n階方陣高次冪的求解方法

張海濤

（山西大同大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山西大同037009）

在線性代數(shù)中，矩陣是主要的研究對象之一，其中方陣的冪是矩陣乘法的一種特殊情況[1-3]。求解方陣冪的過程中會用到歸納、拆分、相似矩陣等多種方法和技巧，給出六種常見的求解方法。

1 直接計算法

基本思路:依次計算A2,A3, …, 找出它們的規(guī)律,猜想An,然后用數(shù)學歸納法證明即可。

運用這個方法一般都是先計算。

A2,A3, …，并根據(jù)A2,A3…的計算結果進行猜想，而后對猜想用數(shù)學歸納法加以證明,但并不是所有矩陣的冪的元素跟冪指數(shù)都有較明顯的關系，故此方法有一定的局限性。

2 利用二項展開式

若方陣A能分解成兩個兩個方陣的和A＝B+C,且BC=CB，則可用二項式展開定理An=(B+C)n=當然要求B,C之中有一個的冪都很容易計算，特別地，當A的主對角線上的元素相同時,利用二項式計算更為方便。

例2計算

解記注意到A的主對角線上元素均相同,于是A=B++λE, 其中易知Bk=0(k≥2),故A50=(B+λE)50=

該方法首先要把矩陣A寫成兩個矩陣B,C的和，并要求這兩個矩陣滿足(1)矩陣B,C可交換；（2）其中一個矩陣的較低次冪的結果為特殊矩陣，如：零矩陣，數(shù)量矩陣，故此方法具有很強的技巧性，適用范圍有限。

3 利用初等變換

若A為初等方陣,則An可以看成連續(xù)進行同一初等變換得到。

例3計算

解可以看成在第一個矩陣右邊乘了2015個第三種初等矩陣，即相當于對第一個矩陣作了2015次把第一列加到第二列的初等變換，于是

4 利用相似矩陣

如果矩陣A能夠相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，其中Λ為對角陣，從而A=P-1AP,于是有

例4設求An。

解A的特征多項式為

所以A的全部特征值為λ1=1,λ2=5,λ3=5，

分別將λ1=1,λ2=5,λ3=5 代入方程 (A-λiE)x=0(i=1,2,3)，可求得它們對應的特征向量分別為

雖然利用對角矩陣計算矩陣的高次冪具有一般性，但是此方法不僅要求矩陣的特征值，還需要求矩陣的特征向量，對于高階矩陣來說還是比較困難的。為此，能不求特征向量，降次方法能達到求n階方陣高次冪。

5 矩陣分解法

若矩陣A的秩為1，則A可分解成一個列向量與一個行向量的乘積，然后再利用此分解式計算。

例5求

解記易知R(A)=1, 從而A可以表示為一個列向量和一個行向量的乘積，顯然記α=(1 2 3) ，則從而A=αTα，但注意到ααT=14，故

這類矩陣A的特征是至少存在一個非零行向量，使得其余行向量都能用這個行向量來線性表示，因此矩陣A總是可以化為一個n維列向量α=(a1,a2,...,an)T和一個n維行向量β=(b1,b2,...,bn)的 乘 積 ，即A=αβ所 以An=(αβ)n=α(βα)n-1β=

6 利用哈密頓-凱萊定理

哈密頓-凱萊定理為:若A為n階方陣,它的特征多項式f(x)=|xE-A|=xn+a1xn-1+…+an，

則f(A)=An+a1An-1+…+anE=0。

例6設求An。

解因|λE-A|=λ3-λ2-λ+1，

由哈密頓-凱萊定理有

假設An-1=An-3+A2-E，兩邊乘A，有

令n=100，有

求方陣的高次冪的防范還有很多，在求解的過程中一定要根據(jù)所給矩陣的特點，選擇適合的最簡單的方法。