三種典型軸向運動結構的振動特性對比1)

劉星光 唐有綺 周 遠

（上海應用技術大學機械工程學院，上海 201418）

引言

目前，軸向運動結構的振動問題受到了廣泛的關注.隨著機械產業的不斷發展以及人們對機械產品的生產效率不斷深入的研究，特別是起重機的懸臂、傳送帶、帶鋸片以及帶鋼的生產效率的研究，發現軸向運動產生的橫向振動對機械產品的生產效率造成一定的影響.如果我們從這些工程問題出發，以數學和物理的視角研究這些軸向運動結構的振動問題，可以提高加工質量和效率，對實際中的相關工程應用給予一定的指導與改進.因此，對軸向運動結構橫向運動的分析有著非常重要的工程意義，也有著眾多學者的關注[1-12].

在這些運動結構中，Euler 梁、窄板和板是其中較為典型的3 種模型.其中Euler 梁是一維模型，板是二維模型，而窄板作為二者之中的特殊模型.現階段眾多學者對于這3 種模型進行了深入的研究.軸向運動梁是軸向運動結構中最普遍的振動模型，無論是線性還是非線性模型，都已進行了廣泛的研究.胡璐等[13]研究了黏性流體環境下V 型懸臂梁的流固耦合振動特性.李彪等[14]研究了軸向運動黏彈性梁在混合邊界條件下的非線性振動.高晨彤等[15]分析了考慮剪切效應的旋轉功能梯度材料楔形梁的橫向彎曲振動.這些研究并沒有考慮到梁的長寬比對其頻率的影響.

對于窄板來說，它是板的一種特殊形式.Jeronen[16]給出了非零彎曲剛度的真空軸向移動的平板模型，并且確定了線性模型預測的臨界速度.Banichuk 等[17]研究了軸向運動平板在兩輥之間的不穩定性.Jeronen 等[18]分析了在小圓柱變形的情況下，軸向運動膜和平板與周圍軸向運動理想流體相互作用的振動情況.Saksa 等[19]分析了周圍流動流體對運動黏彈性板性能的影響.羅驕[20]研究了對邊簡支部分浸液軸向運動薄板的非線性振動.Banichuk 等[21]研究了勻速運動平板在兩輥之間的平面外動力響應，考慮了板的長寬比對頻率的影響.

對于板的橫向振動，已有眾多學者對其進行了深入的研究.邵明月等[22]分析了不同的長寬比對變密度紙帶振動復頻率的影響.胡宇達和張金志[23]針對磁場環境中軸向運動的導電板進行了建模問題的研究，分析了磁場對動力學系統分岔特性的影響.以上的研究工作并未涉及到對邊自由的邊界條件.Robinson[24]建立了具有對邊夾緊對邊自由邊界條件和對邊簡支對邊自由邊界條件下的運動方程，分析了板的長寬比對振動頻率的影響.Robinson 和Adali[25]研究了夾緊簡支和簡支自由邊界條件下截面形狀對平板穩定性的影響.文獻[26-28]采用數值求解的方法對自由邊界條件下的板進行了分析.Kim等[29]建立了平面內均勻軸向張力作用下勻速運動窄板的模態譜元，研究了對邊自由邊界條件下的頻率.Malik 和Bert[30]研究了不同邊界條件下長寬比對頻率的影響.對于自由邊界的板還有兩種特殊情況，即板的剛性振動.高維成等[31]通過約束試驗數據得出自由--自由結構模態參數，畫出了懸臂結構前六階剛性約束振型圖形.姜世杰等[32]運用自由梁理論寫出具有自由邊界的板的試函數，并算出了其固有頻率.但是這些文獻并沒有考慮自由邊界條件下，長寬比對自由邊界板頻率的影響.

在工程實際中，針對3 種軸向運動結構，不同的物理參數對振動的影響并沒有相關的文獻去研究.Wang 等[33]利用鐵木辛柯梁和窄板樣條徑向基函數對碳納米管進行了自由振動分析.Zhong 等[34]采用彎曲振動分析方法，研究了溫度在4.2 K～300 K 時空間鋁梁和空間鋁板的動態力學性能.這些研究只涉及到兩種模型，且沒有分析長寬比對頻率的影響.

針對以上缺乏的研究，本文為工程實際中在不同的物理參數下應該采用何種模型提供了依據.本文采用解析和數值驗證的方式進行分析.Shen 等[35]運用諧波平衡法得到的近似解與數值計算結果進行了比較，驗證了近似解的正確性.Wen 等[36]和Tang 等[37]采用多尺度法得到的解與數值計算得到的結果進行了比較，驗證了多尺度得到的結果的正確性.本文采用微分求積法得到的結果對復模態法得到的結果進行驗證.

本文研究了3 種典型軸向運動結構的振動特性的對比.考慮阻尼的影響，給出了其控制方程，并通過復模態方法和數值算例對其進行求解，分析了3 種結構的固有頻率隨軸速的和長寬比的變化情況，研究了不同軸速、阻尼、剛度和長寬比等參數混合時對窄板和梁的第一階固有頻率的影響，著重分析了長寬比和軸速對窄板和梁的第一階固有頻率的相對誤差的影響.通過對比分析，得出3 種結構在長寬比和速度給定時應該選擇何種模型的結論，為振動結構的研究提供了重要參考價值.

1 控制方程

考慮軸向運動板、窄板和梁這3 種模型，密度為ρ，截面面積為A，彈性模量為E，截面繞中性軸的轉動慣量為I，軸力為P，兩支撐之間的長度為L，板的寬度為b，阻尼力的黏性阻尼系數為c，軸速為γ，板的物理模型如圖1 所示.

圖1 軸向運動板的物理模型Fig.1 The physical model of the axially moving plate

引入無量綱參數

在文獻[38-40]的基礎上加上阻尼的影響，分別得到3 種典型結構的控制方程.則板的無量綱化微分方程和對邊簡支對邊自由邊界條件分別為

窄板的無量綱化微分方程和簡支邊界條件分別為

梁的無量綱化微分方程和簡支邊界條件分別為

式中，w(x,y,t)，v(x,t)，u(x,t)分別為板、窄板和梁的橫向位移，而D=Eh3/[12(1-μ2)]是板的抗彎剛度，其中μ為泊松比，h為板的厚度.

2 復模態求解

軸向運動板的解可設為

其中Wnm是板的第nm階模態函數，Anm表示待定的復函數.λnm=δnm+iωnm是板的第nm階復頻率，虛部ωnm是板的第nm階固有頻率，而實部δnm表示振幅隨著時間的衰減率.

將式(8)代入板的控制方程(2)和邊界條件(3)中，得

假設方程(9)的解為

板的y方向滿足自由邊界的試函數可設為[41]

其中前兩個試函數表示板的剛性位移，θ1，θ2，···，θM-2是下面超越方程的根

取Ym為無阻尼靜止的梁的模態函數，其滿足正交關系.式(9)等式兩端乘以Ym，并在區間[0,1]上積分得

將式(14)中的第2 項和第3 項根據分布積分展開得

將邊界條件(10)代入方程(16)中整理得

式(18)是四階常微分方程，它的解為如下的形式

其中ajn(j=1,2,3,4)是待定常數，將上式代入方程(18)中得

求解方程(21)得

將邊界條件(10)代入式(20)可以得到系統的色散方程

由式(20)和式(11)得出板的模態函數為

在本文中，將式(12)中的3 個試函數代入上式求得的模態函數分別表示為Wn1，Wn2和Wn3.

同理，軸向運動窄板和梁的解可設為

其中，Vn和Un分別是窄板和梁的第n階模態函數，Bn和Cn表示待確定的復函數。λn=δn+iωn是窄板和梁的第n階復頻率，虛部ωn是窄板和梁的第n階固有頻率，而實部δn表示振幅隨著時間的衰減率.

把板的方程(26)中的Ym=1 可以得到窄板和梁的模態函數，而板的系數o，p和q替換為窄板的系數e1，e2和e3或者梁的系數f1，f2和f3.其中

3 微分求積法

前面采用復模態法對板、窄板和梁進行了近似求解，本節采用微分求積法對前面得到的近似解析結果進行驗證.

采用微分求積法對控制方程進行離散，3 種模型的計算區域為0 ≤x≤1，0 ≤y≤1.假定x方向的網點個數是Nx，y方向的網點數為Ny.在本文中采用與Chen 和Tang[42]相同形式的采樣點.

板的控制方程(2)的解可設為

其中Ym(y)分別取式(12)中的3 個試函數，將式(30)代入板的控制方程(2)中，結果乘以Ym(y)并將y從0 到1 進行一次積分，得到

則板的微分求積近似離散為[43]

將上式寫成矩陣形式為

其中，M，G和K分別表示質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣，它們的維數均為(N-2)×(N-2).X是廣義位移矩陣，其維數為(N-2)×1.

同理，窄板的微分求積離散形式為

梁的微分求積離散形式為

將式(36)中的λnm替換為λn，X替換為V和U可以得到窄板和梁的矩陣形式.

若給定E=207 GPa，L=2 m，b=0.5 m，h=0.01 m，ρ=7850 kg/m3，P=6750 N，μ=0.3和c=0.27，板、窄板和梁前四階固有頻率隨軸速的變化如圖2～圖4 所示.其中下文坐標中的ω 表示模態函數為Wn1時的板的頻率和窄板的頻率.其中圖2 中實線和實點分別代表板頻率的解析和數值結果；圓圈和加號分別代表窄板頻率的解析和數值結果.圖3 中實線和實點分別代表板頻率的解析和數值結果.圖4 中實線和實點分別代表梁頻率的解析和數值結果.

圖2 板和窄板的頻率(ωn1和ωn)隨軸速的變化Fig.2 The frequencies of the plate(ωn1)and the panel(ωn)vary with the axial speeds

圖3 板頻率ωn2和ωn3的解析與數值結果的對比Fig.3 Comparisons of the analytical and the numerical results of the frequencies ωn2and ωn3of the plate

圖4 梁頻率的解析與數值結果的對比Fig.4 Comparison of the analytical and the numerical results of the frequencies of the beam

從圖2～圖4 可以看出，當軸速小于27.84 m/s時，3 種模型的頻率均隨軸速的增大而減小.從圖2 中可以看出兩者的頻率隨軸速的變化情況相同，這也說明了當軸速一定時，窄板是板的一種簡化形式.從圖3 和圖4 中可以看出模態函數為Wn1的板和梁的頻率隨軸速的變化較明顯，對于模態函數為Wn2和Wn3時，板的頻率變化很小.從數值上看，對于模態函數為Wn1時的板和窄板，軸速等于38.03 m/s 時達到臨界點；對于模態函數為Wn2和Wn3的板振動的第一階固有頻率大于梁和窄板的第四階固有頻率.當軸速達到臨界軸速27.84 m/s 時，梁的第一階固有頻率開始失穩.由于高頻率的現象不易發生，所以模態函數為Wn2和Wn3時板的振動情況不常見.

若假定b=0.5 m，h=0.01 m，γ=1 m/s，P=6750 N，ρ=7850 kg/m3，μ=0.3，c=0.001 和E=207 GPa，3 種模型的前四階頻率隨長寬比的變化情況如圖5～圖7 所示.其中圖5 中實線和實點分別代表板頻率的解析和數值結果；圓圈和加號分別代表窄板頻率的解析和數值結果.圖6 中實線和實點分別代表板頻率的解析和數值結果.圖7 中實線和實點分別代表梁頻率的解析和數值結果；虛線和加號分別表示窄板頻率的解析和數值結果.

圖5 表示模態函數為Wn1的板和窄板的頻率隨長寬比的變化.很明顯，兩者的變化情況是相同的，再次說明了窄板是板的一種簡化形式，即不考慮y方向的影響，同時從圖上可看出固有頻率隨著長寬比的增大而減小，且在長寬比小于2 時，頻率急劇減小，之后減小的幅度逐漸減小.

圖5 板和窄板的頻率(ωn1和ωn)隨長寬比的變化Fig.5 The frequencies of the plate(ωn1)and the panel(ωn)vary with the aspect ratios

圖6 表示模態函數為Wn2和Wn3時，板的頻率變化情況.從圖上可看出隨著長寬比的增大，板的振動頻率先減小后增大，在長寬比為1.6 時出現轉折點.

圖6 板頻率ωn2和ωn3隨長寬比的變化Fig.6 The frequencies of the plate ωn2and ωn3vary with the aspect ratios

圖7 表示梁和窄板的頻率隨長寬比的變化，梁的頻率隨長寬比的增大而增大，并且隨著頻率階數的增加，頻率隨長寬比的變化更加明顯.另外，隨著長寬比的增大，窄板的頻率逐漸接近于梁的頻率，當長寬比等于14.5 時，以窄板為基礎，窄板和梁的第一階頻率的相對誤差小于10%.

圖7 梁和窄板的頻率隨長寬比的變化Fig.7 The frequencies of the beam and the panel vary with the aspect ratios

選取節點數N為21，圖2～圖7 中也表示了復模態法和微分求積法的比較.從中可以看出，解析方法和數值方法吻合較好，這也驗證了解析結果的正確性.

圖8 窄板和梁的軸速和剛度對一階固有頻率的影響Fig.8 The influence of axial speed and the stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency

圖8 窄板和梁的軸速和剛度對一階固有頻率的影響(續)Fig.8 The influence of axial speed and the stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency(continued)

給定c=0.27，圖8 表示窄板和梁的軸速和剛度對一階固有頻率的影響.在軸速為0，剛度為1 時，第一階固有頻率最大；隨著軸速的增大以及剛度的減小，梁先達到失穩狀態，即當軸速為14.8 m/s 和剛度為0.15 時，梁的頻率先降為0，并且在軸速為18.8 和剛度為0.15 時開始失穩，繼續增大速度和減小剛度，頻率逐漸增大；而窄板的軸速為18.6 m/s 和剛度為0.1 時，頻率降為0.軸速和剛度對梁的第一階固有頻率的影響大于對窄板的第一階固有頻率的影響.

給定ξ=4,h=0.01 m,P=6750 N,E=207 GPa和μ=0.3,圖9 表示阻尼系數和軸速對窄板和梁的第一階固有頻率的影響.當速度很大時，隨著阻尼的變化，窄板和梁的第一階固有頻率幾乎不變；當速度很小時，隨著阻尼的變化，窄板的第一階固有頻率幾乎不變，而梁的頻率逐漸減小，但減小幅度很小.

圖9 窄板和梁的阻尼和軸速對一階固有頻率的影響Fig.9 The influence of damping and the axial speed of the panel and the beam on the first order natural frequency

圖10 窄板和梁的阻尼和剛度對一階固有頻率的影響Fig.10 The influence of damping and stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency

給定γ=1 m/s，圖10 表示了阻尼和剛度對窄板和梁的第一階固有頻率的影響.阻尼一定時，窄板和梁的第一階固有頻率隨著剛度的增大而增大且幅度比較大；剛度一定時，窄板和梁的第一階固有頻率隨著阻尼的增大而減小且幅度比較小；隨著剛度的變化，阻尼對窄板和梁的第一階固有頻率的影響都比較小；隨著阻尼的變化，不同的剛度對窄板和梁的第一階固有頻率的影響相差較小.所以剛度對第一階固有頻率的影響大于阻尼對第一階固有頻率的影響.

給定h=0.01 m，P=6750 N，E=207 GPa 和μ=0.3，圖11 表示長寬比和軸速對窄板和梁的第一階固有頻率的影響.當軸速一定時，窄板和梁的頻率隨著長寬比的增大而減小，且長寬比小于2.5 時，長寬比對頻率的影響很大，大于2.5 時，長寬比對頻率的影響逐漸減小；隨著長寬比和速度的增大，梁先達到失穩狀態.

圖11 窄板和梁的長寬比和軸速對一階固有頻率的影響Fig.11 The influence of the aspect ratio and axial speed of the panel and the beam on the first order natural frequency

給定h=0.01 m，P=6750 N，E=207 GPa 和μ=0.3，圖12 表示了窄板和梁的第一階固有頻率的相對誤差隨著長寬比和軸速的變化情況.當軸速一定且大于12.6 m/s 小于14 m/s 時，相對誤差隨著長寬比的增大而增大；小于12.6 m/s 時，相對誤差隨著長寬比的增大而減小.當長寬比達到22.9 以及軸速小于1.2 m/s，相對誤差小于0.05；當長寬比大于22.9，誤差小于0.05 時，軸速的范圍逐漸增大到5.1 m/s.當長寬比較大時，軸速對相對誤差的影響比長寬比小的時候大.

圖12 窄板和梁的長寬比和剛度對一階固有頻率的相對誤差的影響Fig.12 The influence of the aspect ratio and stiffness of the panel and the beam on the relative error of first order natural frequency

4 結論

本文研究的目的是針對不同的物理參數，尋找合適的力學模型，以簡化計算過程，更加有利于振動理論的研究.采用復模態方法求解了板、窄板和梁這3 種模型的固有頻率和模態函數，并通過微分求積法對復模態法所得的結果進行驗證，分析了軸速和長寬比對前四階固有頻率的影響，采用三維圖的形式著重分析了軸速、阻尼、長寬比和剛度對頻率的影響以及軸速和長寬比對窄板和板的第一階固有頻率的相對誤差的影響.通過分析發現：當其他參數一定時，軸速對梁，窄板和模態函數為Wn1時的板的頻率的影響比較大，而對模態函數為Wn2和Wn3時的板的頻率影響比較小；梁、窄板和模態函數為Wn1時的板的頻率與長寬比是反比關系，而模態函數為Wn2和Wn3時的板的頻率先減小后增大，且在長寬比為1.6 時出現轉折點；窄板和模態函數為Wn1時的板的頻率變化相同，這也說明了窄板是板的簡化形式；當速度很小時，阻尼對梁的影響大于窄板的，且在各參數變化時，阻尼對第一階固有頻率的影響很小；長寬比很小時，對窄板和梁的第一階固有頻率的影響很大；當長寬大于22.9 且軸速較小時，窄板模型可以簡化為梁的模型，即復雜模型可以轉化為簡單模型.