一類涉及微積分的薄壁圓筒力學問題探索

張艷軍

（1.山西大同大學建筑與測繪工程學院，山西大同037003；2.礦山地質災害防治與環境恢復大同市重點實驗室，山西大同 037003）

眾所周知，高等數學是近現代科學最重要的數學工具[1],是力學的基礎，其在解決力學問題時必不可少，而微積分思想就是一種廣泛應用于物理學科的數學思想[2], 研究力學問題時，微元選取和建立模型的方法，是涉及微積分力學問題的很好切入點，運用于教學實踐，有利于學生在數學和力學學科間感受知識融通的妙趣[3]。微積分手段和薄壁圓筒力學問題結合求解薄壁圓筒在內壓強作用下的徑向變形時，很多教科書通常通過微積分和胡克定律相結合的方法來進行求解，很少涉及其他方法，為此，介紹一種解決此類問題的能量法[4]，提供一種借鑒。

1 微積分和胡克定律相結合的求解方法

如圖1所示，薄壁圓筒長度b，圓筒壁厚度δ，圓筒半徑R，圓筒內壓強P，求薄壁圓筒的徑向變形Δd。對于這類型題，通常通過微積分和胡克定律相結合的方法來進行求解。

首先，找一個好的切入點，比如微元的選取，如圖2所示，在薄壁圓筒上長為dl的圓弧作為微元體，該微元體所對應的圓心角為dθ, 則

在薄壁圓筒上長為dl的圓弧對應微元體的面積為：

該微元體受到的沿著半徑方向的力為：

如圖2所示。

圖2 薄壁圓筒受力分析圖

該微元體受到的沿著半徑方向的力沿著豎向方向的分力為：

兩邊積分得

將（1）（2）（3）（4）（5）聯立得：

根據平衡關系知：

則有薄壁圓筒的環向軸力為：

（8），（9），（10）聯立得：

根據胡克定律可知

根據線應變可知

聯立（11）（12）（13）(14)式得出薄壁圓筒的徑向變形為：

2 能量法

能量法是一種基于功能原理基礎之上的方法，通過計算能量，根據功能關系反解其變形。該方法的特點是：簡單高效，不易出錯。下面介紹能量法計算薄壁圓筒的徑向變形。

薄壁圓筒在內壓強P的作用下所做的功為：

薄壁圓筒的內壓力為：

薄壁圓筒的內面積為：

聯立（16）（17）（18）式得：

薄壁圓筒的應變能為：

薄壁圓筒的環向周長為

薄壁圓筒的環向面積為

將（8）（20）（21）（22）聯立得：

通過功能關系知：外力對薄壁圓筒所做的功等于薄壁圓筒產生的應變能，可得

聯立（19）（23）得：

從以上解題方法可以看出，能量法的優點在于：（1）可以忽略中間過程，只算最終狀態；（2）能量是標量，容易計算。

3 結論

（1）兩種方法求解結果一致，證明了能量法的正確性；

（2）能量法為薄壁圓筒的徑向變形提供一種新的求解方法。