Riesz定理在證明測度收斂性質中的應用

孫秀花

（晉中學院數學學院，山西晉中030600）

依測度收斂是實變函數中一類重要的收斂，Riesz 定理給出了函數列依測度收斂的一個充要條件。測度收斂的性質基本都是用定義來證明的，利用該定理來證明測度收斂的性質有時會簡單的多。主要通過例子來說明Riesz 定理在證明測度收斂性質中的應用，并且用該定理得出函數列測度收斂的一個充要條件。

1 預備知識

定義1設fn(x)是可測集E上的可測函數列，f(x)是E上的可測函數。如果對每個ε＞0，有

則稱序列fn(x)依測度收斂于f(x)。記為

定理1（F.Riesz 定理）設mE＜∞，則可測函數列fn(x)在E上測度收斂于f(x)的充要條件是：對序列{fn(x)}的任何子列{fnk(x)}，都存在子列幾乎處處收斂于f(x)。

定理2（關于可測集的性質）設在可測集E上，則

2 利用Riesz定理證明測度收斂的性質

下面給出定理2的證明。

例1設在可測集上，利用Riesz定理證明：

證明由定義易得設 {αfn,k+βgn,k} 是{αfn+βgn} 的任一子列，則{αfn,k} 是{αfn}的 子 列 ，根 據 定 理1 有{αfn,k} 的 子 列(i→ ∞ )。相應地，{βgn,k,i} 是{βgn} 的子列，根據定理1有{βgn,k,i} 的子列注意到{αfn,k,i,j} 是 {αfn,k,i} 的子列, 也有從而有{αfn,k+βgn,k} 的子列(j→∞ )。由于 {αfn,k+βgn,k} 是{αfn+βgn} 的任一子列，根據定理1得

例1 說明怎樣用定理1 來證明測度收斂的性質，并不比用定義簡單，下面再舉一個例子，下面例2如果用定義來證明非常麻煩，好多實變函數書上用了很大篇幅來證明，這里用Riesz 定理給出證明。

例2設在可測集E(mE＜ +∞ )上證明

證明方法1，用定義證明[5]。

方法2，設{fn,k·gn,k} 是 {fn·gn} 的任一子列，則{fn,k} 是{fn} 的子列，因為由 Riesz 定理有{fn,k} 的子列相應地，{gn,k,i} 是{gn}的子列，根據Riesz 定理有{gn,k,i} 的子列(j→∞ )。注意到 {fn,k,i,j} 是{fn,k,i} 的子列，也有

類似地，關于測度收斂的其他幾個性質都可以用該定理證明。

3 主要結果

下面給出測度收斂的一個充要條件

定理3在可測集上，f且

證明必要性顯然。

充分性設{fnk}是{fn} 的任一子列，則{f2nk}是{f2n} 的子列，因為由定理1存在{f2nk}的子列相應地，的子列，因為由定理 1 存在的子列注意到的子列，也有從而有{fnk}的子列(j→ ∞) ,由定理1得

通過以上性質的證明和結論可以看出用Riesz定理來證明可測集的性質時，關鍵就是轉化為幾乎處處收斂的性質。因為幾乎處處收斂與處處收斂只差一個零測度集，而處處收斂的性質已經比較成熟，所以推導起來比較簡單。