基于ANSYS 的功能梯度材料靜態斷裂力學分析*

王素粉

（三門峽職業技術學院，河南 三門峽 472000）

0 引言

隨著航天航空及高新礦業更新技術領域的飛速發展，對材料的性能要求也越來越高，為此，功能梯度材料應運而生。由于功能梯度材料在諸多性能方面與均勻材料相比具有不可比擬的優勢，因而在工程中有著十分廣闊的應用前景。由于數學處理上的困難，目前所能分析的大多數功能梯度材料裂紋問題一般都假設材料是各向同性彈性體，而對各向異性功能梯度材料的裂紋問題的研究還非常少，也只有少數研究涉及機械沖擊載荷作用下功能梯度材料的動態斷裂問題。本文利用有限元軟件中參數計算法對功能梯度材料進行了靜態斷裂力學分析。首先假設功能梯度材料和基體均勻材料的應力—應變關系的彈性本構模型，采用Plane183單元模擬裂紋尖端的奇異性，考慮到沖擊載荷作用時，使用高階的接觸單元Conta173和目標單元Targe169組成接觸對，解決了應力波的傳導導致裂紋可能存在裂紋面相互嵌入的病態解問題。通過求解得出了基體—涂層的裂紋靜態位移云圖、等效應力云圖。所獲得的數據可為功能梯度材料的進一步實驗分析及功能梯度材料動態斷裂力學分析提供一定的理論依據。

1 功能梯度材料模型建立

1.1 功能梯度材料幾何模型

功能梯度材料基體—涂層模型簡圖如圖1所示，其中基體材料為均勻材料，涂層為功能梯度材料，設L1＝0.2m，L2＝0.06m，H1＝0.15m，H2＝0.04m，裂紋－半長a＝0.012m。

1.2 功能梯度材料本構模型

設功能梯度涂層材料和基體均勻材料的應力—應變關系都為線彈性本構模型，功能梯度材料基體—涂層的彈性模量與空間位置的關系如圖2所示。由圖2可知，基體均勻材料的彈性形模量E1不隨空間位置變化，常數E1＝100GPa，功能梯度涂層材料的彈性模量為空間坐標函數，變化關系為：

其中：βE為功能梯度材料彈性模量非均勻參數；y為涂層上一點到基體底面的距離。由于彈性模量在整個涂層—基體中具有空間的連續性，因此βE與空間位置的關系為：

其中：E3為涂層頂部的彈性模量，E3＝1 000GPa。

基體和涂層材料的泊松比取0.3。

圖1 功能梯度材料基體—涂層模型

圖2 功能梯度材料基體—涂層的彈性模量與空間位置關系

對于動態斷裂問題，其有限元列式為：

其中：［M］為質量矩陣；［C］為阻尼矩陣；［K］為剛度矩陣；｛F｝為結構外載荷矢量；｛u··｝為節點加速度矢量；｛u·｝為節點速度矢量；｛u｝節點位移矢量。

彈性模量與泊松比用于形成總體剛度矩陣，密度用于形成總體質量矩陣，密度變化規律符合指數變化規律，即：

其中：ρ1為基體密度；βρ為功能梯度材料密度非均勻參數，βρ與空間位置存在以下關系：

其中：ρ3為涂層頂部密度。選擇ρ1＝3 000kg／m3，ρ3＝8 000kg／m3。

2 建立網格模型

對裂紋尖端部分進行網格劃分時，設置裂紋尖端網格第一圈單元的尺寸為A／20，其中A為尖端第一圈部分面積，圍繞裂紋尖端第一圈單元尺寸與第二圈單元尺寸之比為0.8，圍繞裂紋尖端的單元數量為10，為了模擬裂紋的應力奇異性，將Plane183單元的中間節點偏移到距中心的1／4處。由于需要劃分的面較多，因此采用APDL語言中的循環語句劃分網格。功能梯度材料網格劃分循環語句如圖3所示，網格模型如圖4所示。

圖3 功能梯度材料網格劃分循環語句

圖4 功能梯度材料基體—涂層材料網格模型

3 靜態斷裂力學求解及分析

對功能梯度材料進行靜力學分析前，選擇的被約束自由度為ALL DOF，涂層頂部的承受應力σ＝10MPa。激活總體笛卡爾坐標系，裂紋尖端節點A、B分別定義為CNODEA和CNODEB，裂紋節點組件分別為CKA和CKB。在每個裂紋尖端創建后要對其進行局部坐標系的創建，坐標系類型為笛卡爾坐標，在進行斷裂力學參數計算時使用相互積分法，其命令流為：

求解后得到的基體—涂層整體位移云圖如圖5所示，裂紋處的位移云圖如圖6所示。由圖5、圖6可以看出，其裂紋處的最大位移為0.159×10－4m。基體—涂層的整體等效應力云圖如圖7所示，裂紋處的等效應力云圖如圖8所示。由圖7、圖8可以看出其裂紋處的最大應力為0.592×108Pa。

圖5 基體—涂層的整體位移云圖

圖6 基體—涂層裂紋處的位移云圖

圖7 基體—涂層的整體等效應力云圖

圖8 基體—涂層裂紋處的等效應力云圖

分別使用相互作用法和位移法計算應力強度因子，如圖9、10所示。從圖9和圖10相比可以看出，位移法計算的尖端A處I型應力強度因子為1.822 3×106P a要小于相互作用法得到的應力強度因子1.897 7×106Pa，而尖端A處Ⅱ型應力強度因子要大于相互作用法得到的應力強度因子。由此可見在同等網格數量下，相互作用積分法更適合計算動態應力強度因子，且對尖端點處的應力強度因子計算收斂性非常有效，因此，采用相互作用積分法進行應力強度因子計算。

4 結語

本文在ANSYS環境下采用命令流方式建立功能梯度材料模型，生成了15層不同彈性模量的面，構建了功能梯度涂層材料和基體均勻材料的應力—應變關系的線彈性本構模型，并對其約束后進行了靜態斷裂力學分析，得到了裂紋處的位移云圖和等效應力云圖；

圖9 相互作用積分法得到的裂紋尖端A處應力強度因子

又通過相互作用積分法和位移法對斷裂力學參數中的應力強度因子進行了計算求解。通過分析可以發現相互作用法可以有效實現強度因子計算的收斂性，所得出的位移和應力參數對功能梯度材料動態斷裂力學分析提供了依據。

圖10 位移計算法得到的裂紋尖端A點處應力強度因子