通過數學模型分析大流行病的特征并建立預警方案

陳加英 鄧浩 龍杰

西華大學，四川 成都

摘 要 通過建立數學模型，找出對流行與大流行的定量條件，設計抽樣病毒檢測方案、分布預測模型和應對方案。針對問題一：把指數模型與SIR模型相結合，利用回歸思想，求出界定條件。針對問題二：通過數學統計思想，給出了分布預測模型和應對方案。針對問題三：在問題一模型和問題模型二的基礎上，提出了防控建議和降低風險的方案。

關鍵詞 指數模型 SIR模型 回歸思想

中圖分類號：R18 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0745（2020）03-0029-04

1 問題重述

問題一建立數學模型，綜合考慮人口數、感染數量、病死人數、疫情持續時間、經濟狀況、醫療條件、人口密度、防疫政策等因素，給出一個合理的界定“流行”（Epidemic）和“大流行”（Pandemic）病的定量條件。

問題二考慮到無癥狀感染者具有一定的傳染性，且不容易發現，但全民進行病毒檢測又成本太高，且時間過長，不利于復工復產，我們試圖尋找一種更為有效的方法來最大限度地降低無癥狀感染者的傳播風險，比如對一個地區進行抽樣病毒檢測來評估該地區的無癥狀感染者的分布情況，再制定不同的隔離和檢測措施。請結合問題一的模型，針對一兩個國家（或地區），給出切實可行的病毒檢測抽樣方案，并給出無癥狀感染者分布預測模型和針對相應預測結果的應對方案。

問題三給世界衛生組織寫一封信，闡述你的團隊對于疫情情況的判斷，并給出一些防控建議和降低風險的思路。

2 問題分析

2.1 問題1的分析

（1）問題1的實質是結合各種人口指標和治理水平來找到界定流行病與大流行病的相關定量條件以此來真實反映出病毒的傳播情況，并能夠對于疫情情況給出有效的量化指標，使得疫情能在最佳時間得到良好的控制。為什么要找出這個量化指標呢？首先是為了避免造成不必要的恐慌，因此必須在公布疫情定性標準前，需要對疫情的傳播范圍、傳播速率進行合理的分析。其次量化指標的建立有利于各個國家加強對本國的防護意識，以免疫情的控制大于某個給定的閾值，而發展到不可控或難控的階段。

（2）各影響因素之間的關系分析。總人口數，其包含了：感染者、易感染者、排出者（因得病死亡或被治愈）。對于感染者的數量，在疫情初期，由于防疫意識沒有完全建立，防疫政策沒有迅速頒布，其會隨著疫情的持續時間迅速上升并達到一個峰值。“經濟狀況、醫療條件、人口密度、防疫政策”這些因素從客觀來講共同決定了疫情的感染率，因此可利用現有的統計資料和回歸方程得出感染率的變化數據依次來找出最佳控制時間段。

（3）流行與大流行的分析。大流行是指某疾病的發病蔓延迅速，涉及地域廣，人口比例大，在短時間內可以越過省界甚至洲界形成世界性流行疾病。因此我們在界定大流行和流行的定量條件，可將以上因素作為判斷標準，利用微分方程和相頻線的分析進行進一步判別。

3 模型假設

在病毒傳播期內該地區不考慮人口的變化即總人口數不變;得病后被治愈的人或身亡的人不影響病毒的感染率;假設初期，被感染人數隨疫情的發展成指數形式上升;處于潛伏期的患者在一定時間后會出現患病特征成為患病者;新冠肺炎對不同年齡組的感染率略有不同，對健康人的感染率一樣;問題二的模型在問題一的模型基礎上進行的，所以問題一的模型假設，問題二的模型都滿足;以中國為研究國家，在疫情得到控制這段時間內，某地感染者流向其他地區的比例不變，之后近似為與時間呈負相關關系;無癥狀患者和所有的患者的傳染率是一樣的;境外輸入病歷人員的傳染率和國內感染者傳染率相同;由于每天境外輸入人數沒有太多規律，每天境外輸入病歷人數按平均值計算;境外輸入病歷流向某地的比例也按總體數據計算;我國的境外輸入病歷是從2月26號開始的，為了方便，我們以下計算都以2月26號為起點計算;各個省份日均治愈率相同。

4 定義與符號說明

5 模型的建立與求解

5.1 問題一的模型

以我國為例，從1月28號開始，第一例病人出現到2月20達到了峰值，這里我們取k=0.5960，來帶入i（t）=i0（1+K）?——①（n為t次方）進行計算，算出累計的確診人數與實際的患者人數進行比較如圖1所示。

從圖形中，我們可以看出從1月28日起到2月20日，前22天病人的累計數和我們所用的K=0.5960來代入的數學模型基本上是穩合的，因此我們認為i（t）=i0（1+K）?（n為t次方）是合理的。

在此基礎上因為在疫情初期政策的頒布還未下達，人民對疫情的防范意識還不夠，因此使得疫情的傳播速率極其的快。而后期政府采取了有力的措施，人民的防患意識增強，疫情便會過渡到緩和，其感染率也會逐漸下降，這個時候確診人數會呈下降趨勢，然而一個新的問題便出現了，那就是處于潛伏期的患者可能會造成二次波峰。因此我們采取微分方程的模型對該疫情做出更進一部的分析。

在前一個模型的基礎上我們可以令出K=0.5960，u= 0.4，i（0）=0.001，s（0）=0.999，代入方程2利用matlab編程軟件得出“病人、康復者、處潛伏期的人”的變化情況。

若> ，則（）>0，因此i（t）會逐漸減少并趨近于0，若 ≤，則（）<0，也會逐漸減小直到，如圖示感染者與健康者的相關軌跡線可以看出，如果當疫情持續了一定的時間后才開始進行整治的話，其便成為了一個閾值，當易感染者的初使比例如果與相比，如果超過了那么產染病將會蔓延下去，此時已經過了最佳的管控時間，需要付出更高力度去處理。因為最初可認為健康者所占比例近似為=1。并且由作圖分析，假如當>，隨著我們的衛生水平的提高以及政府的管理制度的加強等……各種有利因素的介入我們可根據已確診病例累計進行分析計算，得出感染率K是一個與時間有關的函數，我們可以通過回歸方程法計算出K=7.1E13t6-4.2E10t5+8.1E08t4-1.2E05t3+0.0016t2-0.0391t+0.2525——⑥均方差R?≈0.7012。可知隨著時間的增加，傳染率K值為減少，因為σ=Ku，K與u成反比，因此日治愈率u會逐漸提高。最終疫情會得到控制。令H=K*u*——⑦[1]

但是如果K*u*的值>1，那么疫情將會持續下去，傳播范圍也就越來越大。因此可分析H隨時間的關系圖，最終確定疫情傳播范圍的廣泛程度。

5.2 問題二的模型

5.2.1 模型建立

以中國為例，本國的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發現。根據資料顯示，境外輸入病歷超過百分之七十在隔離期發現，固這部分人中最多只有百分之三十會流向國內。

再根據資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計算結果，境外輸入總人數參考高校疫情防控平臺發布數據），由問題1的模型得u約為0.02。當k值取0.15時與問題一模型得出的結果基本相同。當j值取0.012時，得出的無癥狀感染者與實際無癥狀感染者數量基本相同，以此類推，再計算出其他省份的無癥狀感染者人數。

5.2.2 與實際分布對比分析

模型得到的分布圖大題上與實際的數據分布圖相同，證明了該模型具有一定的預測能力，并可以預測未來一段時間無癥狀感染者的數量走向，可以為決策者采取措施提供一些參考。

5.2.3 針對相應預測結果的應對方案

政府要求發現無癥狀陽性檢測者時，在2小時內進行網絡報告，并進行獎勵。各級疾控部門接到轄區內無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調查要求，24小時內完成流行病學調查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫學觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內限制出入境的條件。如醫務人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續開展拉網式全面的摸底排查，在各個入境關道設置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統一納入社區管理，及時進行核酸檢測。

政府要求發現無癥狀陽性檢測者時，在2小時內進行網絡報告，并進行獎勵。各級疾控部門接到轄區內無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調查要求，24小時內完成流行病學調查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫學觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內限制出入境的條件。如醫務人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續開展拉網式全面的摸底排查，在各個入境關道設置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統一納入社區管理，及時進行核酸檢測。

6 結果分析

6.1 問題一的結果以及模型檢驗

新冠狀病毒在2020年1月中下旬開始在我國爆發，之后在3月4號其它國家如美國、英國、意大利等地也出現了新冠患者，并瘋狂的增加，在4月1號達到了一個峰值，并后續在峰值上下波動著。目前已累計確診215萬人，現有確診人數還有151萬人，死亡人數達到了49萬人已經遠超2009年的新型流感所造成的危害。根有關部門的記錄，把疫情期間人流量的登記（并假設境外輸入病例算入一個國家最開始的已有患病人數i0）。因此可利用SIR模型：

根據H=K*u*s0與1之比找出界定流行與大流行的定量條件。并可算出最佳的處理時間。通過計算出新冠病毒從2月17號（全球正式開始嚴肅對待）開始（計為0）也是外國病例的初有時期，傳染范圍指數在不同醫療情況、社會重視程度等……經濟條件，隨時間的變化趨勢如下：與世界到達的到達時間基本相符，且擴大范圍H超過了1，因此確立為大流行病，模型驗證完畢。

6.2 問題二的結果及模型分析

6.2.1 抽樣方案

（1）是對新型冠狀病毒肺炎病例的密切接觸者開展醫學觀察期間的主動檢測;

（2）是在聚集性疫情調查中開展的主動檢測;

（3）是在新型冠狀病毒肺炎病例的傳染源追蹤過程中對暴露人群主動檢測;

（4）是對部分有境內外新型冠狀病毒肺炎病例持續傳播地區的旅行史和居住史人員開展主動檢測。

無癥狀感染者主要是來自于境外輸入病例，所以在抽樣調查時著重以對輸入人員進行檢測。

6.2.2 分布預測模型

以中國為例，本國的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發現。根據資料顯示，境外輸入病歷超過百分之七十在隔離期發現，固這部分人中最多只有百分之三十會流向國內。則湖北的感染人數：

再根據資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計算結果，境外輸入總人數參考高校疫情防控平臺發布數據），由問題1的模型得u約為0.02。當k值取時0.15，與問題一模型得出的結果基本相同。當j值取0.012時，得出的無癥狀感染者與實際無癥狀感染者數量基本相同，以此類推，再計算出其他省份的無癥狀感染者人數。[2]

6.2.3 應對方案

政府要求發現無癥狀陽性檢測者時，在2小時內進行網絡報告，并進行獎勵。各級疾控部門接到轄區內無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調查要求，24小時內完成流行病學調查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫學觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內限制出入境的條件。如醫務人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續開展拉網式全面的摸底排查，在各個入境關道設置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統一納入社區管理，及時進行核酸檢測。

7 模型評價與推廣

7.1 模型的優點

（1）在建模過程中，模型一巧妙的運用了指數模型和SIR模型及回歸思想，簡便的給出了流行與大流行的界定條件;

（2）模型二通過簡單的數學模型成功預測了無癥狀患者在全國的分布情況;

（3）兩個模型在建立上，充分結合疫情的發展趨勢，結果都十分接近真實數據;

（4）對問題中的影響因素進行了深入探討，考慮了各種因素的相互關系;

（5）模型二充分利用模型一的結論，并且與模型一相結合，結構緊湊，邏輯清晰。

7.2 模型的缺點

（1）模型一的數據是主要是以國內數據為基礎推測全國，國外數據難以獲得，使得模型一有一定的局限性。

（2）模型二的結果是通過平均值來計算的，因為無癥狀患者的數據無法得到，所以數據不太準確，擬合的結果不夠精確。

7.3 模型的改進

（1）根據國家的經濟狀況，醫療條件，政治思想，多去結合國外疫情的發展情況，使得結果具有普遍性，適用性更強。

（2）利用無癥狀患者的準確輸入人數，繪制無癥狀患者分布圖，得到準確的輸入率，使結果更加準確。

（3）可對模型一和模型二進行優化，使擬合精度更高。

參考文獻：

[1] 商榷之戰.數學建模_SIR數學模型的建立[DB/OL]. https：//wenku.baidu.com/view/dd78803a376baf1ffc4fadb3.html.

[2] 日光傾城xi. 數學建模——傳染病模型[DB/OL]. https：//wenku.baidu.com/view/55fc0466b9d528ea80c7799f.html .