溫克爾地基對(duì)簡(jiǎn)支梁后屈曲行為的影響

陳 偉 年

(甘肅省武威市涼州區(qū)西關(guān)小學(xué)，甘肅 武威 733000)

0 引言

溫克爾模型是捷克工程師Winkler于1867年在計(jì)算鐵路路軌時(shí)提出的一個(gè)地基模型。該地基模型的特點(diǎn)是把土體視為由一些彼此獨(dú)立的彈簧組成，其變形具有彈簧變形的特點(diǎn)。

梁、板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問(wèn)題作為建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的基本問(wèn)題之一,其力學(xué)行為一直受到學(xué)者和科技工作者的重視[1-4]。溫克爾地基梁是工程中的一種常見(jiàn)結(jié)構(gòu)，研究彈性地基梁的問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)的工程背景。楊學(xué)祥[5]研究了溫克爾彈性地基懸臂梁在均布橫向壓力下的非線性彎曲問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]根據(jù)疊加原理給出了任意分布載荷作用在溫克爾地基梁的沉降以及彎矩等分布計(jì)算方法。文獻(xiàn)[7]分析了溫克爾地基懸臂梁在均布載荷作用下的非線性彎曲問(wèn)題。張曉玲[8]介紹了基于Winkler地基模型和Boussinesq地基模型彈性地基梁的一些計(jì)算方法,指出彈性地基梁的理論分析和計(jì)算方法的重要性。

由上述文獻(xiàn)知，溫克爾地基對(duì)梁彎曲行為的研究較多，而對(duì)梁后屈曲行為的影響研究比較有限。因此，本文研究溫克爾彈性地基對(duì)簡(jiǎn)支梁后屈曲行為的影響問(wèn)題。建立溫克爾地基簡(jiǎn)支梁后屈曲問(wèn)題的控制微分方程，采用打靶法[8]技術(shù)數(shù)值求解，分析不同地基系數(shù)對(duì)梁后屈曲行為的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮圖1a)所示，放置在溫克爾地基上的長(zhǎng)為l，寬為b，高為h的矩形截面簡(jiǎn)支梁，受均勻分布荷載q作用，梁的變形示意圖見(jiàn)圖1b)。

溫克爾地基模型通常表述為任意點(diǎn)壓力強(qiáng)度與變形成正比:

p=kw

(1)

其中,k為地基剛度系數(shù)。

1.1 非線性幾何方程

(2)

(3)

(4)

其中，x為變形前梁軸線上任意物質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo);u為物質(zhì)點(diǎn)在軸線方向的位移;w為物質(zhì)點(diǎn)在橫向方向的位移;θ為梁變形以后沿軸線切線與x軸正向的夾角;R為軸線的伸長(zhǎng)率。

1.2 物理方程

N=Ebh(R-1)

(5)

(6)

1.3 平衡方程

(7)

其中,P1,P2分別為橫截面內(nèi)沿x和y方向的內(nèi)力分量;P3為彎矩。

軸線伸長(zhǎng)率為:

R=1-(P1cosθ+P2sinθ)/Ebh

(8)

2 無(wú)量綱控制方程和邊界條件

引入如下無(wú)量綱量變換：

(X,S,U,W)=(x,s,u,w)/l，K=12kl4/Ebh3；

(H,V,M)=12l(P1l,P2l,P3)/Ebh3。

將其代入公式，可得到以下無(wú)量綱控制方程：

(9)

相應(yīng)的無(wú)量綱邊界條件為:

S(0)=W(0)=H(0)=0

(10)

U(1)=W(1)=M(0)=0

(11)

3 數(shù)值計(jì)算與討論

采用數(shù)值計(jì)算方法打靶法求解。打靶法的具體實(shí)施過(guò)程可參考文獻(xiàn)[9]。

圖2～圖5分別給出了不同彈性地基系數(shù)K下，無(wú)量綱臨界載荷Q和左端轉(zhuǎn)角、水平位移、鉛垂內(nèi)力以及右端彎矩之間的關(guān)系曲線。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，隨著K的增加，梁發(fā)生屈曲的臨界載荷隨著增加，說(shuō)明彈性地基可以提高梁的穩(wěn)定性，這是因?yàn)樵黾訌椥缘鼗喈?dāng)于增加了梁的約束。由圖2～圖5知，后屈曲變形過(guò)程中，隨著載荷的增加，變形也開(kāi)始增加，增加到某一極值后變形開(kāi)始減小。

從圖2可以看出，左端轉(zhuǎn)角小于120°時(shí)，隨K增加，變形增加，超過(guò)120°時(shí)，隨K增加，變形卻減小。

4 結(jié)語(yǔ)

研究了分布?jí)毫ο拢瑴乜藸柕鼗?jiǎn)支梁的后屈曲問(wèn)題。研究結(jié)果表明:

1)隨著彈性地基系數(shù)的增加，梁的臨界載荷增加。

2)屈曲后，一個(gè)載荷對(duì)應(yīng)兩個(gè)平衡路徑不說(shuō)明，平衡路徑不是載荷的單調(diào)函數(shù)和單值函數(shù)。