Gompertz分布尺度參數的最短區間估計

周會會

(廣東海洋大學 數學與計算機學院, 廣東 湛江 524088)

對總體參數的區間估計是數理統計中基本而重要的內容。與參數的點估計相比，區間估計不僅給出了參數真值所在的范圍，還給出了該范圍包含真值的置信水平。在置信水平確定的前提下，置信區間的長度越短越好。在正態總體的情形下有多種經典的估計方法[1-3]。在經典統計下，一些常見分布的位置參數最短區間估計問題，如指數分布，伽瑪分布，瑞利分布，文獻[4-6]已有敘述。

文獻[7]較為詳細地說明了Gompertz分布模型的應用，其可用來描述普通的動力學，動物和哺乳動物的胚胎腫瘤的生長以及可靠性增長模型，還證明了Gompertz分布具有“把時鐘調回到零點”的性質。文獻[8]介紹了基于Gompertz模型的人口預測問題。文獻[9]用Gompertz模型擬合了高齡階段的人口死亡率。

在Gompertz分布尺度參數最優置信區間估計問題中，樞軸量服從卡方分布，其概率密度函數是非對稱的，置信區間的長度一般不是最短的。本文在假設形狀參數β已知的前提下，首先給出總體服從X正半軸上Gompertz分布的尺度參數θ的極大似然估計；其次給出尺度參數θ的區間估計方法，在此基礎上研究尺度參數θ的最短置信區間估計;最后通過實例驗證。

1 預備知識

定義1 稱總體X服從參數為2n的卡方分布χ2(2n)，若其密度函數為

定義2稱總體X服從正半軸上參數為θ,β的Gompertz分布G(θ,β)，若其密度函數為

式中：θ>0為尺度參數；β為形狀參數，β可正可負，如果β>0，則它是增的，如果β<0，則是降的。

引理1設總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…，Xn為來自該總體的樣本，則有

易知，

2 Gompertz分布尺度參數的極大似然估計

定理1 設總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…，Xn為來自該總體的樣本，則尺度參數θ的極大似然估計量為

(1)

3 Gompertz分布尺度參數的區間估計

定理2設總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…,Xn為來自該總體的樣本，在顯著性水平α下，尺度參數θ的1-α同等置信區間為

(2)

則對于顯著性水平α，有

成立，從而解出θ的1-α同等置信區間為

對Gompertz分布尺度參數θ作區間估計時，在給定置信度下，一般認為置信區間越短越好，而卡方分布的密度函數關于峰值是非對稱的，所以得到的置信區間不是最短的，下面本文在前面的基礎上尋求最短的置信區間。

定理3Gompertz分布尺度參數θ的最短區間估計問題可轉化為如下條件極值問題：求a*,b*，使

成立，其中f(y)為χ2(2n)的概率密度函數，此時置信區間的長度L為

可得

則參數θ的置信區間的長度L為

(3)

因此，求b-a的最小值等價于求L的最小值。

定理4 當n>1時，定理3中的條件極值問題有唯一解(a*,b*)，且滿足

證明利用拉格朗日乘數法，令

對a,b和λ分別求偏導數并令其為0，有

化簡整理得

(4)

(5)

所有駐點(a,b)是式(4)和式(5)的解。這樣僅需證明式(4)和式(5)有解且唯一。

為保證b>a>0且式(4)成立，必須

0

(6)

因此，對任意滿足式(6)的b，可以由式(5)唯一地解出a=u(b)，且u(b)是b的單調減函數，即當b→+時，a=u(b)→0，當b→2(n-1)時，a=u(b)→2(n-1)。

4 實例應用

在對某一電信產品集成測試中[10]，測試執行時間共計16天，測試數據見表1。

表1 某電信產品集成測試數據
Tab.1 Integrated test data of a telecom product

測試天數/d01234567當天發現的缺陷數/個91234433發現缺陷數累計/個910121519232629測試天數/d89101112131415當天發現的缺陷數/個22110100發現缺陷數累計/個3133343535363636

注：測試第0天，進行自動化測試，執行的測試用例多，發現9個缺陷。第1天至第15天，全部為手工測試，中間測試人員未發生變動，以手工測試作為分析的數據。

文獻[10]已經用Gompertz增長模型對缺陷數累計值進行了很好地擬合。定理4的結論與文獻[4]中有關指數分布的最短區間估計的結論一致，所以可以查文獻[4]中的表1，借助Excel數據處理功能，對θ的估計做如下分析。

表2表明，對于不同的n，θ的置信區間都包含其極大似然估計值；當n≤6時，最短置信區間較一般置信區間有明顯地縮短，幅度在4%～13%，置信區間縮短的幅度隨著觀察天數n的增大呈遞減趨勢。因此，在小樣本下，研究Gompertz分布的尺度參數θ的最短置信區間是必要的。

表2θ最短置信區間精度分析
Tab.2 Accuracy analysis of the shortest confidence interval ofθ

nθ A0B0A1B1L0L1r/%20.086 0[0.010 4,0.239 5][0.001 8,0.204 8]0.229 10.203 012.8530.076 0[0.015 7,0.183 1][0.007 7,0.162 3]0.167 50.154 68.3340.066 3[0.018 1,0.145 2][0.011 8,0.131 7]0.127 20.119 96.1050.058 0[0.018 8,0.118 8][0.014 0,0.109 4]0.099 90.095 44.8060.051 8[0.019 0,0.100 7][0.015 2,0.093 7]0.081 70.078 63.9570.046 8[0.018 8,0.087 3][0.015 7,0.082 0]0.068 50.066 33.3580.043 0[0.018 6,0.077 6][0.016 0,0.073 3]0.059 00.057 32.9290.040 0[0.018 3,0.070 1][0.016 1,0.066 6]0.051 80.050 52.58100.037 7[0.018 1,0.064 3][0.016 2,0.061 4]0.046 30.045 22.31110.035 8[0.017 9,0.059 8][0.016 2,0.057 3]0.042 00.041 12.10120.034 4[0.017 8,0.056 3][0.016 3,0.054 1]0.038 60.037 91.91130.033 1[0.017 6,0.053 4][0.016 3,0.051 4]0.035 80.035 11.76140.032 1[0.017 6,0.051 0][0.016 3,0.049 2]0.033 40.032 91.64150.031 3[0.017 5,0.049 0][0.016 4,0.047 4]0.031 50.031 01.52