例析高中函數性質在解題中的活用

◇ 山東 甘德學

函數的單調性、周期性、奇偶性是高考的常考知識點.相關題型復雜多變,對學生的理解以及推理能力具有一定要求.要想正確解答,學生需深入理解性質的本質,掌握相關的推理技巧,做到活學活用.

1 借助函數性質比較大小

部分習題以抽象函數為背景,要求學生比較不同定義域中函數值的大小.解答該類習題需要運用函數的奇偶性,將不同的定義域轉化至同一定義域中,而后利用函數的單調性直接比較自變量的大小即可.教學中可為學生講解相關例題,使學生親身感受函數性質在比較大小時的具體應用,為更好地解答類似問題帶來良好指引.

例1已知定義在R上的偶函數y＝f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)且在區間[－2,0]上為增函數,則下列不等式正確的是( ).

A.a＞b＞cB.b＞c＞a

C.b＞a＞cD.c＞a＞b

解析

因為函數y＝f(x)為定義在R上的偶函數且在[－2,0]上為增函數,因此,其在[0,2]上遞減.又f(x＋2)＝－f(x),則－f(x＋2)＝f(x),令x＝x＋2代入得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),則其周期為4.又因為,因此a,b,c的大小關系為b＞c＞a,故選B.

2 借助函數性質求和

一些函數題目要求學生根據所學知識求解多個函數值之和,解題時分別求出各個函數值進行相加通常是不現實的.該類習題通常需要找到函數的周期,通過計算一個周期內的函數值之和,再尋找多個函數值與周期之間的關系,使問題迎刃而解.教學中為提高學生解答該類問題的正確率,應優選經典例題,并為學生細致地講解解題過程,使其能夠巧妙運用函數的周期性、對稱性等對問題進行巧妙轉化.

例2定義在R上的函數f(x)的圖象關于點f(0)＝－2,則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 008)的值為( ).

A.669 B.670 C.2 008 D.1

解析

3 借助函數性質估算

函數估算問題一般較為新穎,很多學生不知所措.事實上,該類習題考查的仍是學生學過的知識,解題的關鍵在于構建已知條件與要估算結果的聯系.授課中教師應注重為學生講解代表性較強的問題,啟發學生對題干進行巧妙變形,以便更好地使用函數的奇偶性、單調性順利解答.

例3已知函數f(x)＝x3＋x＋10,實數x1,x2,x3滿足x1＋x2＜0,x2＋x3＜0,x3＋x1＜0,則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ).

A.一定大于30 B.一定小于30

C.等于30 D.大于、小于30均有可能

解析

該題目較為抽象,看似無從下手,實際上考查的是函數的奇偶性與單調性.由條件可知f(x)－10＝x3＋x為單調遞增的奇函數.

由x1＋x2＜0可知x1＜－x2,即f(x1)－10＜f(－x2)－10＝－f(x2)＋10,則f(x1)＋f(x2)＜20.同理可得f(x2)＋f(x3)＜20,f(x1)＋f(x3)＜20,則2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]＜60,即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜30,故選B.

函數性質是高中數學的重點知識,不同的性質表現形式多種多樣,需要學生理解其本質,根據題目條件能夠進行正確推理,搞清楚函數的周期性、單調性、奇偶性等,實現順利解題.