在線參數(shù)辨識(shí)和擴(kuò)展卡爾曼算法的鋰離子電池SOC估算研究

李博文，王順利，于春梅，李建超，謝 偉

(1.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010； 2.綿陽(yáng)市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)所(國(guó)家電器安全質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心)，四川 綿陽(yáng) 621000； 3.四川華泰電氣股份有限公司，四川 遂寧 629000)

0 引言

能源安全和環(huán)境保護(hù)在國(guó)家的發(fā)展規(guī)劃中具有重要的地位。尋求可循環(huán)、低污染的新能源代替?zhèn)鹘y(tǒng)的化石燃料，已經(jīng)成為各國(guó)關(guān)注的焦點(diǎn)[1]。鋰離子電池以其能量密度高、使用壽命長(zhǎng)和輸出功率大等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)在新能源領(lǐng)域獲得長(zhǎng)足的發(fā)展，受到人們的廣泛關(guān)注[2]。鋰離子電池作為能量的載體，其狀態(tài)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)越來(lái)越受到重視。能否準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)決定了電池性能能否充分使用[3]。荷電狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)很大程度上取決于根據(jù)電池工作特性建立的等效模型。由于鋰離子電池內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在復(fù)雜工況下使用常常表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性，使得傳統(tǒng)的等效模型難以完全表征鋰離子電池的工作特性[4]。因此，針對(duì)鋰離子電池工作特性建立的等效電路模型，采用合適的算法進(jìn)行SOC估算，實(shí)現(xiàn)對(duì)鋰離子電池的實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測(cè)，對(duì)提高算法精度具有重要意義。

目前，常見(jiàn)的鋰離子電池模型有電化學(xué)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和等效電路模型等[5]。而常用的SOC估算算法有卡爾曼濾波算法、粒子濾波法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。考慮到鋰離子電池在復(fù)雜動(dòng)力工況下使用，其狀態(tài)監(jiān)測(cè)往往受到環(huán)境噪聲的影響[6]。加之電池內(nèi)部復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)、工況下電流和溫度多變，電池材料多次循環(huán)使用導(dǎo)致電池老化等問(wèn)題，使得傳統(tǒng)的算法難以得出實(shí)時(shí)可靠的荷電狀態(tài)值[7]。近年來(lái)，由于研究的不斷深入和技術(shù)的革新，針對(duì)鋰離子電池的在線估計(jì)難和估計(jì)精度較低等問(wèn)題，在傳統(tǒng)的算法的基礎(chǔ)上提出了新的改進(jìn)方法[8-9]。本文針對(duì)影響荷電狀態(tài)準(zhǔn)確估計(jì)的等效模型的影響因素問(wèn)題，根據(jù)鋰離子電池的二階RC等效模型，基于含有遺忘因子的遞推最小二乘法(recursive least squares method with forgetting factor,FFRLS)算法和擴(kuò)展卡爾曼(extended Kalman filter ,EKF)算法，對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(dynamic stress test ,DST)工況下進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)和SOC估算，實(shí)現(xiàn)對(duì)電池的特性的準(zhǔn)確、有效估計(jì)。

1 理論分析

1.1 等效模型及狀態(tài)方程建立

SOC被定義為電池剩余電量與額定容量的比值。其通常用安時(shí)積分法表示：

(1)

式中：SOC0為電池初始狀態(tài)的SOC值；Q為電池的額定容量；i(t)為電池瞬時(shí)脈沖電流大小；η為庫(kù)倫效率；Δt為采樣時(shí)間周期。

考慮到實(shí)際工程需要，在滿足要求的情況下，鋰離子電池的動(dòng)態(tài)等效電路模型不應(yīng)由復(fù)雜的電池模型來(lái)表征。為了提高參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性，選擇如圖 1所示的二階RC等效電路模型。該模型能夠充分描述鋰離子電池的充放電狀態(tài)，有助于反映基于最小二乘法的參數(shù)識(shí)別精度。

圖1 二階RC等效電路模型Fig.1 The second-order RC equivalent circuit model

圖1中：UL為電池端電壓；Uoc為電池的開(kāi)路電壓；Ro為電池的歐姆內(nèi)阻；Rp為電池極化內(nèi)阻；Cp為電池極化電容；Rc為電池濃差電阻；Cc為電池濃差電容。

當(dāng)RC電路具有零輸入響應(yīng)時(shí)，通常認(rèn)為兩個(gè)RC電路的放電電流是相同的。通過(guò)鋰離子電池模型獲得的系統(tǒng)方程是連續(xù)時(shí)間模型，并且需要表征每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)。每個(gè)t時(shí)刻的狀態(tài)如式(2)所示。

(2)

式中:τc為極化效應(yīng)時(shí)間常數(shù)；τp為濃差效應(yīng)時(shí)間常數(shù)。

1.2 參數(shù)辨識(shí)

1.2.1 離線參數(shù)辨識(shí)

參數(shù)辨識(shí)的精度使得SOC估算受到影響。電池單次恒流脈沖循環(huán)充放電過(guò)程如圖 2所示。

圖2 單次恒流脈沖循環(huán)充放電圖Fig.2 Schematic diagram of charge and discharge of single constant current pulse cycle

根據(jù)式(1)結(jié)合模型加以分析，當(dāng)RC網(wǎng)絡(luò)處于零輸入狀態(tài)時(shí)，可以獲得電池狀態(tài)表達(dá)式：

(3)

采用多線性擬合原理，結(jié)合實(shí)際工況數(shù)據(jù)用于分析電池的實(shí)時(shí)狀態(tài)，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)鋰離子電池的離線參數(shù)辨識(shí)。

圖2中：AB為放電區(qū)域；RC網(wǎng)絡(luò)處于零響應(yīng)狀態(tài)；BD為擱置區(qū)域；RC網(wǎng)絡(luò)處于零輸入狀態(tài)。

電壓從B點(diǎn)突然上升，該突變是由歐姆內(nèi)阻引起的[10]。根據(jù)鋰離子電池特性結(jié)合等效電路模型分析，可以計(jì)算歐姆電阻Ro。

(4)

根據(jù)鋰離子電池充放電下RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)合式(1)分析，在此基礎(chǔ)上對(duì)試驗(yàn)放電數(shù)據(jù)擬合u(t)曲線進(jìn)行多線性擬合分析，可以獲得基于RC網(wǎng)絡(luò)的零輸入響應(yīng)下Cc、Rc、Rp和Cp的參數(shù)值，如式(5)所示。

u(t)=uoc(soc)-up(t)-uc(t)=uoc(soc)-

(5)

1.2.2 最小二乘法原理

最小二乘法以其易于理解和快速收斂而被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)識(shí)別領(lǐng)域。基于最小二乘法的在線參數(shù)辨識(shí)可以根據(jù)實(shí)時(shí)采集到的電池信息更新電池模型參數(shù)，使得模型更加契合當(dāng)前電池特性表示，從而有效提高模型精度。含有遺忘因子的遞推最小二乘法算法原理如式(6)所示。

y(k)=φ(k)θ(k)T+e(k)

(6)

式中：φ(k)為觀測(cè)向量；θ(k)為待估計(jì)參數(shù)向量；e(k)為觀測(cè)噪聲向量。

(7)

經(jīng)典的最小二乘法隨著算法數(shù)據(jù)的迭代次數(shù)變長(zhǎng)，增益K(k)和矩陣方差P(k)變得越來(lái)越小。FFRLS算法增加遺忘因子(λ)來(lái)減弱之前迭代的影響，以提高算法的在線估計(jì)能力。算法的收斂速度和跟蹤能力取決于遺忘因子(λ)的大小，如式(8)所示。

(8)

(9)

考慮到在二階RC鋰離子電池等效模型中，需要辨識(shí)的模型參數(shù)為Ro、Rp、Cp、Rc和Cc。根據(jù)最小二乘法原理并結(jié)合式(9),可以得出觀測(cè)向量和待估參數(shù)向量分別為：

(10)

FFRLS算法實(shí)現(xiàn)如圖3所示。

春到梅山處處香，秋臨棲霞片片紅。春入梅花山賞梅，夏臨玄武湖觀荷。泛舟玄武湖賞荷，漫步夫子廟觀燈。夫子廟燈火齊放，玄武湖扁舟同行。夫子廟盞盞燈如晝，棲霞山片片楓似火。桃紅柳綠莫愁湖，鳥(niǎo)語(yǔ)花香紫金山。梅花山踏雪尋梅觀勝景，秦淮河泛舟賞月醉風(fēng)光。望秦淮河水纏纏綿綿，觀東郊園林郁郁蔥蔥。登明城墻賞金陵勝景，攀紫金山觀石城風(fēng)光。春雨蒙蒙百花爭(zhēng)艷，秋風(fēng)瑟瑟群菊盛開(kāi)。

算法主要由上部的初始階段和下部的更新階段構(gòu)成。通過(guò)預(yù)設(shè)初始值進(jìn)行參數(shù)計(jì)算和相關(guān)矩陣的迭代更新，實(shí)現(xiàn)對(duì)工況下鋰離子電池的在線參數(shù)辨識(shí)。本文經(jīng)過(guò)反復(fù)計(jì)算驗(yàn)證，當(dāng)遺忘因子為0.98時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)精度最高。

1.3 擴(kuò)展卡爾曼原理

鋰離子電池由于放電倍率、溫度以及內(nèi)部復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，呈現(xiàn)出非線性狀態(tài)。EKF算法在卡爾曼算法的基礎(chǔ)上運(yùn)用泰勒式求取雅克比矩陣進(jìn)行線性化處理，能夠更加精確地實(shí)現(xiàn)SOC的估算[11]。通常基于EKF算法的鋰離子電池等效模型表示為：

圖3 FFRLS算法實(shí)現(xiàn)示意圖Fig.3 FFRLS algorithm implementation diagram

(11)

式(2)中的Uoc可以由SOC表示。結(jié)合式(11)，針對(duì)所選取的二階等效模型，選取[SOCk+1Up,k+1Uc,k+1]T作為狀態(tài)變量，將等式離散化，可以列出其狀態(tài)空間方程:

(12)

結(jié)合式(11)與式(12)進(jìn)行分析，可以化簡(jiǎn)得到相關(guān)矩陣：

(13)

式中：Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Bk為輸入增益矩陣；Ck為量測(cè)轉(zhuǎn)移矩陣；Dk為前饋系數(shù)矩陣。

對(duì)于上述狀態(tài)空間模型表達(dá)式，運(yùn)用卡爾曼濾波算法進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)估計(jì)。其中，預(yù)測(cè)階段狀態(tài)估計(jì)值和協(xié)方差的遞推關(guān)系式為：

(14)

(15)

圖4 EKF算法實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.4 Flowchart of EKF algorithm implementation

2 試驗(yàn)分析

2.1 參數(shù)辨識(shí)

本文選擇中航鋰離子電池進(jìn)行試驗(yàn),電池的標(biāo)稱容量為50 Ah，實(shí)際容量為48.54 Ah。在25 ℃下，對(duì)電池進(jìn)行混合動(dòng)力充放電(hybrid pulse power characterization,HPPC)試驗(yàn)，單次HPPC工步為以1 C(電流為50 A)恒流放電10 s、擱置40 s、以1 C(電流為50 A)恒流充電10 s、再擱置。將鋰離子電池以1 C恒流放電6 min。在10個(gè)SOC的脈沖循環(huán)之間均間隔40 min。HPPC試驗(yàn)電壓與電流變化曲線如圖5所示。

圖5 HPPC試驗(yàn)電壓與電流變化曲線Fig.5 HPPC experimental voltage and current change curves

根據(jù)對(duì)每個(gè)階段的放電曲線進(jìn)行分析，并結(jié)合式(4)運(yùn)用多線性擬合法，實(shí)現(xiàn)對(duì)鋰電池的等效模型的參數(shù)辨識(shí)。不同SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)如表1所示。

表1 不同SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)Tab.1 Model parameters under different SOC states

循環(huán)放電結(jié)束擱置后的電池基本處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)的電壓可以視為當(dāng)前SOC所對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓(open circuit voltage,OCV)值。從表 1可以看出，二階RC模型內(nèi)部參數(shù)隨著SOC變化在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，若需要得到較精確的模擬程度，則需要得到各參數(shù)和SOC之間的關(guān)系。

2.2 HPPC仿真分析

為了驗(yàn)證鋰離子電池的參數(shù)辨識(shí)精度，引入HPPC實(shí)際工況電流和電壓，構(gòu)建基于安時(shí)積分法的SOC仿真電壓的模型。選擇相關(guān)離線辨識(shí)參數(shù)與SOC值的曲線關(guān)系來(lái)表征實(shí)際放電過(guò)程的電池內(nèi)部特性變化。電壓仿真誤差曲線如圖6所示。

圖6 電壓仿真誤差曲線Fig.6 Voltage simulation error curve

從圖 6可以看出，實(shí)際電壓和模擬電壓變化曲線的誤差基本穩(wěn)定在0.05 V。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)參數(shù)識(shí)別得到的參數(shù)辨識(shí)值，能夠用于表征實(shí)際工況條件下的鋰離子電池工作特性。

2.3 動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試仿真分析

為驗(yàn)證FFRLS算法對(duì)鋰電池參數(shù)辨識(shí)在線估算的可行性，選擇相同的中航三元鋰電池為試驗(yàn)對(duì)象，根據(jù)實(shí)際的用戶使用工作環(huán)境和要求，建立DST工況實(shí)驗(yàn)。工況條件下模擬用戶以0.25 C、0.33 C、0.5 C進(jìn)行斷續(xù)的恒流放電工作，以0.25 C、0.33 C進(jìn)行斷續(xù)的恒流充電工作，并進(jìn)行循環(huán)工作測(cè)試。動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(dynamic stress test,DST)試驗(yàn)電壓與電流變化曲線如圖7所示。

圖7 DST試驗(yàn)電壓與電流變化曲線Fig.7 DST experimental voltage and current change curves

根據(jù)FFRLS算法原理，結(jié)合DST工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行鋰離子電池等效模型的在線參數(shù)辨識(shí)。選擇電壓電流變化較為穩(wěn)定可靠的前半段進(jìn)行分析處理，獲得仿真下的鋰離子電池辨識(shí)參數(shù)。在線辨識(shí)參數(shù)變化曲線如圖 8所示。

圖8 在線辨識(shí)參數(shù)變化曲線Fig.8 Online identification parameter change curves

從圖8可以得出，參數(shù)在線辨識(shí)與根據(jù)HPPC試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多線性原理分析獲得的參數(shù)辨識(shí)數(shù)據(jù)相接近。結(jié)合式(1)進(jìn)行分析，將在線辨識(shí)獲取的影響因子在實(shí)際電流工作條件下表征電壓。在線辨識(shí)參數(shù)電壓仿真如圖9所示。

從圖9可以看出，基于FFRLS算法實(shí)現(xiàn)鋰離子電池在線參數(shù)辨識(shí)獲取的Ro、Rp、Cp、Rc和Cc的數(shù)值，能夠仿真實(shí)際的電壓情況，相對(duì)誤差在2%以內(nèi)。

為了驗(yàn)證利用FFRLS算法估計(jì)電池SOC的精度，在DST動(dòng)態(tài)工況下，采用EKF算法結(jié)合FFRLS進(jìn)行SOC估計(jì)，顯示算法仿真模型估算SOC結(jié)果與實(shí)際值的對(duì)比情況。EKF估算SOC曲線如圖10所示。由圖10可知，DST工況下EKF算法對(duì)于實(shí)際SOC有較好的跟蹤仿真能力，算法估算SOC的相對(duì)誤差大約在0.3%。

圖9 在線辨識(shí)參數(shù)電壓仿真圖Fig.9 Online parameter identification voltage simulation diagram

圖10 EKF估算SOC曲線Fig.10 EKF algorithm to estimate SOC renderings

利用FFRLS在線參數(shù)辨識(shí)可以提高計(jì)算精度，但系統(tǒng)噪聲與電池實(shí)際工況下存在的放電問(wèn)題，使得圖10(b)產(chǎn)生一定的誤差波動(dòng)。在線參數(shù)辨識(shí)下由于電池在工況條件下，相關(guān)參數(shù)會(huì)發(fā)生波動(dòng)，如圖8所示，會(huì)導(dǎo)致SOC估算精度出現(xiàn)較大誤差。

3 結(jié)論

精確的SOC估計(jì)對(duì)于鋰離子電池管理系統(tǒng)至關(guān)重要。模型參數(shù)和系統(tǒng)噪聲等因素都會(huì)降低SOC的估算精度。本文提出基于FFRLS算法對(duì)二階RC模型進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)來(lái)獲取實(shí)時(shí)的電池參數(shù)，避免了由于參數(shù)擬合不精確引起的誤差。運(yùn)用DST工況試驗(yàn)采用EKF算法進(jìn)行SOC估計(jì)。仿真結(jié)果表明，F(xiàn)FRLS能夠正確表征鋰離子電池在線參數(shù)辨識(shí)，與實(shí)際工況下相比較誤差在1.5%以內(nèi)。結(jié)合EKF算法能夠有效表征SOC估算精度，相對(duì)誤差在-0.3%～+0.3%以內(nèi)。基于FFRLS算法和EKF算法的在線SOC辨識(shí)系統(tǒng)，具有較高的估計(jì)精度。