Helmert方差分量估計在水下聲學定位中的應用

王偉平，歐陽永忠，馬越原，董 超

（1.自然資源部海洋環境探測技術與應用重點實驗室，廣東 廣州 510300；2.國家海洋局南海調查技術中心，廣東 廣州 510300；3.信息工程大學，河南 鄭州 450001）

水下聲學定位技術是海洋科學研究和工程測量的重要基礎。作為海洋大地測量的主要技術手段，水下聲學定位技術采集的數據信息不僅能夠用于監測板塊移動，海底地震、火山噴發、海嘯等海洋運動過程，還可以用來豐富地球系統科學的數據模型，同時也為海洋油氣勘探和工程建設提供了重要的技術支撐[1-4]。

高精度的水下聲學定位不僅需要準確的函數模型，同時也需要合理的隨機模型。目前，對水下聲學定位隨機模型的研究較少，大多數情況都是采用等權模型，即認為各類觀測量的先驗方差相等，這樣的隨機模型雖然實現起來簡單，但是與實際情況不符，在一定程度上影響了水下定位的精度。所以，有學者基于全球導航衛星系統（GNSS）定位中豐富的隨機模型研究成果[5-6]，提出了顧及聲線入射角的水下定位隨機模型，構造了正比函數、入射角余弦函數、入射角指數函數和入射角分段余弦函數的聲線入射角隨機模型[7-8]。

隨著測量理論和技術的發展，數據處理對象已經從對同一類觀測量發展到了同類不同精度、不同類多種觀測量[9]。對于不同類觀測量的隨機模型構造是非常困難的，為了提高數據處理結果的可靠性，準確地確定各類觀測值之間的權，Helmert提出了方差分量估計的方法，其主要目的是檢驗不同類觀測值之間的權是否合理，中心思想是通過迭代來不斷調整各類觀測值之間的權，直到各類觀測值所對應的方差之間達到一個閾值為止。

本文首先給出了水下聲學定位的基本模型，并闡述了圓走航情況下垂直分量解算精度不高的原因；針對該問題，采用圓走航和線性走航相結合的方法進行解算；考慮到不同走航航跡的數據采用等權模式解算與實際情況不符，采用Helmert方差分量估計的方法確定權比，最后利用實測數據驗證了該方法的有效性。

1 水下聲學定位模型

水下聲學定位模型的觀測方程可以表示為[10]：

式中：ρi表示在歷元i處聲學換能器到海底應答器（控制點）的幾何距離；表示測量距離；δρdi表示由海底應答器固有的時間延遲引起的系統誤差；δρdi為聲速不確定性引起的系統誤差；εi為隨機誤差。就目前換能器的制作工藝而言，δρdi可以忽略不計；聲線彎曲和聲速剖面測量誤差是引起聲速不確定性兩類最主要的原因，當使用測區聲速剖面數據進行聲線跟蹤定位時，理論上能完全消除聲線彎曲的影響，但是聲速剖面測量往往隨時空而變化，為此，水下定位數據處理通常采用常聲速定位觀測模型，并在此基礎上施加模型化參數估計補償[2]。

為此，水下定模型的觀測方程可以簡化為：

水下定位數據處理過程中，采用當地水平坐標系（NEU）有助于分析系統誤差對坐標分量的影響，為此，后文描述均基于該坐標系中。其中，n、e和u分別表示北分量、東分量和天頂分量。

聲學換能器的位置可以通過GNSS天線，利用姿態測量值和歸心改正參數間接定位，可以得到歷元i處聲學換能器的坐標為xT=(ni ei ui)T。假設海底應答器的坐標為xP=(nP eP uP)T，將坐標改寫成初始值加改正數的形式，則有：

式中：x0為海底應答器的坐標初始值，xP,0=(nP,0eP,0uP,0)T；dxP為海底應答器的坐標改正數，dxP=(dnP deP duP)T。

將式（2）在xP=xP,0處線性展開，可表示如下[11]：

式中：c0為初始聲速；δc為c0的誤差；ti為聲波從換能器到海底應答器的傳播時間；是ρi的近似值，表達式為：

根據式（4）可得定位模型式（2）的誤差方程為：

式中：vi是殘差；ai為觀測方程設計矩陣，表示為：

實際應用中，通常將聲速作為待估參數，與海底應答器坐標一同求解，因此誤差方程可寫成：

需要強調的是，測量船在對海底控制點進行走航標校時，通常會采用兩種走航航跡，一種是以海底控制點為圓心，水深為半徑的圓形走航；另一種是以經過海底控制點上方的交叉線性走航。如果走航軌跡為圓形時，則式（8）中ai的u分量元素幾乎為一個常值[12]，而的設計矩陣系數ti也幾乎為一個常值，說明duP與存在強相關關系，此時若解算方程，會出現觀測方程病態或者秩虧的情況，使得垂直分量解算結果不可靠；若走航航跡為線性走航時，則會避免這種情況的發生，并且過頂觀測有利于減弱垂直分量的系統誤差。這部分結論已經理論推導證明，擬另文專題介紹。

雖然圓走航情況下，同時解算坐標參數、聲速以及聲速系統誤差會使得垂直分量解算結果異常，但是圓走航因為其對稱走航的優越性，可以在觀測的過程中，抵消大部分水平方向上的系統誤差，因此圓走航情況下，水平分量的解算精度要優于線性走航的情況。所以，為了保證海底控制點三維坐標的定位精度，通常采用圓走航與交叉線性走航相結合的方式進行測量。

2 Helmert方差分量估計

一般情況下，由于圓走航和交叉線性走航的走航軌跡不同，故在測量過程中對海底控制點的觀測信息也不同，因此，將兩種航跡采集的數據認為是是兩類觀測值。通常在數據處理過程中，對兩類觀測值采用等權的方式進行處理，即認為兩類觀測值是獨立且等精度的。這樣處理雖然實現簡單，但與實際情況不符，特別是在函數模型構建基本正確的情況下，定位精度的高低完全取決于隨機模型的準確與否。

對于不同類觀測值的方差協方差一般是有先驗值的，但是先驗的方差協方差存在一定的局限性，由此確定的不同類觀測值的權比也不盡合理[13-14]。對于該問題，常采用Helmert方差分量估計來解決。

本文采用Helmert方差分量估計公式[9,15]：

式中：

對式（9）進行求解時需要迭代，解算流程如下：

（2）根據式（9）進行方差分量估計，得到兩類觀測值單位權方差的估值

（3）按驗后方差重新定出兩類觀測值的權陣；

（4）按重新得到的權再次進行平差解算；

3 算例與分析

為了檢驗分析，采用一次深海實測數據，實驗海域水深約3 000 m。實驗過程中，在海底布設了一個應答器作為待估的海底控制點，測量船速緩慢、平穩，在海底控制點周圍進行了兩種走航方式：（1）以海底控制點為圓心，0.5倍水深為半徑，共獲得了684個聲學時延數據；（2）以過頂交叉線性走航方式，共獲得563個聲學時延數據。

本文采用將聲速作為未知參數與海底控制點坐標一起估計的方式確定聲速值，在解算過程中，為了抑制異常誤差的影響，均采用IGGIII方案抗差估計法[16]。

如圖1和圖2所示，圖1為圓形走航航跡，圖2為線性走航航跡。

圖1 圓形航跡

圖2 線性航跡

本文將采用如下方案進行解算：

方案一：對圓走航航跡采集的數據進行解算；

方案二：對線性走航航跡采集的數據進行解算；

方案三：等權情況下，對圓走航航跡和線性走航航跡采集的數據聯合解算；

方案四：利用Helmert方差分量估計定權，對圓走航航跡和線性走航航跡采集的數據聯合解算。

表1 各方案解算結果

表1給出各方案的解算結果，從中可以看出：

（1）從方案一和方案二的結果可以看出，方案一的水平分量及整體位置精度明顯優于方案二，這是因為圓走航的情況下，水平方向的系統誤差大小相等、符號相反，互相抵消；而線性航跡在垂直分量解算的精度要稍優于圓形航跡，這是因為在將聲速作為未知參數與三維坐標一起解算時，圓形航跡的u分量與聲速參數強相關，從而使得垂直分量的解算精度稍遜色于線性航跡。

（2）從方案三可以看出，采用圓走航航跡和線性走航航跡聯合解算，垂直分量的精度要明顯優于圓走航和線性走航各自獨立解算的精度；但是水平分量精度仍要略低于圓走航在水平方向的解算精度，整體位置解算精度明顯遜色于方案一，略好于方案二，這是因為方案三中線性航跡帶來了一部分水平方向的系統誤差，所以才導致水平方向的解算精度要低于方案一。

（3）從方案四可以看出，利用Helmert方差分量估計定權，水平分量和垂直分量的解算精度分別為0.018 m、0.018 m和0.081 m，顯著優于方案三，更優于方案一、方案二，整體位置解算精度顯著優于方案三、方案二，接近方案一，充分說明了采用Helmert方差分量估計可以較為合理的確定各觀測量的權，可有效提高海底控制點的定位精度。

（4）從聲速解算的總體結果來看，四種方案的解算值基本一致，最大互差不超過1.6 m/s，這符合實際邏輯，因為解算的是該區域的平均聲速。但從解算的內符號精度來看，方案一的解算精度較差，這是因為圓走航時，坐標垂直分量與聲速強相關，引起觀測方程秩虧，導致解算結果較差；方案二的解算結果優于方案一，這是因為解算線性航跡時，不會出現方程秩虧的情況；方案三的解算精度優于方案一，說明圓走航航跡和線性走航航跡采集的數據聯合解算，不僅有利于提高垂直分量的精度，還能改善圓走航聲速解算精度較差的問題；方案四的解算精度較方案三有明顯提高，說明Helmert方差分量估計不僅能有效提高海底控制點的定位精度，還能提高測量海域平均聲速的解算精度。

4 結論

為了提高海底控制點的定位精度，改善圓走航在垂直分量解算精度不高的情況，本文充分利用線性走航在垂直分量解算精度優于圓走航的這個優勢，將圓走航與線性走航進行聯合解算，并針對常用的等權隨機模型與實際情況不符的情況，利用Helmert方差分量估計方法對兩類觀測值合理定權，并對所描述的理論和方法進行了實測數據的算例分析。研究結果表明：（1）圓走航與線性走航相結合可以有效改善圓走航在垂直分量解算精度不高的情況，這對實際測量中測量船走航航跡設計有一定的參考意義；（2）使用Helmert方差分量估計可以較為合理地確定各類觀測值的權，在一定程度上能有效改善定位的隨機模型，提高定位精度；（3）在測量海域聲速未知的情況下，Helmert方差分量估計能有效提高聲速的解算精度。

由于受目前數據條件的制約，本文中的總體位置與水平、垂直方向分量解算精度的分析與評估皆基于內符合統計計算分析結果，未來可通過其他方式獲取實測的數據來做外部檢核，進一步驗證本文所提出方法的有效性和可靠性。在聲速方面，未來可以考慮采用全剖面實測聲速數據，結合常梯度聲線跟蹤模型對求解方案進行評估，從而獲得更準確的點位坐標和精度。