基于改進變分模態分解與雙測度分形維數的發動機故障診斷

姜婷，高舒芳

(山西交通職業技術學院，山西 太原 030002)

發動機缸蓋振動信號中含有豐富的故障特征信息，但是由于干擾噪聲較大，多分量信號耦合及模態混疊，導致信號中的故障信息被覆蓋，難以提取微弱的故障特征。近年來，很多學者采用多分量分解的方法對原始振動信號進行分解，然后對分解后的信號分量進行頻率分析和特征提取。EMD，LMD和LCD等信號分解方法，可將非平穩的信號分解為不同時間尺度的信號分量，在振動信號分解中得到了廣泛的應用。但是，上述方法存在較大模態混疊和端點效應，且當信號受到噪聲污染時，分解誤差較大[1-3]。Konstantin[4]等于2014年提出了的一種新的自適應信號處理方法——變分模態分解(Variational Mode Decomposition，VMD)，通過引入變分模型實現信號的最優化分解，比EMD，LMD和LCD等方法具有更好的魯棒性和分解效果。然而，VMD仍存在一定程度的端點效應問題，目前主要采用端點延拓的方法進行優化，并取得了一定效果[5]。

對發動機缸蓋振動信號分解后，如何利用各個分量提取故障特征是實現發動機故障診斷的關鍵。近年來，基于非線性動力學參數的特征提取方法引起了人們的關注，如分形維數可有效表征復雜信號的自相似性和無測度性，被廣泛地應用于混沌序列、機械信號等的分析處理，為復雜非線性信號分析提供了新的途徑[6-7]。目前，常用的分形維數估計方法主要有盒計數法(BC)、去趨勢波動分析(DFA)和形態學覆蓋法(MC)等。上述傳統的分形維數估計方法存在一些不足，如BC方法有時會出現過計數或欠計數的現象，DFA方法中去趨勢項對估計的分形維數會造成一定的影響[8]。

針對上述問題，本研究提出了基于改進獨立變分模態分解與雙測度分形維數的發動機故障診斷方法。首先，利用互信息準則對缸蓋振動信號進行端點延拓，并對延拓后信號進行VMD分解得到多個IMF分量，然后利用各IMF分量計算信號的雙測度分形維數作為故障特征參數，最后將特征參數輸入極限學習機分類網絡，實現發動機故障診斷。

1 變分模態分解理論

1.1 構造變分模型

1) VMD將IMF分量定義為調幅-調頻信號，即

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))。

(1)

2) 對uk(t) 進行Hilbert變換，得到其解析信號Uk(t) ：

(2)

式中：δ(t)為狄利克雷函數；“*”為卷積符號。

3) 對uk(t) 進行中心頻率估計，假設估計結果為e-jωkt，則進行頻率調制：

(3)

4) 引入約束條件，建立最優約束變分模型：

(4)

式中：{ωk}={ω1,ω2,…ωK} 為uk(t) 的中心頻率；K為分解層數，即IMF分量個數。

1.2 求解變分模型

1) 上述帶有約束的變分模型求解難度較大，因此引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘子λ(t)，構造擴展拉格朗日函數：

(5)

2) 利用乘子交替方向法[7]迭代更新uk(t) 、ωk(t) 和λk(t) ，求得式(4)的鞍點，即得式(3)的最優解。具體流程如圖1所示。

圖1 變分模型求解流程

2 基于互信息準則的VMD端點效應改進

由于VMD分解過程中采用信號截斷以及Hilbert變換，導致其產生端點效應，降低了分解精度。一般采用信號端點延拓方法解決端點效應問題，常用方法包括互相關、相似系數、最小二乘法等[5]。由于上述方法并未考慮信號中的有效信息量，導致選取的匹配波形存在一定誤差。因此，本研究引入互信息的概念作為匹配波形選擇指標,實現信號端點延拓，以降低VMD分解的端點效應[5]。互信息采用2個隨機變量間不確定度的差值來表示，能夠表明其統計相關性，其表達式I(X,Y)為

I(X,Y)=H(Y)-H(Y|X)。

(6)

式中：H(Y)為Y的熵；H(Y|X)為已知X時Y的條件熵。式(6)表明，X與Y的相關性越強，互信息I(X,Y)的值越大。利用互信息方法對信號進行波形匹配延拓的具體過程如下：

1) 設離散信號x(t)的長度為L，其有m個極大值點{M1,M2…Mm}和n個極小值點{N1,N2…Nn}，以左邊界第一個極值點為極大值為例，選取左端點到第i個極大值點間的波形為待匹配子波，記為X1。

2) 在x(t)內部，以Mi(2≤i≤m)為與M1位置對應的點，截取與X1等長的子波Xi作為匹配子波。

3) 計算X1與Xi的互信息值I(X1,Xi)，以此作為匹配系數，并選取匹配系數最大的子波Xi作為X1的最佳匹配波形，將Xi前適當長度的數據延拓到x(t)的左側。

4) 利用同樣方法實現x(t)右邊界的端點延拓。

5) 將延拓后信號進行VMD分解，根據原信號長度及其在延拓后信號中對應的位置截取數據，即可得到抑制端點效應后的分解結果。

3 基于VMD的雙測度分形維數特征提取

3.1 分形維數的基本原理

假設Y是一個具有D維邊長的超體的體積，那么Y與邊長L之間的對應關系如下所示:

L∝Y1/D。

(7)

分形維數的估計方法就是根據式(7)所示的測度關系進行定義和計算的。

缸蓋振動信號經VMD分解得到的IMF分量為多變量時間序列，可以用多維超體體積度量其在空間中的體積。根據式(7)，時間尺度ε和多維超體的體積V之間存在如下對應關系：

ε∝V1/D。

(8)

式中：D為多維超體體積維數。由于發動機缸蓋振動信號具有一定的自相似性，式(8)中的D即為缸蓋振動信號的分形維數。

3.2 IMF分量正交化

由于VMD分解得到的各IMF分量并非嚴格正交，因此在利用其計算多維超體體積之前，首先要將各IMF分量正交化。本研究采用正交坐標變換的方法對VMD分解得到的各IMF分量正交化。

設信號經VMD分解后的各IMF分量矩陣為

U=[u1(t),u2(t),…uK(t)]。

(9)

式中：U∈RN×K，N為信號長度。由式(10)計算矩陣U的協方差矩陣：

(10)

(11)

3.3 分形維數計算

(12)

式中：Lk(q)為多維超體在第q個區間的第k維空間中的邊長，q=1,2,…p。

因此，在尺度τ下的多維超體的體積V(τ)為

(13)

給定時間尺度序列τ=(τ1,…τi,…τn)，計算不同時間尺度τi下的V(τi)。進而根據式(14)計算分形維數D：

(14)

(15)

3.4 雙測度分形維數計算

由于信號中的故障信息包括細節信息和趨勢信息，在全時間尺度內計算單一的分形維數難以準確反映故障特征[8]。因此，本研究提出了雙測度分形維數計算方法，通過自適應選取時間序列分界點將τ分割為Ⅰ、Ⅱ兩個時間尺度區間，分別在兩個區間內計算描述信號的細節信息和趨勢信息的分形維數DⅠ,DⅡ。具體計算過程如下：

1) 對時間尺度序列[τ1,τ2,…τn]，利用τi(i=2,3,…n-1)劃分得到Ⅰ、Ⅱ兩個時間尺度區間，并在兩個區間內分別繪制lnτ-lnV(τ)雙對數曲線；

2) 采取最小二乘法分別擬合兩個時間尺度區間內的雙對數曲線，分別記為l1和l2；

3) 定義e1(i)和e2(i)分別為第Ⅰ、Ⅱ時間尺度區間內的擬合誤差，則總體擬合誤差為e(i)=e1(i)+e2(i)；

4)e(i)最小值對應的τi即為時間序列分界點，其前后對應的擬合直線l1和l2的斜率即為振動信號的雙測度分形維數。

4 仿真信號分析

構造多分量仿真信號x(t)：

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)+sn(t)。

(16)

式中，x1(t)、x2(t) 和x3(t)均為幅值為1的諧波信號，頻率分別為25 Hz，40 Hz和70 Hz，隨機白噪聲分量sn(t) 標準差為0.2。設置采樣頻率為1 000 Hz，采樣時間為0.5 s，得到的仿真信號時域波形如圖2所示。

圖2 仿真信號波形

對原始含噪仿真信號x(t)進行EMD分解，結果如圖3所示。

圖3 仿真信號的EMD分解結果

由圖3可以看出，經EMD分解后，原始信號分解為6個IMF分量和1個殘余分量。但是，各IMF分量與原仿真信號中的各分量x1(t)，x2(t)，x3(t) 沒有很好的對應關系。前4個IMF分量中均存在仿真信號中各分量的成分，說明EMD分解得到的IMF分量存在較為嚴重的模態混疊。此外，后3個分量與原始仿真信號的各個分量沒有任何對應關系，所以其為EMD分解產生的虛假分量。

對x(t)進行VMD分解，分解過程中的相關參數設置為K=4，α=2 000 ，分解結果如圖4所示。

由圖4可以看出，原始信號x(t)經VMD分解后得到4個IMF分量IMF1、IMF2、IMF3、IMF4，分別對應原始仿真信號中的x1(t)，x2(t)，x3(t) 以及噪聲成分sn(t)。但是，由于端點效應問題，各分量波形兩端存在明顯的變形。

圖4 原始仿真信號的VMD分解結果

為抑制VMD的端點效應，根據互信息準則對x(t)進行端點延拓，然后對延拓后信號進行VMD分解，結果如圖5所示。

圖5 延拓后信號的VMD分解結果

由圖5可以看出，端點延拓有效提高了信號的VMD分解效果，各IMF分量與真實分量基本一致，邊界波形不存在明顯變形。仿真信號分析結果說明，本研究提出的基于互信息準則的信號端點延拓方法有效抑制了VMD分解的端點效應，提高了信號分解精度。

5 發動機故障診斷試驗

發動機故障診斷試驗在4120SG柴油發動機試驗臺架上進行，振動加速度傳感器安裝在第1缸上，采集缸蓋振動信號，采樣頻率設置為40 kHz。試驗中在第1缸上模擬了表1所示的4種工況。

表1 發動機工況設置

5.1 缸蓋振動信號分解

以工況2為例，截取一段缸蓋振動信號的時域波形(見圖6)。

圖6 缸蓋振動信號時域波形

根據互信息準則對圖6中的信號進行端點延拓后再進行VMD分解，根據中心頻率接近原則[7]設置VMD分解層數K=6 ，懲罰因子α=2 000。分解結果如圖7所示。

圖7 延拓后缸蓋振動信號的VMD分解結果

由圖7可知，VMD將缸蓋振動信號分解成6個振動沖擊分量，這些IMF分量的頻率由低到高分布，相互之間沒有發生模態混疊，也不存在端點效應。

5.2 雙測度分形特征提取

圖8 lnτ-lnV(τ)雙對數曲線及其擬合曲線

由圖8可知，在整個時間尺度上對lnτ-lnV(τ)雙對數曲線進行直線擬合的誤差非常大，將該直線的斜率作為描述振動信號自相似性的分形維數誤差較大。但是，lnτ-lnV(τ)雙對數曲線的斜率存在一個突變點，在突變點兩側的雙對數曲線分別用LSM線性擬合，誤差會大大減小。

因此，利用3.4節中的方法自適應確定突變點，將時間尺度序列劃分為第Ⅰ、Ⅱ時間尺度區間，分別在兩個區間上對雙對數曲線進行LSM線性擬合，得到兩個分形維數，即雙測度分形維數。圖8中綠色直線與藍色直線分別為第Ⅰ、Ⅱ時間尺度區間上的擬合直線，與整體擬合直線相比，能更好地貼合振動信號的雙對數曲線，誤差較小。說明雙測度分形維數能夠更好地表征振動信號的分形特征。

5.3 發動機故障診斷

在發動機4種工況下，分別選取40組缸蓋振動信號數據作為試驗樣本。各工況下的振動信號時域波形如圖9所示。

利用本研究提出的基于VMD的雙測度分形維數特征提取方法提取信號的雙測度分形維數作為故障特征參數。作為對比試驗，使用DFA方法和EMD方法計算缸蓋振動信號的分形維數。由于利用EMD方法計算缸蓋振動信號的分形維數時，lnτ-lnV(τ)雙對數曲線并不存在明顯的突變點，所以只在全時間尺度內進行LSM擬合得到其分形維數。在利用VMD方法計算雙測度分形維數時，同時計算在全時間尺度內進行LSM擬合得到的分形維數，稱為單測度分形維數。上述不同方法計算得到的不同工況下的缸蓋振動信號的分形維數分布情況如圖10所示。

圖9 各工況下的振動信號時域波形

圖10 缸蓋振動信號分形維數分布

從圖10中可以看出，利用DFA、EMD和VMD方法計算得到的單測度分形維數，均只能部分區分發動機的不同工況，而無法有效地完全區分發動機的四種工況。利用本研究所提方法得到的缸蓋振動信號雙測度分形維數特征，則具有良好的類內聚集性和類間離散性，能夠準確地區分出發動機的四種不同工況。試驗結果說明，雙測度分形維數能夠有效地刻畫發動機缸蓋振動信號的分形特征，有利于實現發動機故障分類。

為進一步說明本研究所提方法的有效性，將上述各方法所提的特征參數輸入極限學習機分類網絡，進行發動機故障診斷。試驗中，隨機選取各工況下的20組特征數據作為訓練樣本，其余20組作為測試樣本，并進行10次重復試驗，將平均測試分類準確率作為最終故障識別準確率。試驗結果如表2所示。

表2 不同方法計算的分形維數的故障識別率

由表2可知，采用DFA方法計算的分形維數的故障識別率為78.42%，相對較低，利用EMD方法和VMD方法計算的分形維數的總體故障識別率要高于傳統DFA方法。基于VMD的缸蓋振動信號雙測度分形維數的故障識別率最高，達到了98.41%。此結果進一步說明了本研究提出的方法有效提高了發動機故障診斷準確率。

6 結束語

本研究提出的基于互信息準則的改進變分模態分解方法可有效抑制端點效應，消除模態混疊，提高信號分解精度。基于變分模態分解的缸蓋振動信號雙測度分形維數特征提取方法，可準確刻畫缸蓋振動信號的分形特征，有效獲取信號中的微弱故障信息，提高特征參數的類內聚集性和類間離散性，有效識別發動機不同故障狀態，提高了發動機故障診斷準確率。