網絡環境下切換模糊時滯系統的非脆弱控制

劉 毅,梅玉鵬,李國燕,潘玉恒

(天津城建大學 計算機與信息工程學院,天津 300384)

0 概述

網絡控制系統(Networked Control System,NCS)是由網絡形成的閉環反饋控制系統。在該類系統中,傳感器、控制器與執行器的數據傳輸都是通過網絡實現的[1-2]。NCS不僅能節省系統設計成本,還使得遠程信息資源共享成為可能,其可維護性和靈活性強,在工業控制網絡、無人機等領域應用廣泛,是控制系統的一個發展方向,具有重要的研究價值[3-5]。

網絡切換控制系統是NCS中十分重要的一種類型。研究者利用切換系統理論對網絡控制系統進行分析,取得了較多的成果[6-8],其中采用平均駐留時間法設計系統的切換律,受到了許多學者的關注[9-11]。文獻[12]采用平均駐留時間法研究了網絡控制系統的丟包和時延問題,給出系統指數穩定的條件。文獻[13]采用平均駐留時間法對網絡切換系統的故障檢測等問題進行研究,并結合李雅普諾夫函數理論,給出系統的穩定條件。文獻[14]采用平均駐留時間法研究了存在雙邊時變時延的網絡控制系統指數穩定問題。但上述文獻均未考慮系統非線性的情況,而在現代工業過程中存在嚴重的非線性,因此,研究非線性網絡切換系統的穩定性問題具有重要價值。目前,采用T-S模型建模并結合平均駐留時間法分析該類系統穩定控制問題的研究成果較少。

隨著現代工業過程的日趨復雜,在實際的切換模糊控制系統中,不可避免地存在著控制器參數攝動[15],并且普遍存在時滯[16]。為此,文獻[17-18]研究了網絡控制系統的非脆弱控制問題,文獻[19-20]針對系統中存在的時滯問題進行了研究?？刂破鲄禂z動、系統參數不確定和時滯是造成系統不穩定的一個主要原因。文獻[21]針對帶有時滯的不確定切換模糊系統的非脆弱控制問題,運用李雅普諾夫函數法設計系統切換律,并給出了系統漸近穩定的條件。

本文在文獻[21]的基礎上,考慮系統存在時變時滯及網絡時延的情況,通過運用平均駐留時間法、李雅普諾夫穩定性定理及線性矩陣不等式,得到NCS中的切換律、控制器的設計方法和使系統指數穩定的平均駐留時間條件。

1 問題描述

x(k+1)=(Aσi+ΔAσi)x(k)+

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+

(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)

x(k)=Ψ(k),k∈[-d,0],i=1,2,…,Nσ

(1)

假設1不確定矩陣是模有界的,即:

(2)

結合PDC算法,由單點模糊化、乘積推理和平均加權反模糊化,系統(式(1))可表示為:

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

(3)

其中,切換信號σ可以由函數vσ(x(k))來刻化。當切換信號傳遞到子系統時,vσ(x(k))=1,反之vσ(x(k))=0。

設計模糊狀態反饋控制器形式如下:

(4)

其中,Kσi表示控制增益矩陣,ΔKσi表示控制增益攝動矩陣。

假設2控制器增益攝動滿足:

ΔKσi=HσiRσi(k)Gσi

將式(4)代入式(3),可得:

μσj(z(k))[(Aσi+ΔAσi)x(k)+(Adσi+ΔAdσi)×

x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)(Kσj+ΔKσj)x(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)(Kσj+ΔKσj)x(k-1)]=

(5)

其中:

網絡控制系統要達到指數穩定,切換信號σ需滿足平均駐留時間條件。

定義1[22]若存在標量δ>0以及0<γ<1,使得‖x(k)‖≤δγ(k-k0)‖x(0)‖,k≥k0≥0,則網絡切換模糊時滯系統(式(1))在切換信號σ作用下是指數穩定的,γ表示衰減率。

定義2[23]對于任意時刻t2>t1>0,以Nσ(t1,t2)表示時間段[t1,t2]上的切換次數,若存在Tα>0,N0≥0使式(6)成立,那么常數Tα為平均駐留時間,N0是抖振界,本文取N0=0。

(6)

2 理論推導

定理1假設有正定對稱矩陣Pσ,Sσ,Qσ和矩陣Kσi,常數λ∈(0,1),μ∈[1,+)及ε≥0使得:

(7)

Vσ(ki)≤μVσ(kj),?i,j∈M

(8)

并且,切換信號滿足平均駐留時間:

(9)

那么,系統(式(1))是指數穩定的,并且系統狀態估計為:

在式(7)～式(9)中:

θ1=-4(1-λ)Pσ+4Sσ+4(1-dM-dm)Qσ+

(BσjHσi)(BσjHσi)T]

Ξ1=Aσi-BσiKσj+Aσj-BσjKσi

(BdσiHσj)(BdσiHσj)T]

其中,*是對稱位置矩陣的轉置。

證明對于第σ個子系統,選取時滯依賴的Lyapunov-Krasovskii泛函為:

(10)

其中:

V1σ(x(k))=xΤ(k)Pσx(k)

V4σ(x(k))=xΤ(k-1)Sσx(k-1)

由式(10)可知,存在2個正數ξ1、ξ2使得:

ξ1x2≤Vσ(x(k))≤ξ2x2

(11)

其中:

記Lyapunov函數的差分為ΔVσ(k),則對于V1σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV1σ(x(k))+λV1σ(x(k))=

V1σ(x(k+1))-(1-λ)V1σ(x(k))=

xT(k+1)Pσx(k+1)-(1-λ)xT(k)Pσx(k)

(12)

由引理1可得:

(13)

其中:

對于V2σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV2σ(x(k))+λV2σ(x(k))=

V2σ(x(k+1))-(1-λ)V2σ(x(k))=

(1-λ)d(k)xΤ(k-d(k))Qσx(k-d(k))

(14)

由上式可知:

(15)

由此可得:

ΔV2σ(x(k))+λV2σ(x(k))≤

(1-λ)dMxΤ(k-d(k))Qσx(k-d(k))

(16)

對于V3σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV3σ(x(k))+λV3σ(x(k))=

V3σ(x(k+1))-(1-λ)V3σ(x(k))=

(1-dm-2+dM+1)xΤ(k)Qσx(k)-

(17)

對于V4σ(x(k))的差分,有以下公式:

ΔV4σ(x(k))+λV4σ(x(k))=

V4σ(x(k+1))-(1-λ)V4σ(x(k))=

xΤ(k)Sσx(k)-xΤ(k-1)Sσx(k-1)

(18)

結合式(12)～式(18)可得:

ΔVσ(x(k))+λVσ(x(k))≤

(19)

其中:

Ω=-4(1-λ)Pσ+4Sσ+4(1+dM-dm)Qσ

Φ222=Φ122-4(1-λ)dMQσ

Φ233=Φ133-4Sσ

由式(19)可知,若式(20)成立,則ΔVσ(x(k))+λVσ(x(k))<0成立。

(20)

應用Schur分解方法,式(20)可化為:

(21)

其中:

(22)

其中:

(23)

以上推導說明,在滿足式(7)的條件下:

Vσ(x(k+1))-Vσ(x(k))+λVσ(x(k))≤0

即:

Vσ(x(k+1))≤(1-λ)Vσ(x(k))

(24)

由式(8)和式(24)可得:

Vσ(x(k))≤(1-λ)(k-k0)μ(k-k0)/TαVσ(0)=

((1-λ)μ1/Tα)(k-k0)Vσ(0)

(25)

由式(11)和式(25)可得:

ξ1‖x(k)‖2≤Vσ(x(k))≤((1-λ)μ1/Tα)(k-k0)×

Vσ(0)Vσ(0)≤ξ2‖x(0)‖2

則指數穩定的狀態估計為:

(26)

因此,根據式(9)和式(26)可得γ<1,系統(式(1))在所設計的切換律下是指數穩定的。

X1*********GσiXσ-ε24σijI********GσjXσ0-ε24σijI*******GσiXσ00-ε25σijI******GσjXσ000-ε25σijI*****E1σiXσ-E2σiNσj0000θ2****E1σjXσ-E2σjNσi00000θ3***Λ000000X2**00000000-4(1-λ)dMMσ*00000000E3σiXσ-ε22σijI00000000E3σjXσ000000000AdσiXσ+AdσjXσ000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000→←****************************************************************************************************-ε22σijI*********0-13Xσ+ε22σijD-********00-4Wσ*******00GσiXσ-ε26σijI******00GσjXσ0-ε26σijI*****00GσiXσ00-ε27σijI****00GσjXσ000-ε27σijI***00E4σiNσj0000θ7**00E4σjNσi00000θ8*00-BdσiNσj-BdσjNσi000000X3<0(27)

X1=-4(1-λ)Xσ+4Wσ+4(1-dM-dm)Mσ

(BσjHσi)(BσjHσi)T]

(BdσiHσj)(BdσiHσj)T]

Λ=AσiXσ-BσiNσj+AσjXσ-BσjNσi

3 仿真實驗

本文通過2個仿真實驗來驗證本文方法的有效性。

實驗1對于如下不確定網絡切換模糊時滯系統:

(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+

(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

其中:

取隸屬度函數:

μ11(x1(k))=μ12(x2(k))=1-1/(1+e-4x1(k))

μ21(x1(k))=μ22(x2(k))=1/(1+e-4x1(k))

選取初始點[0.3,-0.1]Τ,利用MATLAB仿真,系統狀態曲線如圖1所示,其切換信號如圖2所示。由仿真結果可知,在本文所設計的切換律和控制器下,系統是指數穩定的。文獻[21]中,取時滯時間d=1,系統狀態曲線如圖3所示。

圖1 網絡切換模糊系統的狀態曲線

圖2 網絡切換模糊系統的切換信號

圖3 采用文獻[21]方法的系統狀態曲線

Fig.3 State curve of network switched fuzzy system using the method in Ref.[21]

本文選取的時滯1≤d≤4,文獻[21]中的時滯d=1,因此,本文中的時滯不小于文獻[21]中的時滯。由圖1和圖3可知,即使本文考慮了系統存在網絡時延和時變時滯的情況,系統的收斂速度依然比文獻[21]中系統的收斂速度快。由此可知,采用平均駐留時間法設計系統的切換律,系統收斂速度更快,性能指標更好。

實驗2針對圖4所示的倒立擺系統,根據牛頓力學定律,建立系統的動態方程(不計倒立擺系統中的各種摩擦力):

其中,x1為擺與垂直線的夾角,x2是角速度,g=9.8 m/s2是重力加速度,a=1/(m+M),擺的質量m=2 kg,車的質量M=8 kg,擺的長度l=0.5 m,u為作用于小車的力。

圖4 倒立擺系統

假設x1受時滯干擾,將擺角范圍[-30°,30°]分成2個區域R1和R2,區域R1為15°<|x1|≤30°,區域R2為|x2|≤15°,分別建立2個模糊子系統,并得網絡切換模糊時滯系統模型:

[(Aσi+ΔAσi)x(k)+(Adσi+ΔAdσi)x(k-d(k))+

(Bσi+ΔBσi)uσ(k)+(Bdσi+ΔBdσi)uσ(k-1)]

其中:

當|x1|≤15°時,取隸屬度函數為:

μ21(x1(k))=1-|x1(t)|/15

μ11(x1(k))=|x1(t)|/15

當15°<|x1|≤30°時,取隸屬度函數為:

μ21(x1(k))=|x1(t)|/15-1

μ11(x1(k))=2-|x1(t)|/15

選取初始角度為x1(0)=25°,x2(0)=0,利用MATLAB仿真,系統的狀態曲線如圖5所示,其切換信號如圖6所示。由仿真結果可知,在本文所設計的切換律下,系統是指數穩定的。

圖5 倒立擺系統的狀態曲線

圖6 倒立擺系統的切換信號

4 結束語

本文針對帶有時滯的網絡切換模糊系統,采用平均駐留時間法,選取合適的李雅普諾夫函數,設計了系統切換律并完成控制器的求解,給出時滯相關的網絡切換模糊系統指數穩定的條件。仿真結果表明,與文獻[21]中的李雅普諾夫函數法相比,采用平均駐留時間法設計系統的切換律,可有效加快系統收斂速度,優化指標性能。下一步將在本文研究的基礎上對系統的H∞控制和故障檢測問題進行分析。