲線就是存在S，使得：

2 應(yīng)用實(shí)例

龍泉站位于廣西河池市巴馬縣甲篆鎮(zhèn)甲篆村弄拉屯，屬于新建地下泉流量站，巴馬縣中心水文站于2018年3月起對(duì)該站開展水位流量關(guān)系率定及相關(guān)工作，去除不合理的實(shí)測點(diǎn)據(jù)后，目前已收集水位流量數(shù)據(jù)共28份。現(xiàn)利用Excel三參數(shù)冪函數(shù)擬合其Z～Q關(guān)系曲線并與人工擬合的曲線進(jìn)行對(duì)比分析。

（1）將實(shí)測水位流量數(shù)據(jù)按水位從低到高排序，并繪制Z～Q關(guān)系散點(diǎn)圖，如圖1所示。

圖1 龍泉站Z～Q關(guān)系散點(diǎn)圖

（2）參數(shù)率定前的數(shù)據(jù)處理。首先在Excel 表格的兩列輸入實(shí)測的水位、流量數(shù)據(jù)，然后各賦予參數(shù)a，b，c一個(gè)初始值，通過式（1）計(jì)算每個(gè)實(shí)測流量Q實(shí)i對(duì)應(yīng)的規(guī)劃求解水位Zi，再求規(guī)劃求解水位Zi與其對(duì)應(yīng)實(shí)測水位Z實(shí)的方差，在表格最后一行累計(jì)方差；

（3）利用規(guī)劃求解進(jìn)行參數(shù)率定。單擊Excel數(shù)據(jù)工具欄，找到規(guī)劃求解命令，彈出對(duì)話框后，在“設(shè)置目標(biāo)”對(duì)話框中選中表格最后一行累計(jì)方差單元格，規(guī)劃求解是通過改變擬合參數(shù)，使得累計(jì)方差最小，故設(shè)置目標(biāo)單元格的值為“最小值（N）”，“可改可變單元格”框選參數(shù)a，b，c所在的單元格。“遵循約束”應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置，通過式（1）可以看出，當(dāng)Q=0時(shí)，Z=c，此時(shí)c值實(shí)際上就是河底高程，為避免通過求解得到c的值小于河底高程值，可在“遵循約束”中添加一約束條件：“c所在單元格＞=250.62”（注250.62 為龍泉站河底高程值）；“選擇求解方法”選擇“非線性求解GRG”，然后單擊“求解”命令，彈出“規(guī)劃求解收斂于當(dāng)前的解，可滿足所有的約束”即說明參數(shù)率定成功，點(diǎn)擊“確定”后參數(shù)a，b，c所在的單元格出現(xiàn)率定后的值，求解結(jié)束。

經(jīng)率定后參數(shù)a，b，c的值分別為0.541，2.585和250.79，得到三參數(shù)冪函數(shù)公式即為：

3 三參數(shù)冪函數(shù)與人工點(diǎn)繪曲線的對(duì)比分析

3.1 人工擬合曲線

根據(jù)圖1 的實(shí)測水位流量點(diǎn)據(jù)分散情況，采用目估的方法手工繪制一條通過散點(diǎn)中心的光滑曲線，該曲線就是人工擬合該站的Z～Q關(guān)系曲線，再利用人工查圖的方法得到Z～Q關(guān)系曲線的推流節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3.2 三參數(shù)冪函數(shù)擬合曲線

利用規(guī)劃求解后得到的三參數(shù)冪函數(shù)公式后，可再次利用Excel 計(jì)算功能，通過賦予不同的Q值，得到相應(yīng)的水位Z，從而得到一系列Z～Q值，這就是三參數(shù)冪函數(shù)擬合曲線的推流節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3.3 繪制曲線

利用Excel 中的繪圖功能，將上述兩組推流結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)繪制帶平滑曲線的散點(diǎn)圖，見圖2。

3.4 關(guān)系曲線檢驗(yàn)

根據(jù)《水文資料整編規(guī)范》（SL247-2012）的技術(shù)指標(biāo)，按三類精度水文站精度指標(biāo)對(duì)龍泉站人工擬合曲線及三參數(shù)冪函數(shù)擬合曲線進(jìn)行精度檢驗(yàn)[3]，各項(xiàng)指標(biāo)精度檢驗(yàn)對(duì)比結(jié)果見表1。

圖2 龍泉站Z～Q關(guān)系曲線

表1 龍泉站三參數(shù)冪函數(shù)與人工擬合Z～Q曲線精度檢驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

3.5 對(duì)比結(jié)果及誤差分析

三參數(shù)冪函數(shù)擬合的Z～Q關(guān)系曲線的各項(xiàng)檢驗(yàn)指標(biāo)均達(dá)到三類精度水文站標(biāo)準(zhǔn)，而人工擬合的Z～Q關(guān)系曲線的“隨機(jī)不確定度”超出三類精度水文站標(biāo)準(zhǔn)。龍泉站Z～Q關(guān)系曲線精度受實(shí)測水位流量點(diǎn)據(jù)個(gè)數(shù)及低水紊流擾動(dòng)影響，低水部分“系統(tǒng)誤差”和“隨機(jī)不確定度”偏大，龍泉地下泉流量站常年出流量較小，進(jìn)行流量測驗(yàn)時(shí)又受儀器精度、測量條件環(huán)境等條件限制，測量結(jié)果存在誤差，從關(guān)系曲線檢驗(yàn)情況來看，三參數(shù)冪函數(shù)擬合的曲線精度較人工擬合的曲線更穩(wěn)定，達(dá)到三類精度水文站指標(biāo)，滿足水文定線推流工作需求。

4 結(jié)語

在水文資料整編中，Z～Q關(guān)系的分析是最基礎(chǔ)的工作之一，Z～Q關(guān)系曲線的合理性決定了流量資料推求的質(zhì)量。傳統(tǒng)人工擬合曲線受個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和水平影響較大，當(dāng)比例不能滿足查讀精度時(shí)還需對(duì)曲線作放大處理，工作略顯繁瑣，其分析、計(jì)算和查讀的結(jié)果也因人而異，而利用Excel 規(guī)劃求解工具擬合Z～Q關(guān)系曲線，不但可以更好地?cái)M合水位、流量數(shù)據(jù)，簡化Z～Q關(guān)系曲線繪制工作，而且更加方便和精確地查讀水位流量數(shù)據(jù)，大大提高了工作效率，經(jīng)過與人工擬合曲線對(duì)比分析，其擬合成果的準(zhǔn)確性和實(shí)用性俱佳，在水文實(shí)際工作中具備推廣應(yīng)用價(jià)值。

當(dāng)然，采用該方法擬合Z～Q關(guān)系曲線仍存在局限性，比如Z～Q關(guān)系呈現(xiàn)多條或者繩套曲線時(shí)，很難利用該方法實(shí)現(xiàn)曲線的擬合分析，又如在低水部分的擬合存在較大不確定性，其擬合過程還需參照手工繪制結(jié)果，低水部分若能綜合兩種擬合方法，可使定線更加合理精準(zhǔn)。