基于連續時間投影梯度算法的分布式電源功率協同控制

章杜錫，陳東海，周 飛，陳武軍，陳明強，王冠中

（1.國網浙江省電力有限公司寧波供電公司，浙江 寧波 315016；2.寧波天靈信息科技有限公司，浙江 寧波 315100；3.浙江大學 電氣工程學院，杭州 310027）

0 引言

目前，智能電網背景下的電力系統已經成為典型的信息物理系統。大量的分布式元件具備一定的感知、通信和計算功能，如分布式發電單元，饋線自動化終端等設備。隨著分布式發電設備的持續增多，未來電網需要實現分布式電源“即插即用”的運行管理模式[1]。然而傳統的集中式控制模式無法滿足更加靈活的運行需求，同時，在面對網絡攻擊等問題上也遭遇到巨大的挑戰[2]。另一方面，分布式控制模式只需要局部通信，在運行方式上更加靈活，且對網絡攻擊等問題具備更強的魯棒性[3]。鑒于分布式控制模式自身所具備的優點，以及智能電網能夠為分布式控制的實施提供更多的軟硬件支撐，隨著對分布式電源“即插即用”需求的不斷增加，關于分布式控制的研究也具有越來越重要的理論意義。

近年來，大量國內外學者致力于在電力系統運行與控制領域引入分布式控制方法，成果主要集中于分布式經濟調度、頻率控制等方面[4-9]，其中，基于一致性算法的分布式運行與控制獲得的關注度最高。文獻[10]基于一致性理論，提出了成本微增率一致性算法，實現了以主導發電機收集功率偏差信號作反饋的分布式經濟調度方法。文獻[11]在文獻[10]的基礎上，將功率偏差也采用分布式估計，改進了需要領導節點已知全局功率偏差的不足（領導節點仍舊存在，但不再已知全局功率偏差），實現了基于一致性算法的分布式微網能量管理。文獻[12]考慮了通信噪聲和網絡延時，提出了使用魯棒一致性算法的分布式經濟調度控制方法，但基本框架還是文獻[10]中的經典模式。文獻[13]為反饋變量也設計了一致性估計算法，能夠在系統動態過程中保持負荷與發電功率之間的平衡，盡管該方法可以避免主導節點的存在，但是需要反饋變量一致性算法的初值滿足功率平衡假設，這一點在實際電力系統運行中難以保證。文獻[10-13]均是利用了最為常見的一階一致性算法，所構造出的分布式控制系統階數較低，在與底層控制的結合上具有簡單易行的優勢，然而，基于一致性算法的分布式控制依賴實際中難以滿足的假設條件，如需要假設某個節點已知系統全局信息，或者假設算法的初值能滿足功率平衡約束，這些假設導致基于一致性算法的分布式控制難以滿足分布式電源“即插即用”的需求。

連續時間梯度算法[14]與一致性算法在變量階數上差別不大，由于該算法是利用優化問題中的原對偶變量迭代規則來實現分布式控制結構，因此不依賴主導節點即可滿足全局功率平衡約束，而且在迭代過程中能夠滿足局部的機組出力約束等。文獻[14]基于連續時間梯度算法提出了多微電網互聯系統的分布式頻率最優控制方法，使得可控負荷功率控制暫態過程中調節能力約束始終滿足。文獻[15]采用頻率偏差來反映系統的功率不平衡偏差，間接地解決了微電網中功率平衡約束問題，但尚未考慮目前分布式電源功率協同控制與調頻控制在時間尺度上分離的實際情況。

本文研究基于連續時間投影梯度算法的分布式電源功率協同控制，旨在解決大規模分布式電源接入下有功功率最優分配的分布式控制問題。所提方法在連續時間梯度算法的基礎上引入投影算子解決分布式電源出力上下限約束，避免了設置領導節點并已知全局負荷需求的不足，此外，算法初值不受任何限制，更適合實際電力系統的功率控制場景。所提方法在功率控制方面促進了大規模分布式電源接入智能電網的可行性。

1 基于一致性算法的功率協同控制

一階一致性算法是分布式控制領域最常見的方法，其收斂性取決于狀態變量之間的連接關系，這便是一致性算法與圖論存在相關性的理論基礎。因此，本章分別介紹圖論基礎、分布式電源功率協同控制問題和基于一致性算法的功率協同控制方法。

1.1 圖論

一致性算法依托圖論。設G 為分布式電源通信網絡拓撲圖，圖G 由頂點集V 和邊集E 組成，記作G=（V，E），其中V 是由圖G 中的所有頂點組成的有限集，記作V={1，2，…，n}；E 是由V中元素構成的有序二元組，若頂點i 和頂點i 之間存在通信線路，則記作（i，j）∈E。本文中假設圖G 都是連通的無向圖，即圖中任意兩個頂點之間存在通路。圖G 的鄰接矩陣定義為A={aij}，其中，aij＞0，?i≠j∧（i，j）∈E 和aii=0。

節點i 的鄰居節點指的是與節點i 存在連接關系的節點，用集合Ni={j∈V∶（i，j）∈E}來表示。令di=∑j∈Niaij表示節點i 的入（出）度，定義對角矩陣D=diag{di}為圖G 的度矩陣。圖G 的拉普拉斯矩陣定義為L=D-A，按照本文中的定義方式，拉普拉斯矩陣L 為一半正定矩陣，此外，0 特征根的幾何和代數重數都是1，且其對應的右特征值為全部元素都是1 的列向量1T。

1.2 分布式電源功率協同控制問題

假設智能電網的某局部子系統接入了多個分布式電源，不失一般性，獨立可控的分布式電源個數記作n。在有功功率三次控制時間尺度上，分布式電源功率協同控制問題本質上是有功功率的經濟調度問題，可以表示為如下的優化問題：

滿足約束條件：

式中：Pi為分布式電源i 發出的有功功率；Ci（Pi）代表分布式電源發電的費用函數，按照大多數文獻的近似方法[10-13]，本文采用二次函數+βiPi+γi來近似費用函數Ci（Pi）；約束式（2）為功率平衡約束，dj為負荷；約束式（3）為分布式電源功率調節上、下限約束。

在約束式（3）沒有達到邊界值時，優化問題式（1），（2）的最優解滿足等微增率準則[10]，即：

上述等微增率準則即各個分布式電源的費用函數在最優解處的導數相等，大多數基于一致性算法的分布式控制便以微增率為一致算法中的狀態變量，通過微增率的同步實現功率協同控制。

1.3 基于一致性算法的功率協同控制方法

本文中的分布式電源之間存在1.1 節中所描述的通信網絡，其鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣均為1.1 節中所定義的矩陣形式。

據此，首先介紹文獻[10]中采用領導節點的功率協同控制方法。對于非領導節點，分別設置狀態變量λi，其動態方程為：

式中：Iij為拉普拉斯矩陣L 的元素，Iij≠0 表示分布式電源i 與j 之間存在相互通信。

對于領導節點，同樣設置狀態變量λi，其動態方程與非領導節點相比增加了系統全局功率不平衡偏差的反饋信號：

式中：ε 為功率不平衡偏差反饋信號的比例系數，其值越大，算法收斂速度越快，但狀態變量的一致性也會受到更大的影響，因此為不影響一致性算法的穩態誤差，一般設置在較小的數值上。

文獻[13]改進了反饋信號的注入方法，假設每個分布式電源能夠感知所在位置附近的負荷，那么利用增加的反饋變量動態系統，可以實現分布式電源分布式地感知系統全局功率偏差，其動態方程簡單概括為：

式中：fi是增加的反饋變量，用來分布式感知系統功率偏差。然而，該方法對系統的初值要求苛刻，需要滿足分布式電源功率和全部負荷之間的偏差等于反饋變量之和，即初始時刻∑fi+Pi-di=0。

當考慮功率上下限約束式（3）時，上述一致性算法中的狀態變量變為虛擬微增率，對于達到出力上下限的分布式電源根據可自身出力約束保持在邊界功率處，而系統利用反饋消除功率不平衡偏差，因此虛擬微增率依然能夠達到同步（實際微增率不再同步）。分布式電源實際發電功率與虛擬微增率變量的關系如下：

當前的基于一致性算法的功率協同控制方法通過設置領導節點來搜集全局功率偏差的做法顯然破壞了分布式控制的基本特征，而利用分布式反饋自行感知功率偏差的做法需要在初值的設置上滿足苛刻的約束條件。

2 基于連續時間投影梯度算法的功率協同控制

除一致性算法外，連續時間的梯度算法也是分布式控制領域常見的一種方法。該方法對決策變量采用梯度下降的迭代規則[14]。在本文中，將優化問題式（1）—（3）視為以Pi為決策變量的優化問題，并增加輔助變量λi和zi，在此基礎上利用投影算子對Pi的迭代過程增加了上下限約束，以此保證優化結果滿足約束式（3）。按照文獻[16]中所定義的連續時間投影梯度算法來求解分布式電源功率協同控制問題式（1）—（3），可得動態系統為：

上述投影算子在線性約束式（3）的條件下可以進一步用在閾值處輸出為0 的飽和環節來表征，因此式（9）可以進一步表示為：

上述算法可保證在通信拓撲為連通圖，目標函數為二次凸函數且初始點在功率正常運行范圍內的情況下，動態系統的平衡點收斂于優化問題式（1）—（3）的最優解。具體證明過程詳見文獻[16]。

與基于一致性算法的分布式控制算法式（7），（8）相比，本文所提的基于連續時間投影梯度算法的功率協同控制式（10）沒有增加動態系統的方程個數，只是將式（8）從描述功率與微增率轉換關系的代數方程轉化為以功率變化速度與微增率偏差量之間關系的微分方程，未明顯增加系統的階數。此外，該算法不需要設置領導節點，在保持分布式控制結構特征方面優于上一章的式（6）；同時，由于分布式電源在正常運行過程中功率始終不會違反上下限約束，因此本文所提算法不需要人為設置初值，只是按照分布式電源的正常運行狀態自動運行即可實現有功功率的最優分配。

綜上所述，基于連續時間投影梯度算法的分布式電源功率協同控制相比于基于一致性算法的分布式控制策略更適合智能電網的實際應用場景。下文通過算例驗證所提控制算法的有效性。

3 仿真分析

仿真分析部分的主要目的是驗證基于連續時間投影梯度算法的功率協同控制的有效性。采用修正的IEEE 33 節點系統進行仿真分析，其電力和通信拓撲如圖1 所示，其中，分布式電源DG1—DG3 在孤島運行模式下負責整個系統的功率平衡，并按照圖1 中的分區感知所在區域的總負荷di，其中，DG2 和DG3 分別負責虛線框內的總負荷感知，系統其余部分由DG1 負責。

在本文中，通信拓撲的權重為1，即aij=1，?i≠j∩（i，j）∈E，其余參數見表1。控制算法的實施平臺為MATLAB 2017b，通過在Simulink 中構造動態系統驗證本文所提方法的有效性。

圖1 修正IEEE 33 節點系統

表1 分布式電源參數

圖2 中3 條曲線分別代表DG1—DG3 功率變量在連續時間投影梯度算法中的響應軌跡，其中控制參數η 值為50。系統到達穩態時3 個分布式電源的輸出功率分別是400 MW，180 MW 和320 MW，滿足系統全局負荷總需求，同時，算法初始時刻3 個功率變量的初值分別設置為150 MW，200 MW 和100 MW，通過連續時間算法動態迭代，證明所構造的協同控制算法系統的平衡點能夠收斂到經濟調度優化問題的最優解，且具有較快的收斂速度。

圖2 η 為50 時功率響應曲線

文獻[16]研究了連續時間投影梯度算法的收斂性問題，但對于算法收斂速度及算法本身存在的非線性振蕩問題未展開討論，即文獻[16]僅研究了當參數η 值為1 時的算法收斂性（等價于系統穩定性）。圖3 所示功率響應曲線為文獻[16]中所提出的連續時間投影梯度算法的動態，與圖2 相比，圖3 中的功率曲線振蕩的幅值更大，周期更長，系統響應速度更慢。本文所提算法通過增加參數η 來提高系統響應速度，并抑制響應曲線的振蕩，改善了文獻[16]中所提算法的動態性能。

圖3 η 為1 時功率響應曲線

4 結語

本文基于連續時間投影梯度算法提出了分布式電源功率協同控制方法，在不增設領導節點、不對控制算法的初值做出不必要限制的條件下，實現了對于分布式電源有功功率的分布式最優控制。所提方法對于大規模分布式電源接入智能電網并“即插即用”運行提供了有價值的探索。