一類 CVaR 約束優化問題的漸近分析

張 杰，施 悅，李思穎

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

期望值約束的優化問題，尤其是 CVaR(Conditional Value at Risk)約束優化問題在經濟學、工程學和管理學中有重要應用.本文關注如下的 CVaR 約束優化問題：

(1)

其中，X?n是非空可行決策集合，ξ:Ω→Ξ?p是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機向量，f:X→R,G:X×Ξ→R是函數，α∈(0,1)，由文獻[1]可知對于隨機變量Z，CVaRα[Z]定義為

(2)

其中，[a]+=max{0,a}，E 表示數學期望. 注意到風險度量 VaR(Value at Risk)定義為

但VaR約束具有非光滑性和非凸性，而CVaR具有更好的性質，如次可微和凸性.Rockafellar和Uryasev在文獻[1]中已經指出，

即VaRα[Z]≤CVaRα[Z], 所以CVaR約束是VaR約束的一個很好的凸近似.CVaR約束的優化問題在實際中有很多應用，見文獻[2-3].本文關注問題(1)的一個近似問題的漸近分布.

1 模型近似

由問題(2)可知，問題(1)可以寫為如下問題:

(3)

(4)

在實際中，期望很難準確估計，通常利用文獻[4]中的樣本均值近似(SAA)方法處理期望，選取ξ的獨立同分布的樣本向量ξ1,ξ2,…,ξN,則問題(4)的SAA問題為

(5)

很多文獻關注問題(5)的解序列對于問題(1)的解的近似行為，本文關注問題(5)的解序列對于 (4)的解的近似行為，即若問題(5)的解序列{xN(ε)}收斂到x*(ε)，在什么條件下，隨機估計

依分布收斂到一個服從正態分布的量.

2 漸近分析

做如下假設：令X=n，σ(x,ξ(ω))是下列集合中的一個元素：

{gi(·,ξ(ω)),gi(·,ξ(ω)),2gi(·,ξ(ω))：i=1,2,…,m}.

考慮如下條件：

(A1) E[σ(x,ξ(ω))]是適定的，且對于x∈n,E[‖σ(x,ξ(ω))‖]是有限值的.

(A2) 存在一個正值的隨機向量C(ω)使得E[C(ω)]<+∞，對于所有的x1，x2∈n,ω∈Ω,下列不等式成立:

‖σ(x1,ξ(ω))-σ(x2,ξ(ω))‖≤C(ω)‖x1-x2‖.

(A3) 對于任意的x∈n,

f(·),gi(·,ξ(ω)),i=1,2,…,m,

在點x對于每個ω∈Ω是二階連續可微的.

以上的假設是隨機規劃最常見的條件.由文獻[4]中定理7.44和定理7.48可知:

E[gi(·,ξ(ω))],i=1,2,…m,

是以概率 1 成立的.進一步可以得到

關于(x,t)是二階連續可微的，且有對任意的ε,t,

是以概率 1 成立的.

由非線性規劃的理論可以知道，如果(x0,t0,λ0)∈n×m×m是問題(4)的Karash-Kuhn-Tucker(KKT)點當且僅當(x0,t0,λ0)滿足

令(x0,t0,λ0)∈n×m×m，需要如下條件:

(A4) 二階充分性條件(SOSC)在點(x0,t0,λ0)成立，如果

對每個滿足下式的非0向量d成立：

(A5) 線性獨立約束等式(LICQ)在點(x0,t0)成立，即

是線性無關的.

有關中小型水利工程管理方面的規章制度還不完善，導致很多項目工程啟動之后出現了一系列不規范但是又無法用法律強制規范的行為。而且在招標過程中隨機性很大，不可預控，很多中標的單位并不一定會認真履約合同上的要求，甚至還出現工程分包等情況，嚴重影響到監理的正常發展。

(A6) 嚴格互補條件 (SCC) 成立，即

(λ0)i>0,i∈I(x0,t0):=J.

下列的命題來自文獻[5]的定理 3.1和定理 3.2.

命題2.1假設(A1)～(A3)成立.若(x0,t0,λ0)∈n×m×m是問題(4)的 KKT 對且(A4)(A5) 成立，那么存在(xN,tN,λN)滿足問題(5)的KKT條件，且有以概率1當N→∞時，(xN,tN,λN)→(x0,t0,λ0).

命題2.2假設(A1)～(A3)成立.如果(xN,tN,λN)是收斂到(x0,t0,λ0)的問題(5)的KKT序列對，且(A4)(A5)在點(x0,t0,λ0)成立，則

其中,(u,v)∈n+m×|J|為下列隨機二次規劃的 KKT 對：

其中,

滿足

定理2.1假設命題2.2中的條件成立.如果 (xN,tN,λN)是收斂到(x0,t0,λ0)的問題(5)的KKT序列對且(A6)成立，那么

證由命題 2.2 和假設(A6)，知道

其中，(u,v)滿足

由條件(A4) 可得，

是非奇異的且

則通過 Delta 定理結論得 (u,v) 服從多元正態分布N(0,Σ)，其中,Σ是協方差矩陣:

Hi(ξ(ω))=ε2xGi(x0,ξ(ω))xGi(x0,ξ(ω))T+

β1(ξ(ω))=x,tL(x0,t0,λ0,ε,ξ(ω))-x,tE[L(x0,t0,λ0,ε,ξ(ω))],

Σij=E[βi(ξ(ω))βj(ξ(ω))T],i=1,2,j=1,2.

證明完成.

給出的隨機估計式的極限正態分布，將為構造最優解的置信域提供了理論保證，在接下來的研究中，將通過數值實驗來驗證這樣得到的置信域的可靠性.