基于矩信息的不確定投資組合優(yōu)化問題

王 煒，包 攀，李三碩

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

(1)

其中，X?n.

s.t.P{α-xTξ≤0}≥1-ε.

(2)

假設(shè)已知的關(guān)于隨機變量ξ的矩信息為其均值向量μ∈n與協(xié)方差矩陣Σ∈Sn,其中,Sn表示n維對稱矩陣空間.不失一般性，假設(shè)Σ?0.

于是，分布集合為

γ={P:P[ξ∈n]=1,EP[ξ]=μ,EP[ξξT]=Σ+μμT}.

1 約束條件的等價形式

對于問題(2)的機會約束條件，對其進行魯棒性處理得到

(3)

為了將A轉(zhuǎn)化為易處理的形式，首先給出CVaR[3]的定義.

定義給定可測損失函數(shù)L:n→，n上的概率分布P和限度ε∈(0,1)，在ε水平下的關(guān)于P的CVaR值被定義為

(4)

由Ben-Tal等[4]可知，對任意的可測損失函數(shù)L，有

P(L(ξ)≤P-CVaRε(L(ξ)))≥1-ε.

因此，由P-CVaRε(L(ξ))≤0可得P(L(ξ)≤0)≥1-ε.

(5)

這表明式(5)中左端最壞情況下的CVaR近似是右端分布魯棒機會約束的保守近似.根據(jù)上述保守近似，得到以下可行集

(6)

注可行集B是可行集A的一個保守近似，即B?A.

下面說明可行集B能夠轉(zhuǎn)化為一個易處理的形式.

由式(4)可知，式(6)中最壞情況下的CVaR近似可寫成如下形式:

(7)

其中,極小極大的換序可由Shapiro和Kleywegt[5]的鞍點理論得到.

現(xiàn)在考慮問題(7)中的最壞情況下的期望問題

(8)

其中，f為P的概率密度函數(shù).

對問題(8)引入對偶變量y0∈，y∈n，Y∈Sn，得到其拉格朗日函數(shù)為

則問題(8)等價于

其拉格朗日對偶為

于是對偶問題為

y0∈，y∈n，Y∈Sn.

即

(9)

y0∈，y∈n，Y∈Sn.

則問題(9)可以寫成以下形式:

(10)

又問題(10)中的約束條件可以等價地寫為如下兩個約束:

(11a)

(11b)

其中,(11a)等價于M0.

于是，問題(10)等價于

(12)

下面，處理(12)中的不等式約束條件，它可以等價地寫成以下形式的線性矩陣不等式:

因此，最壞情況下的期望問題為

(13)

將(13)帶入(7)中，得

(14)

M∈Sn+1，β∈.

根據(jù)上述討論，得到以下定理.

定理1可行集B可以表示為以下形式:

B={x∈n:?(β,M)∈

2 最壞情況下的CVaR近似的精確性

由Zymler S,Kuhn D和Rustem B[6]可知以下定理.

定理2設(shè)L:n→是一個連續(xù)的損失函數(shù)，若它滿足下列兩個條件之一：

(i)關(guān)于ξ是凹的；

(ii)關(guān)于ξ是二次的(可能非凹).

前面討論中，L(ξ)=α-xTξ，故L(ξ)關(guān)于ξ是線性的，從而滿足定理2中的條件(i)，于是有以下關(guān)系成立:

這表明，B=A.

綜上，將原始問題(1)轉(zhuǎn)化為以下形式

(15)

M∈Sn+1，β∈.

利用最壞情況下的CVaR近似將已知部分矩信息的機會約束問題轉(zhuǎn)化為易處理的半定規(guī)劃形式，從而能更方便地處理此種類型的投資組合優(yōu)化問題.