靜電陀螺儀兩種實心鈹轉子結構分析*

程相文，王志乾

（華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063210）

0 引言

靜電陀螺儀是目前投入使用的精度最高的陀螺儀［1］，它是利用超高真空中強電場產生的支撐力將球轉子懸浮起來，由于它采用非接觸支撐，不存在摩擦，因此可以獲得極高的精度［2－3］。

球形轉子是靜電陀螺儀中最重要的部件。因為鈹具有低密度、高彈性模量、低泊松比、高比熱、低熱膨脹系數等優良的物理性能和機械性能，從而使鈹成為靜電陀螺儀球轉子的首選材料［4］。靜電陀螺儀根據球轉子結構可以分為兩大類：空心大球靜電陀螺儀和實心小球靜電陀螺儀。因為實心小球靜電陀螺儀具有體積小、重量輕、功耗低、精度及穩定性好等優點，使其在各國市場上得到廣泛應用［5］。本文介紹的是實心小球靜電陀螺儀中的兩種經典實心鈹轉子結構，并對兩種結構的轉動慣量誤差精度進行計算分析，從而為靜電陀螺儀實心鈹轉子的研制工作提供重要的參考依據。

1 靜電陀螺儀實心球轉子結構

靜電陀螺儀實心球轉子采用的是直徑為Φ10的實心鈹球。靜電陀螺儀實心鈹球轉子結構有多種形式，由于陀螺儀系統的工作需要，實心球轉子要造成唯一主慣性軸（H軸），即繞主慣性軸軸線旋轉時的慣性矩要大于繞其他軸線旋轉時的慣性矩。該主慣性軸是通過鑲嵌異種高密度金屬來獲得的［6］。

現主要對以下兩種結構進行分析：一種結構是在直徑Φ10金屬鈹球的制備中加入3根位置精度要求極高的鉭絲［7］，并在加工中確保鉭絲位置以形成慣性主軸，3根鉭絲在空間內相互平行且相互夾角為120°，如圖1所示。

另一種結構是在金屬鈹球中加入三根鉭絲如圖2所示，其中的3根鉭絲位置分布參考四軸球體研磨機的4根軸線，任意兩根鉭絲間夾角為109.471 2°，三根鉭絲匯交于球心，與水平面的夾角為19.471 2°，它們在水平面投影后相互間夾角為120°，從而形成如圖2所示位置的慣性主軸［8－9］。

圖1 三根鉭絲相互平行的球轉子結構

圖2 3根鉭絲具有夾角的球轉子結構

2 理論基礎

設有共原點的兩組右手直角坐標系xiyizi和xjyjzj，i系稱為舊系，j系稱為新系，如圖3所示。

圖3 兩個共原點的坐標系

xj軸、yj軸和zj軸關于xiyizi的方向角分別是α1，β1，γ1；α2，β2，γ2；α3，β3，γ3。用i1，i2，i3和j1，j2，j3分別表示兩組坐標系的坐標矢量，于是有：

設空間有一點P（矢徑為r），關于這兩組坐標系的坐標分別是（xi，yi，zi）和（xj，yj，zj），于是有：

分別用i1，i2，i3點乘式（3）可得：

進一步用矩陣簡寫為：

其中：（r）i和（r）j為同一點P 分別在坐標系i及j中的列陣，即（r）i＝（xi，yi，zi）T，（r）j＝（xj，yj，zj）T，方陣［Cij］為：

右下標表示該方陣是由坐標系j變換到坐標系i的坐標變換矩陣，并且稱［Cij］為方向余弦矩陣［10］。

在共原點的坐標變換中，由繞一個坐標軸旋轉的方向余弦坐標變換可知，繞x軸旋轉α的方向余弦矩陣為：

方陣的右上角（α）表示坐標系j是由坐標系i繞x軸轉過α角而得。同樣，繞y軸旋轉β及繞z軸旋轉θ的方向余弦矩陣為：

而鉭絲在球體中的偏轉并不是單純的繞一個軸旋轉的坐標變換，是任意旋轉的坐標變換。已知可以用繞三個坐標軸旋轉角來表示任意轉動的坐標變換矩陣，對于旋轉次序作如下規定，先繞z軸旋轉θ角，再繞新的y軸旋轉β角，最后繞新的x軸旋轉α角。因為坐標系的連續旋轉變換應遵循矩陣右乘原則，則此旋轉變換矩陣展開后為：

3 模型計算

鉭絲在偏轉前后轉動慣量的偏差，可以轉換為以一根鉭絲中點為原點，分析該鉭絲上的任一點在發生偏轉前后的轉動慣量的偏差。在鉭絲上任一點A處取微段dx，其質量為dm、矢徑為r，則該點A關于鉭絲偏轉前后的兩組坐標系的坐標分別是（xi，yi，zi）和（xj，yj，zj）（如圖4、圖5所示）。已知轉動慣量的表達式為J＝dmR2，其中R是質點與轉軸的垂直距離。兩種球轉子結構的旋轉軸均滿足在空間內與偏轉前的zi軸平行，且過球心。

因為已知（r）i＝［Cij］（r）j，所以有：程中繞x、y、z軸轉過一定相同的角度，即θ＝β＝α，從而可以計算出偏轉后的質點A的坐標，最后對偏轉前后質點A的轉動慣量進行計算比較。

（1）對第一種球轉子結構進行分析：

如圖4可知，偏轉之前質點A的坐標為（0，0，z1），即xj＝0、yj＝0、zj＝z1，為方便計算現假設鉭絲偏轉時繞x、y、z軸轉過的角度均為10°，即θ＝10°、β＝

因此由式（12）、式（13）可知計算鉭絲上質點A在偏轉后的轉動慣量比較復雜，因此可以假設鉭絲在偏轉過10°、α＝10°，則可得：

（2）對第二種球轉子結構進行分析：

由圖5可知，偏轉之前質點A的坐標為（0，y2，z2），即xj＝0、yj＝y2、zj＝z2，同理為方便計算現假設鉭絲偏轉時繞x、y、z軸轉過的角度均為10°，即θ＝10°、β＝10°、α＝10°，則可得：

圖4 第一種球轉子結構鉭絲偏轉

圖5 第二種球轉子結構鉭絲偏轉

現對這兩種球轉子結構鉭絲偏轉前后的轉動慣量進行綜合分析。分析兩種結構偏轉前后質點A轉動慣量的誤差，可以轉化為分析質點A在鉭絲偏轉前后與旋轉軸的距離變化的大小。由于旋轉軸與偏轉前的z軸平行，所以分析質點A到轉軸的距離，只需考慮x、y軸坐標即可。第一種球轉子結構偏轉前質點A的x、y坐標為（0，0），偏轉后為（0.199z1，－0.141z1），偏轉量為Δx＝0.199z1、Δy＝0.141z1；第二種球轉子結構偏轉前質點A的x、y坐標為（0，y2），偏轉后為（－0.199z2，2.612z2），偏轉量為Δx＝0.199z2、Δy＝｜2.612z2－y2｜＝0.212z2。整理數據可得表1。

表1 兩種球轉子結構偏轉量 mm

由表1可知，若z1、z2取值相同，則明顯第二種球轉子結構x、y軸坐標偏轉量較大，即在相同情況下，第二種球轉子結構質點A與旋轉軸的距離變化較大。

4 結論

由以上理論計算可知，三根鉭絲空間內相互平行且相互夾角為120°的球轉子結構（見圖1）在鉭絲偏轉后的轉動慣量的誤差小于任意兩根鉭絲間夾角為109.471 2°、三根鉭絲匯交于球心的球轉子結構（見圖2），因此圖1所示球轉子的結構精度更高，在鈹轉子加工制造過程中更有利于保證其精度。