核心素養視域下的數學眼光及其教學策略研究

陳靜安

(廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303)

一、問題的提出

《高中數學課程標準(2017年版)》明確界定“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學的學習和應用過程中逐步形成和發展的。數學學科的核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”[1]4，并指出“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”是培養學生數學核心素養的具體體現。然而，文獻檢索表明，關于核心素養中數學眼光的研究成果寥寥，尤其在中小學數學課堂教學中發展學生數學眼光的教學策略研究尚未得到必要的關注與重視，為此本研究運用文獻研究法和案例分析法，從數學的內涵界定、數學核心素養和數學新授課教學內容三個維度，探析數學核心素養視域下數學眼光的可操作性含義，嘗試提出相應的數學課堂教學策略，旨在拋磚引玉。

二、數學核心素養視域下的數學眼光探析

(一)基于數學內涵的視角

數學的內涵、結構與特點是研究數學眼光的基礎?！陡咧袛祵W課程標準(2017年版)》明確指出：“數學是研究數量關系與空間形式的科學”。科學作為分科的系統知識，在數學里表現為，不同概念之間、原理之間、命題之間……的發生發展存在著先后或者因果等內在邏輯關系。這清楚地表明，數與形是數學研究的兩個重要對象。這里的數與形是剔除了具體的實際背景、進行了數學抽象與概括后獲得的產物，因而具有高度的抽象性。并且，隨著人類對于客觀世界數量關系和空間形式的對象、內容、結構等認知的不斷深入，在分析解決問題和數學應用中的不斷發展獲得的數量、圖形及其關系也與時俱進在不斷積累與豐富中而變得越來越復雜和多元。例如人類最先研究數出來的自然數，然后通過平均分問題產生“先分后得的”分數、對于特別的十進分數的運用與表達產生小數，再到有理數、實數、復數。類似地從小學教科書里正方形、長方形到三角形、平行四邊形、梯形、圓，再到中學研究的三角形、平行四邊形、梯形的性質與判定，以及橢圓、雙曲線、拋物線……概念與性質探究。數與形的概念不僅上掛下聯、層層遞進、向縱深發展，而且環環相扣、橫向聯系、不斷拓展。這又清楚地表明了不同數量、不同圖形的概念及其原理之間客觀存在孰先孰后的歷史發展順序以及誰因誰果的內在邏輯關系。這啟示我們，作為研究數量關系與空間形式的數學，除了數與形這兩個顯性的研究對象，數學還研究數量與圖形之間、新的或者未知數量與已知數量之間、新的或者未知圖形與已知圖形之間的關系(以下簡稱三個關系)。事實上，正是這些關系的梳理和建立，不僅豐富了數學的內容，而且使得數學的內容之間具有邏輯性、結構性、系統性特征。因此，數學課堂教學必然要關注數量與圖形兩大研究對象，以及上述三個關系與結構，對于這三個關系及其結構的認知、分析與揭示是數學教學的重要任務。

事實上，從認識論的角度看，任何事物都不是孤立、靜止、獨立存在的，彼此之間是普遍存在相互聯系，并且處于不斷的運動、變化與發展中，數學的世界也不例外。因此，對于數學的教與學，不應靜止、孤立、片面、表象地看，而應從運動、聯系和變化的觀點去看，才能正確認識各種數量關系與空間形式的形成和發展，進而厘清數學知識之間的因果內在邏輯關系或時間發展先后順序。綜上所述，“數學是研究數量關系與空間形式的科學”這一概念界定，不僅表明了數量關系與空間形式是數學研究的對象，而且也啟示我們，數學眼光就是用運動、聯系和變化的觀點觀察與研究現實世界的數量關系和空間形式，其本質是建立聯系的眼光，其結果是形成與獲得數學的結構和體系，從中發展分析和解決問題的能力。

(二) 基于數學核心素養的視角

《高中數學課程標準(2017年版)》明確提出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大核心素養。其中“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言給予于表征” 。并且明確指出“數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。通過高中數學課程的學習，學生能在情景中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗……”[1]5。

以上僅數學抽象素養的概念界定就四次提到關系、兩次提到結構和體系等術語。而認識數學關系、結構和體系的思想方法論基礎是聯系，其基本立場和出發點是整體觀，本質是基于并且發展運動、聯系、變化的觀點。換言之，運動、聯系、變化的觀點既是認識數學關系、結構和體系的條件，也是認識數學關系、結構和體系的結果，二者互為因果、螺旋上升。這一方面啟示我們，學會從數量與數量關系、圖形與圖形關系、數量與圖形關系的眼光去發現和提出問題、分析和解決問題，進而獲得數學概念與命題，不僅是發展學生數學抽象素養的具體體現，也是培養學生數學抽象素養的重要路徑。另一方面，從學科核心素養的視角進一步印證了數學的眼光就是能夠用運動、聯系、變化的觀點研究現實世界的數量關系與空間形式，其本質就是“建立聯系”的眼光，換言之，是基于數學結構和體系的整體觀。

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在總目標中也強調：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題、分析和解決問題的能力”，并且在教學建議中進一步提出“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性”[2]。

無論《高中數學課程標準(2017年版)》的數學核心素養界定，還是《義務教育數學課程標準(2011年版)》的課程目標與教學要求，都充分表明數學眼光的本質就是學會從數量與數量之間、圖形與圖形之間、數量與圖形之間的聯系去研究客觀世界的數量關系與空間形式，并以上述三個關系為關鍵路徑，發現和提出問題、分析與解決問題，從中通過數學抽象、邏輯推理、數學建模等思想方法再發現和再建構數學概念、原理等數學知識的結構和體系，發展數學的整體觀。

(三)基于數學教學內容的視角

數學作為研究數量關系與空間形式的科學，具體表現為由數學概念與數學命題組成的邏輯體系。邏輯就是要求講清楚因果關系、先后關系。具體而言，概念必須用前此概念定義，命題必須用已知證明為真的命題(即數學原理)證明。課堂教學中主要表現為基于問題發現的概念教學、原理教學和問題解決活動的教學，其實質是對于研究對象所蘊含的數與數、形與形、數與形之間關系的揭示與抽象。因此在數學教學中必然要探究新概念與已有概念之間、新命題與已有原理之間的關系，從中幫助學生建構數學概念網絡或者數學命題體系，進而形成和發展數學的整體觀。

從數學概念體系的形成與發展過程來看，“概念是知識組成的基本單位、是思維的載體”“數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，是對一類事物的概括和表征”[3]，其本質是對于數學對象的分類。特別地，概念之間的關系在邏輯學上是指概念外延之間的關系，具體可以依據二者之間是否具有公共元素劃分為相容關系或不相容關系。其中，根據兩個概念外延集的重疊度，相容關系又分為同一關系、屬種關系和交叉關系；根據兩個概念的外延集與其同一屬概念的外延集的重疊度，不相容關系又分為矛盾關系和反對關系。而概念之間“關系”的眼光最為重要的就是概念之間屬種關系的眼光。例如函數、奇偶函數是屬種關系，周期函數、奇偶函數是交叉關系，單調函數、周期函數是反對關系等等。

從數學命題的含義與結構來說，命題是表示判斷的語句，其本質是揭示不同數學對象即數學概念之間的內在聯系。例如對角線互相平分的四邊形是平行四邊形、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形等等。特別地，命題構造中根據不同邏輯連接詞把兩個或兩個以上簡單命題組成負命題、合取命題、析取命題、蘊涵命題和等價命題這五種基本復合命題。其中對于蘊涵命題的條件和結論進行換“位”或者換“質”可獲得數學中最為基本的四種命題：原命題、逆命題、否命題和逆否命題。從命題的含義結構、數學命題的四種基本形式以及數學命題的證明都無一例外地表明，數學命題的教學從某種意義上說就是揭示新命題與已有原理(包括相關已有概念)之間是否存在等價或推出等關系。正如梅森(Mason)在第八屆國際數學教育研究大會(ICME-8)上指出的“我們需要教會學生如何將自己所理解的數學知識聯系起來，并且能夠靈活運用其中的關系”[4]。

以上清楚地表明，從數學教學來看，數學眼光就是應用已知概念或已證為真的命題解決新問題、獲得新概念或者新原理，亦即揭示與建立新舊數學對象之間聯系的眼光。

三、核心素養視域下發展學生數學眼光的教學策略

核心素養視域下的數學教學不僅僅是讓學生獲得必要的知識和技能，更重要的是讓學生學會用數學眼光去觀察世界，學會用數學的思維分析和解決問題。從數學的內涵界定、數學核心素養和數學教學內容三個維度對于數學概念和原理的邏輯性、結構性和系統性特點的分析啟示我們，數學新授課中發展學生的數學眼光需要構建基于建立聯系的結構化教學策略。

(一)注重溫故復習、鋪設思維臺階，引領學生感悟已知知識和未知對象之間的聯系

孔子曰“溫故而知新，可以為師矣”，烏申斯基認為“復習是學習之母”。奧蘇貝爾有意義學習理論則進一步指出，當學習者已有認知結構具備了適當的觀念，才足夠使新舊知識以非人為、實質性方式聯系起來，才能更好地接納新知識，并指出“影響學習的唯一的、最重要的因素是學生已經知道了什么。要根據學生已有的知識教學”[5]。從方法論來看，不怕不識貨就怕貨比貨、有比較才有鑒別。前述教育學、認知心理學和方法論的視角殊途同歸都啟示我們，在概念和原理新授課教學設計中培養學生用數學眼光觀察世界的能力，首要任務和環節是要厘清和喚醒學生已有的相關知識，為辨析新舊對象的區別與聯系、建構新知識，搭建好認知的腳手架，鋪設好思維的臺階。而關于數學概念、命題形成與發展的規律闡述則表明，學生學習數學新概念、新命題具備的已有知識就是相關的前此概念和相關的已知原理。

例如，映射及其三要素和初中變量說意義下的函數概念是學習高中函數知識的基礎，在高中函數概念新授課的教學設計中，需要溫故復習，初中學習過哪些函數？函數涉及幾個變量？什么是映射？映射有哪些要素？y=1是函數嗎？旨在為理解基于變量說的初中函數概念的局限性和后續引入實數集上的映射的可行性搭建好認知的腳手架和思維的臺階。又如空間線面垂直、面面垂直等概念，是有效組織空間線面垂直、面面垂直等性質定理教學的必要前提。而空間線面垂直或面面垂直等判定定理則是通過探究相應的性質定理的逆命題而發現，因此復習和喚醒諸如空間線面垂直或面面垂直等概念及其性質，是有效組織空間線面垂直或面面垂直等判定定理教學的必要前提。實踐證明，通過溫故復習喚醒學生認知結構中學習新知識所需要的相關知識，引導學生感悟已有數學認知結構中相關知識與新對象之間的區別與聯系，是建構新概念、獲得新命題及拓展相應知識網絡體系，發展學生學會用運動、聯系、發展的觀點看問題，建立數學整體觀的優質而高效的教學策略，具有磨刀不誤砍柴工、事半功倍之效。

(二)創設問題情境、激發認知需求，助力學生體會數學與其他學科、與生活的聯系

《高中數學課程標準(2017年版)》指出：“數學教學以發展學生的數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情景，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質……不斷引領學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”[1]3。因此數學新授課在復習回顧之后，新知導入環節要加強對問題提出的情景創設，加強對教科書編寫意圖的理解，注重應用教科書中創設的數學與其他學科、與生活關聯的現實情境或科學情境導入問題，以激發學生的認知需求，感知問題情境中蘊含的新對象、新知識，引導學生從現實情境、科學情境或學科背景等不同視角去發現和提出問題，感悟數學與外部世界的聯系，引導學生厘清新舊對象的區別，學會用數學的眼光觀察世界，提升學生應用數學分析與解決實際問題的能力，發展學生的數學抽象、數學建模等學科素養。例如高中函數概念新授課的教學設計中，在復習初中函數概念、映射及其三要素的基礎上，進一步導入教科書中南極臭氧層空洞的面積近20年變化情況的曲線、恩格爾系數隨時間變化情況的表格、炮彈發射后的飛行高度隨時間變化規律的解析式，提出問題：他們是映射嗎？有哪些共同特征？以啟發學生用集合與映射的思想方法去觀察與描述集合之間的對應關系，發現與概括其共同不變的本質屬性，抽象出函數的概念及其三要素。由此引領學生感悟與體驗數學與生活、函數與物理之間的聯系，發展學生學會用“聯系”的眼光觀察世界、學會用數學的思維分析與解決問題。

(三)問題驅動、設問啟發，引導學生比較辨析新舊知識之間的區別與聯系

問題是數學的心臟，也是思維的起點，是孕育和產生數學新概念與數學新命題，培養和提升學生數學抽象素養的土壤。正如布魯納指出“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始的”[6]。但是，現行中小學數學課堂教學中，一言堂、滿堂灌，新知建構一蹴而就、幾分鐘搞定，急于題海戰術、大運動量練習的傳統做法依然慣性很大，這既不利于課標所強調的過程與方法目標的達成，也不利于學生學會用數學眼光觀察世界、學會用數學的思維分析世界、學會用數學的語言表達世界等核心素養的發展。事實上，數學新授課包含的知識點往往不唯一，而不同知識點之間的銜接過渡及其因果內在邏輯關系常常是學生學習與理解的難點，這些難點在一言堂、滿堂灌的教學中往往被教師越俎代庖，甚至忽略跳過，學生不僅錯失了學會用數學思維發現和提出問題、分析與解決問題的機會，而且缺失了與同伴互助、思維碰撞進行數學發現和創造的樂趣。

因此，數學新授課中，尤其在概念建構和原理發現教學環節，需要設計分層次、成系列的問題鏈，實施問題驅動的啟發式教學，旨在引領學生探究并且厘清新舊知識以及不同新知識之間的內在邏輯關系、突破教學的難點。例如高中空間中直線與平面的位置關系課題，研究重點是平行與垂直的關系。而無論是直線與平面的平行或垂直等課題，都既包括概念建構又包括性質定理與判定定理三個知識點，并且最終都轉化為直線與所研究平面上的若干直線之間相應的關系。以直線與平面的垂直關系課題為例，概念建構、性質定理與判定定理三個知識點中，普遍的教學難點是直線與平面垂直判定定理的教學。要突破這一難點，可通過設計分層次的問題串：如何判斷一條空間直線與已知平面垂直？依據概念能否判斷一條直線與已知平面垂直？確定平面的要素有哪些……并運用實驗、觀察、分析、比較、歸納等思想方法，有序有效地引導學生層層遞進、探究發現：依據空間直線與平面垂直的概念進行判斷，需要證明直線與平面上的所有直線即無窮多的直線都垂直，而這將陷入有限的人生面對無限多的直線的矛盾沖突與山重水復疑無路的抓狂狀態。但是追根溯源，依據兩條相交直線確定一個平面的原理，可以順藤摸瓜、驚喜發現證明直線與平面上的所有直線都垂直這一教學難點，竟然柳暗花明、一錘定音可以轉化為證明已知直線與同一平面上兩條相交直線垂直。亦即在有限的時間內解決了直線與平面上的所有直線即無窮多的直線都垂直這一看似不可能完成的無限的任務，引領學生基于直線與平面垂直的概念、性質定理和判定定理之間的聯系進行整體把握、融會貫通，體驗數學思想方法幫助我們化無限對象的復雜問題為有限對象的簡單問題去解決，從中深刻領悟數學思想方法的科學價值、應用價值、審美價值。

(四)精選例習題、學以致用，發展學生學會用數學的思維分析和解決問題的能力

學以致用環節的例題與習題的教學目標，旨在拓展學生對所獲得數學概念與原理的理解，學會用運動、聯系和變化的觀點以及新建構的概念或者新獲得的原理去研究和解決具體問題中的數量關系與空間形式，進而發展分析與解決問題的能力。因此精心選擇例題與習題，力求舉例豐富、樣本全面，加強問題的針對性、層次性和系統性是關鍵。例如高中函數教學在建構了概念后，可以分別從解析式、圖像等不同角度，通過形變質不變讓學生辨別其是否為函數和是否為同一個函數。如設計問題“y=2x2,x∈R”與函數“x=2y2,y∈R”以及“n=2m2,m∈R”，它們表示同一個函數嗎？或者設置形同質不同的問題(如定義域不同)，讓學生辨析是否為相同函數，深化學生對函數本質以及要素、結構的理解[7]。又如在偶函數的概念教學中，則可創設“f(x)=2(x-1)2，f(x)=2x2(x∈[-2,2))，f(x)=x3”是否為偶函數的問題，引領學生在判斷的過程中深化對偶函數概念本質屬性“對于定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)”的認識。后續奇偶函數課題的概念教學，則在概念建構環節之后，可以設計以下包含四個不同樣本類型函數的例題教學，通過判斷它們的奇偶性，f(x)=x4,f(x)=x3,f(x)=x2(x∈[-10,9]),f(x)=0，引導學生深刻理解奇、偶函數的定義域關于原點對稱和對應規律要求等兩個本質屬性的異同點，進而發現還存在非奇非偶函數和既奇又偶的函數，從中感悟函數奇偶性概念之間的區別與聯系，深化和拓展學生對于函數奇偶性概念的理解和掌握。

(五)注重歸納、突出方法，幫助學生建立數學的結構和體系

《高中數學課程標準(2017年版)》在實施建議中強調“數學教師必須提升自己的‘四基’水平，自覺養成用數學的眼光發現和提出問題，用數學思維分析和解決問題，用數學語言表達和交流問題的習慣……理解知識之間的關聯”[1]97。數學知識結構具有嚴密的邏輯性和完備的系統性，為了幫助學生發展數學的眼光、建立數學的整體觀，教師在數學新授課的課堂小結環節要注重幫助學生梳理和建構層次分明的知識網絡結構。教學中可以根據新舊概念之間的關系(如從屬、交叉、矛盾、反對等關系)和命題之間的關系(如逆否、等價關系等)，運用列表法、邏輯框圖、思維導圖等形式強化知識之間聯系的理解和掌握，并引導學生注重歸納和凸顯建構新知識的思想與方法，長此以往、堅持不懈，師生合作逐步建立起層次分明、因果清晰、縱橫聯系的網絡結構，發展和建立數學的整體觀。

四、 結論與思考

以上從數學的內涵界定、數學核心素養和數學新授課教學內容三個維度的研究表明，數學眼光是用運動、聯系和變化的觀點研究數量關系與空間形式，進行數學抽象獲得數學概念或原理，進而學以致用分析與解決問題的眼光，其本質是“建立聯系”的眼光。課堂教學中主要表現為基于問題提出的概念教學、原理教學和問題解決活動的教學，其本質是對于研究對象蘊含的數與數、形與形、數與形之間關系的揭示與抽象。學會用數學的眼光看世界，對教師而言，關鍵在于數學新授課教學設計中要精準抓住數學新知建構的 “生長點”與“延伸點”，從而突破教學的難點，辨析和揭示新舊知識的聯系與區別，凸顯建構新知識的思想與方法。對學生而言，學會用數學的眼光觀察世界則有助于厘清知識之間的區別和聯系，深刻理解數學知識的來龍去脈，提升對數學的整體把握和宏觀認識。數學新授課中發展學生數學眼光需要基于建立聯系的結構化教學策略；通過發展教師的數學眼光來提升課堂教學設計與組織的質量和效益，是發展學生數學眼光、培養數學素養的必由之路。