基于畢奧-薩伐爾定律的永磁球形電動機定子線圈磁場分布研究

韓 冰，米 震，馬子剛，魏占朋

（1.國網天津市電力公司電纜分公司，天津 300171；2.國網天津市電力公司靜海供電有限公司，天津 301600）

0 引言

渦流損耗會使永磁球形電機出現溫升問題，在一定程度上會影響電機性能和壽命，因此，對永磁球形電機渦流損耗進行研究很有必要。文獻［1-2］從定子線圈的電流密度入手，將定子線圈等效為位于線圈間隙的圓環電流片，并忽略電流片厚度，推導出永磁球形電機渦流損耗的表達式。這種方法適用于分布式繞制的定子線圈，集中分布式定子線圈產生的磁場與此不同。

法拉第電磁感應定律將通電后的定子線圈形成的磁場和渦流密度緊密地聯系在一起，通過求解定子線圈磁場表達式即可求得渦流密度，根據渦流損耗與渦流密度之間的對應關系，最終可獲得永磁球形電動機渦流損耗的解析表達式。因此，可從求解通電定子線圈所形成的磁場出發來分析研究，繼而求解出電機的渦流損耗。

通電定子線圈所形成的磁場十分復雜，在可查的文獻中有關定子線圈所產生的磁場問題的研究較少。關于普通永磁電機定子線圈的磁場研究多是借助于有限元方法，利用軟件建立相對應的二維、三維有限元模型，對所建立的模型進行仿真分析［3-6］；或是根據所研究的電機的軸向對稱性特點，對電機做進一步降維處理，將其簡化為二維研究模型，在簡化的基礎上用矢量磁位的方法進行線圈磁場的求解計算［7-8］。由于球形電機的特殊結構，復雜的邊界條件導致定子線圈磁場復雜，很難通過精確等效將其轉化為二維模型。文獻［9］通過磁場積分法對永磁球形步進電機定子線圈產生的磁場進行了分析，給出了相應的計算公式，但并未求解出具體表達式。文獻［10］通過對永磁球形電機定子線圈進行暫態磁場仿真，說明了其磁場分布對渦流損耗有影響。文獻［11］基于等效磁網絡法，將永磁球形電機定子繞組等效為圓柱形永磁體，求解得到單個定子線圈在局部坐標系下的磁場表達式，但卻沒有給出所有定子線圈在全局坐標系的磁場分布。

永磁球形電動機如圖1 所示。由定子和轉子兩部分結構組成，球形轉子以輸出軸為對稱軸，上部鑲嵌法蘭盤，下部與底座相連，在轉子赤道處環繞轉子一周鑲嵌6 塊N、S 交替分布的永磁極，54 個采用集中繞制方式的定子線圈分3 層分別均勻分布在球形定子殼內。

圖1 永磁球形電動機

針對定子線圈特有的結構，可以采用物理學中有關圓電流磁場的求解思路，首先求解出任意位置單個定子線圈在三維空間中的磁場分布，然后采用疊加定理求出永磁球形電動機所有定子線圈在三維空間的磁場分布。縱觀國內外學者關于圓電流磁場分布的研究，為簡化分析求解的難度，均是將坐標原點建立在圓環中心或其中心軸線上。采用目前文獻所給出的建系方法求解空間中任意位置處的任一點的磁場問題對于研究者來說依然十分困難，因此，很多文獻只是對圓電流的中心軸線、近軸區域［12-15］或是電流平面［16-18］上的磁場進行分析計算，有些文獻對垂直于圓電流平面的磁場［19］或是圓電流遠區處的磁場［20］進行分析研究。現如今雖然有一些學者對圓電流所在空間任意位置處的任一點的磁場進行了相應探究［21-24］，但同樣是延續了之前的建系方法，只是建立了針對一個線圈的坐標系，在固定坐標系的基礎上展開的求解計算。當所研究的磁場問題涉及同一個坐標系下對兩個或多個分布在不同地點處的定子線圈所產生的磁場具體分布時，現有的分析方法是沒有辦法解決的。

本文所研究的永磁球形電動機的定子線圈，是沿定子球殼內部不同經度、緯度線相交點處的位置來放置的，在空間中任一點處的磁場是定子球殼內所有定子線圈所形成的磁場在同一個坐標系下磁場的疊加總和。根據所研究的實際永磁球形電機定子線圈設計特點，以圖1 所示電機結構為模型建立以轉子球心為坐標原點的坐標系，借鑒“割圓法”思想，在畢奧-薩伐爾定律的基礎上，對任一位置處的單個定子線圈在空間任一點處所產生的三維磁場展開解析計算，得到單個定子線圈磁場的表達式，通過與有限元結果比對，驗證了解析方法的正確性。

1 基于畢奧-薩伐爾定律求解單個定子線圈的磁場

根據永磁球形電動機的結構特點，以轉子中心為坐標原點，建立如圖2 所示的球坐標系。

圖2 任意位置定子線圈示意

圖2（a）給出了空間任一位置處單個定子線圈在球坐標系中所處的具體位置，假設定子坐標與轉子坐標重合。（r，θ′，φ′）為定子線圈位置在球坐標系下的表示，其中，r 表示坐標原點與定子線圈中心的距離，φ′表示x 軸正向與定子線圈中心軸線的夾角，θ′表示z 軸正向與定子線圈中心軸線的夾角。er、eθ′、eφ′為球坐標（r，θ′，φ′）的單位矢量，ζ 表示定子線圈的角徑，R 表示球心到定子線圈邊界點距離。圖2（b）給出了以定子線圈中心為原點，以θ′和φ′為坐標軸，單個定子線圈在局部坐標系中的坐標圖，ψ 為定子線圈邊界點與中心點連線與θ′負半軸之間的夾角。

取定子線圈上任一點Q（x′，y′，z′），稱作源點，I為定子線圈電流。根據畢奧-薩伐爾定律，源點Q 在空間任意點P（x，y，z）（稱作場點）處的磁感應強度為

式中：μ0為真空磁導率；r′為由點Q 指向點P 的矢量；r′為由點Q 到點P 的長度；dl 是沿點Q 切線方向的長度微分矢量。

在空間任一點P 處，定子線圈所形成的磁感應強度B 的表達式為

圖2 中的矢量可表示如下：

在式（5）—式（6）中，dΨ 取值較小，因此，cos（dΨ）近似等于1，sin（dΨ）近似于dΨ，經上述近似，rQ2表達式為

由rQ1、rQ2得dl 表達式為

將式（3）—式（4）代入，得r′表達式為：

根據球坐標系與直角坐標系兩個坐標系下單位矢量之間的變換關系，可以得到式（11）。

變換矩陣C 為

將式（11）和（12）代入式（8）后得

源點Q 在球坐標系和直角坐標系中的坐標變換關系為：

根據球坐標系與直角坐標系兩個坐標系下單位矢量之間的變換關系，可得場點P 在這兩個坐標系間的關系表達式為

將式（14）—式（17）分別代入式（9）和式（10）整理得：

將式（13）、（18）、（19）代入式（2）得

由式（20）可知，直接對含有三角函數和高次冪函數的分數進行積分很困難，因此，有必要尋求更為簡單的求解方法代替直接積分法。

2 借鑒“割圓法”思想求解單個定子線圈的磁場

在求解圓的周長時，我們往往采用“割圓法”。所謂“割圓法”，其實就是畫一個內接于圓形的正N 邊形，通過不斷倍增內接正多邊形的邊數，該內接正多邊形的周長會越來越逼近圓周長，當N→∞時，此時圓的周長可以近似用該正多邊形的周長代替。在分析求解本文圓柱形定子線圈的磁場問題中，可以借鑒“割圓法”思想。

根據圖2（b），取dl 的中心點作為源點，將定子線圈N 等分，eθ′的負半軸為起始段，沿逆時針，分別記為第1，2，3，…，N 段，其中，第n 段的中點記為Qn。當N 趨于無窮大時，采用疊加定理，即可得到定子線圈在點P 產生的磁場如式（21）所示。

式中：ρ 為由點Qn指向點P 的矢量；ρ 為由點Qn到點P 的長度。

記Ψn為Qn與定子線圈中心點的連線與eθ′負半軸的夾角，可表示為

按照上述分割方法可得第n 段圓弧段的上下端點。

上端點為

下端點為

因此，

由式（11）和式（12）得

將式（24）以及Ψ 換作Ψn的式（18）—式（19）代入式（21）得

將上述簡寫表達式代入式（25），可得所研究的永磁球形電機柱形定子線圈在空間任一點處的磁感應密度各個分量的表達式為：

式中：從x 軸正向望去，當定子線圈線電流密度為逆時針時，式（26）—式（28）取“+”，反之，式（26）—式（28）取“-”。

3 算例分析

3.1 單個定子線圈中心軸線上的磁場

當場點P 坐標為（r，θ′，φ′）時，得任意位置單個定子線圈中心軸線上的磁感應強度：

式中：R′=Rcos ζ，表示文中所研究的定子線圈的半徑。

當θ′=90°，φ′=0°時，式（32）—式（34）為

可知定子線圈中心軸線上無y、z 方向上的磁場分量。與文獻［12-16］所得結論相比，兩者的結果是一致的，說明研究定子線圈所借鑒的“割圓法”是可行的。

3.2 數值算例

表1 給出了所研究定子線圈的各項參數，其中，分割段數N 取1 000，電流方向取順時針方向。

表1 定子線圈各參數

圖3 給出了定子線圈磁場在r=80 mm 的半球面上隨經度角和緯度角變化的情況。

從圖中可以看出，當固定經度角或緯度角時，x 方向磁場以θ=90°的緯度線或φ=0°經度線作為對稱軸呈對稱分布；當固定緯度角時，以該固定緯度角處的緯度線與φ=0°所對應的經度線的相交點作為對稱點，y 方向上的磁場呈中心對稱分布，z 方向的磁場以φ=0°所對應的經度線為對稱軸呈對稱分布；當固定經度角時，以θ=90°的緯度線為對稱軸，y 方向的磁場沿該對稱軸對稱分布，z 方向的磁場則以該固定的經度角處的經度線與θ=90°所對應的緯度線的相交點作為對稱點，呈中心對稱分布。

圖3 r=80 mm 半球面上磁場分布圖

圖4 給出了φ=3°，θ=85°時，定子線圈磁場隨r的變化情況。

圖4 磁場隨r 的變化

由圖4 可知，Bx、By、Bz隨著離定子線圈距離的增大而迅速減小，僅僅在定子線圈中心及附近區域，磁場各分量比較大。

綜上，所研究的柱形定子線圈產生的磁場在線圈附近區域數值較大，隨著距離的增加，磁場逐漸減弱，超過一定區域范圍，磁場迅速衰減，幾乎為零，且在定子線圈兩側，磁場分布規律一致。越靠近定子線圈，各方向磁場數值越大。

3.3 數值算例有限元仿真驗證

為驗證所得結果的正確性，下面通過選取不同路徑上定子線圈的磁場分布特點分別與有限元方法所得結果一一進行對比。圖5 給出了定子線圈中心軸線上的磁場對比。

圖5 定子線圈中心軸線上的磁場

從圖5 可以看出，采用本文方法所得結果與有限元方法所得結果相吻合。由于選取定子線圈的中心軸線作為場點，所以僅存在x 軸方向上的磁場，該結論與現有文獻［19-22］一致。由圖5（b）和圖5（c）知，在近軸區，受磁場分布影響，y 軸和z 軸方向上的磁場呈高頻浮動，然后迅速降到零值，如果忽略該影響因素，磁場也僅存在x 方向上。

圖6 給出了定子線圈在r=80 mm，θ=90°，φ 從-90°～90°變化的半圓形路徑上的磁場對比。

圖6 定子線圈半圓形路徑上的磁場

由圖6 可知，由于定子線圈與xoy 面垂直，所選磁場路徑位于xoy 面內，因此，Bx關于定子線圈中心軸線呈軸對稱分布，By關于定子線圈中心點呈中心對稱分布，Bz為0。

綜上，通過定子線圈在不同的路徑上的磁場具體分布情況圖，可以看出，與有限元法所得結果近似一致，從而驗證了研究方法的有效性。

4 結語

根據所研究的永磁球形電機柱形定子線圈的實際設計特點，將單個定子線圈的磁場問題看作物理學中所研究的圓電流的磁場問題，借鑒“割圓法”思想，在畢奧-薩伐爾定律的基礎上，求解得到了單個定子線圈磁場的數值解表達式。通過選取了幾個不同的路徑上的磁場變化，與有限元結果展開對比，驗證了所研究方法的有效性。

通過計算，可以得出定子線圈磁場在線圈附近區域數值較大，隨著距離增加逐步減弱，當超過一定區域，定子線圈磁場迅速衰減為零的特點。為設計永磁球形電動機柱形定子線圈與轉子之間的氣隙長度提供參考。