時間模上p-Laplacian方程邊值問題的兩個正解的存在性

喬世東

(山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009)

p-laplace 算子形式是其中φp(s)= |s|p-2s,p＞1。

研究時間模T上的一維p-Laplacian[1]兩-點邊值問題

設p＞1 ，q＞1，且滿足另外，設

解方程得到

定義積分算子A:P→P，

AP?P, 則A全連續積分算子，邊值問題(1)有解u=u(t)當且僅當u是下列算子方程的解。

定理1設P是實巴拿赫空間E的一個錐,集合P(Φ,r)={u∈P:Φ(u)＜r}[2]。

如果ν,Φ是定義在P上的增加的, 非負的連續函數,讓θ是一個定義在P上非負的連續函數且有θ( 0 )=0 滿足對一些正的常數r,M及所有的又假 設 存 在 常 數 0 ＜p＜q＜r滿 足 下 列 條 件,θ(λu)≤λθ(u), 0 ≤λ≤ 1,u∈ ?P(θ,q)。 假 設是P上的一個全連續算子滿足下列條件:

(1)Φ(Au)＞r對所有的u∈ ?P(Φ,r)；

（2）θ(Au)＜q對所有的u∈?P(θ,q)；

（3）P(ν,p)≠φ, 和ν(Au)＞p對 所 有 的u∈ ?P(ν,p),則A至少有兩個不動點u1,u2, 滿足p＜ν(u1) ,θ(u1) ＜q和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

定理2設條件(H)成立,且

（1）f0=f∞=∞；

( 2 )?ρ＞ 0,使f(u)＜(ηρ)p-1,0 ≤u≤ρ,

則邊值問題(1)至少有兩個正解u1,u2, 滿足0 ＜ ‖u1‖＜ρ＜ ‖u2‖＜ ∞[3]。

證明由f0=∞知，對?0 ＜a＜ρ, 當時,

設u∈P，‖u‖ =a，Ra={u∈P:‖u‖ ＜a},

當u∈?Pa時，時,于是

由f∞=∞ ，對上面的?b＞ρ, 當時,

設u∈P，‖u‖ =b，Rb={u∈P:‖u‖ ＜b},

當u∈?Pb時，于是

由條件（2）知，設u∈P，‖u‖ =ρ，

由定理1知A在P中有兩個不動點u1,u2, 滿足即方程（1）有兩個正解u1,u2,滿足