改進的突然對稱擴散水躍方程

寧利中,張 珂,寧碧波,田偉利，渠亞偉

(1.西安理工大學， 陜西 西安 710048； 2.嘉興學院, 浙江 嘉興 314001；3.上海大學, 上海 200444)

泄洪消能是我國水利樞紐工程建設中的關鍵性技術問題。根據有關實際工程資料統計，其造價約占工程總造價的40%～50%。因此消能防沖設施十分重要。在整個過程中，消能是主要手段，防沖是輔助措施。對于具體的水流條件、地形地質條件、泄水建筑物的形式與布置等，如何才能夠提供一個有效的高消能效率區，這是人們解決各種泄洪消能問題的關鍵。對于不同的泄洪消能形式，雖然具體的消能防護控制標準或設計準則不盡相同，但解決問題的基本途徑是一致的。水躍的研究長期受到學者的關注[1-8]。

最簡單的情況是水平渠底等寬二元渠道中的水躍。Belanger于1928年忽略能量損失應用能量方程建立水躍方程，沒有成功，10年后，他改用動量方程給出了二元渠道中的水躍共軛水深比的顯式解。最近幾十年，由于工程建設的需要和技術手段的進步，對水躍的研究有了較大的發展。由于消力池的幾何形狀取決于地形的條件，經常被布置為擴散式。從而引起了學者對擴散水躍的研究。擴散水躍可分為水平渠底漸擴明渠段中的水躍[9-13]和突然擴散段中的水躍[14-21]。文獻[15,17-18]對突擴式水躍進行了實驗。郭子中[1]在用動量方程計算共軛水深時忽略了始端突然擴大壁面壓強的影響，后來發現始端突然擴大壁面平均水深的影響較大，引入各種假設[14,19-21]，用動量方程計算共軛水深時仍然存在誤差。因此，搞清楚始端壁面平均水深已經成為保證利用動量方程計算共軛水深精度的關鍵。最近，又有學者[22-24]就漸擴消力池水力特性進行了研究。本文通過分析，研究了突然對稱擴散水躍共軛水深的水力特性。發現突然對稱擴散水躍始端擴散斷面的回流平均水深h3可以表示為躍前斷面水深h1和躍后斷面水深h2的函數。根據大量實驗資料，給出了回流平均水深表達式中系數α隨著突擴比β變化的函數關系式。根據動量原理建立了突然對稱擴散水躍共軛水深方程。本文建議的方程能夠很好的與實驗吻合一致。在已有的計算方法中，本文方程與實驗結果的平均誤差和最大誤差最小。因此，本文方程可以應用到實際問題的水力計算。

1 回流平均水深

圖1是水平底突擴式水躍的流動示意圖。h1、h2為躍前、躍后斷面水深，h3為回流區平均水深，b、B為上游、下游渠槽寬度。按照圖1的流動示意圖通過動量原理建立水躍方程時必須考慮始端水深，如圖2所示。

圖1 突擴式水躍示意圖

圖2 突擴斷面回流區水深示意圖

h3=h1+αh2

(1)

α=-0.0512β2+0.3267β-0.0653

(2)

將式(2)代入式(1)就確定了回流區平均水深。顯然，式(1)既反映了躍前斷面水深，躍后斷面水深對回流區平均水深的影響，也反映了突擴比β對回流區平均水深的影響。

圖3 系數α與突擴比β的關系

2 突然擴散水躍的共軛水深方程

對于圖1的流動進行分析時假定：

(1) 躍前與躍后兩斷面上的水流為漸變流。

(2) 忽略摩擦阻力。

基于上述假定，對圖1的躍前與躍后兩斷面在流動方向應用動量原理，有

(3)

式中:Q為流量,γ為水的重度,g為重力加速度，v1、v2為躍前、躍后斷面的平均流速,α01、α02為躍前、躍后斷面動量修正系數,P1為躍前斷面的動水總壓力,P2為躍后斷面的動水總壓力，P3為水躍始端擴散斷面上的動水總壓力。

根據假定(1)，動水壓力服從靜水壓力分布，則

(4)

(5)

(6)

根據連續性原理，有

Q=v1h1b=v2h2B

(7)

考慮假定(2)，有

α01=α02=1.0

(8)

將式(4)至式(8)代入式(3)，得

(9)

(10)

式(10)即為改進回流平均水深假設條件下突然擴散水躍的共軛水深方程。

3 突然擴散水躍方程(10)的驗證

方程(10)可以通過迭代法或者試算法求解。由于計算機的普及，方程(10)可以很快通過迭代法求解。方程(10)的計算結果與文獻[17，20]實驗結果的比較如圖4所示。

圖4 方程(10)的計算結果與實驗結果的比較

不同突擴比情況下方程(10)的計算結果與文獻[17,20]實驗結果的誤差分析如表1所示。由表1可以看出，最大平均誤差發生在β=3.0的情況下。最大誤差發生在β=2.0的情況下。

表1 不同突擴比時計算結果與實驗結果的誤差

對于不同假定情況下理論方程的計算結果和文獻[17,20]實驗結果的的平均誤差和最大誤差分析如表2所示?？梢钥闯觯墨I[19]理論方程的計算結果平均誤差和最大誤差最大。文獻[14]理論方程的計算結果平均誤差次之。文獻[20]理論方程的計算結果最大誤差次之。本文理論方程(10)的計算結果平均誤差為6.105%，最大誤差是25.767%。在已有的研究成果中，本文方程與實驗結果的平均誤差和最大誤差最小，精度最高。因此，本文方程可以應用到實際工程的水力計算。

表2 不同方程計算結果與實驗結果的誤差

4 結 論

(1) 突然對稱擴散水躍始端擴散斷面的回流平均水深h3可以表示為躍前斷面水深h1和躍后斷面水深h2的函數，即h3=h1+αh2。根據大量實驗資料，系數α可表示為突擴比β函數，其關系式為:

α=-0.0512β2+0.3267β-0.0653。

(2) 根據動量原理建立了突然對稱擴散水躍共軛水深的理論方程，方程的形式為：

(3) 突然對稱擴散水躍共軛水深方程的計算結果與實驗結果的比較說明，本文給出的方程能夠很好的與實驗吻合一致。在已有的研究成果中，本文方程與實驗結果的平均誤差和最大誤差最小。因此，本文方程具有較高的精度，可以應用到實際問題的水力計算。