毫米波massive MIMO 系統中混合連接的混合預編碼設計

趙宏宇，姚紅艷

（西南交通大學信息科學與技術學院，四川 成都 611756）

1 引言

毫米波大規模多輸入多輸出（MM-MIMO,millimeter-wave massive multiple-input multipleoutput）是5G 系統提高系統容量和頻譜利用率的關鍵技術。MM-MIMO 系統通過混合預編碼技術來提高頻譜效率并消除信號間干擾。大多數混合預編碼設計方案都是基于全連接結構的[1-2]，即每一個射頻（RF,radio frequency）鏈路與所有的天線陣列相連接。當基站天線數目成百上千地增加時，全連接結構需要大量的移相器來實現模擬預編碼，這不但使硬件實現復雜度高，而且系統的能量效率非常低。為降低MM-MIMO 系統中混合預編碼的硬件實現復雜度，文獻[3-5]提出了基于部分連接結構的混合預編碼方法，通過每個RF 鏈路與部分天線連接的方式來減少移相器數目，從而有效降低了硬件復雜度。但是，基于部分連接結構的混合預編碼并不能改善系統的能量效率，同時還會帶來一定的頻譜效率損失。近兩年，有學者基于全連接結構相繼探討了利用機器學習和深度學習方法實現的混合預編碼算法，以降低硬件復雜度或提升系統的能量效率。例如，文獻[6]提出了一種采用交叉熵優化策略的混合預編碼算法，該算法通過迭代更新具有穩健誤差的交叉熵損失函數得到混合預編碼器來提高系統的能量效率，但它需要預測隨機序列樣本，迭代更新過程硬件復雜度高，每更新一次訓練開銷大（計算復雜度高）；文獻[7]提出了一種新穎的基于深度學習的方法，該方法通過共同優化信道測量矢量來設計混合波束成形矢量，可以得到最佳頻譜效率，且在一定程度上改善了系統的能量效率。

為了實現MM-MIMO 系統能量效率、頻譜效率及硬件復雜度的更佳折中，文獻[8-9]提出了基于混合連接結構的混合預編碼算法。該算法的主要思想是將RF 鏈路進行分塊，在每個分塊內部進行全連接，分塊之間進行部分連接。這種混合連接結構的硬件復雜度略高于部分連接結構，但遠低于全連接結構，其頻譜效率雖遜于全連接結構但顯著優于部分連接結構?；旌线B接結構最突出的優點是系統的能量效率可以得到極大提升，遠優于全連接和部分連接結構，也遠優于文獻[6-7]方法改進得到的能量效率。顯然，基于混合連接結構的混合預編碼實現了硬件復雜度、頻譜效率以及能量效率的更佳平衡，比全連接和部分連接結構更適于實際應用。然而，文獻[8-9]提出的基于混合連接結構的混合預編碼算法在模擬預編碼矩陣受恒模約束的條件下，系統的頻譜效率比模擬預編碼矩陣不受恒模約束時的頻譜效率下降顯著，特別是在數據流數小于RF鏈路數的場景中，其頻譜效率下降得更多。此外，當模擬預編碼矩陣受恒模約束時，文獻[8-9]需要將每個子陣進行分塊求解，并且需要不同塊之間滿足正交性，這不但使分塊方法比較復雜（計算復雜度高），而且正交性條件限制了其實際適用場景。

為改進文獻[8-9]方法的以上兩點不足，本文提出一種新的基于混合連接結構的MM-MIMO 混合預編碼算法。該算法的核心思想是在分塊不需要滿足正交性這樣的苛刻條件下，以模擬預編碼矩陣受恒模約束的頻譜效率為優化目標，通過梯度下降理論[10]設計2 個矩陣來重構最優混合預編碼矩陣，然后通過設計一個中間酉矩陣來滿足模擬預編碼矩陣的恒模約束條件，最后利用交替最小化[11]方法分別得到優化的模擬和數字預編碼矩陣。Matlab 仿真結果表明，上述算法能夠顯著改善模擬預編碼矩陣受恒模約束時的頻譜效率（優于文獻[5,9]），而系統的能量效率則相當于或略優于文獻[9]（遠優于基于部分連接結構的文獻[5]）。此外，本文算法不需要增加混合連接的混合預編碼的硬件復雜度來實現算法，混合連接分塊時也不需要滿足正交性條件，因此可以極大地擴展混合連接型混合預編碼的應用場景。

本文用到的數學符號介紹如下。IN表示N×N的單位矩陣，表示矩陣X 的行列式，||X ||F表示矩陣X 的F 范數，tr(X)表示矩陣X 的跡，E [·]表示求變量的期望，CN(μ,σ2)表示均值為μ、方差為σ2的循環對稱高斯分布，angle(·)表示取變量的相位，Re(X)表示取X 實部，{XH,XT,X*,X-1,X+}分別表示矩陣X 的共軛轉置、轉置、共軛、逆、廣義逆，X(i,j)表示X 的第(i,j)個元素，X(:,j)表示X 的第j 列元素，X∈CM×N表示X 屬于復數平面的M × N空間上。

2 系統模型

圖1 表示MM-MIMO 系統中混合連接結構的混合預編碼框架，發射端配備Nt根天線，接收端配備Nr根天線。在發送端將總的RF 鏈路劃分為D 個子陣，每個子陣有S 個RF 鏈路，則總共有SD 個RF 鏈路、DN 根發射天線，即NRF=SD、Nt=DN。每個子陣連接到S 根RF 鏈路，為了便于估計混合預編碼性能，假設所有的發送端都有相同的發送天線數，發送的數據流數為Ns。在發射端和接收端，射頻鏈路數分別滿足Ns≤SD ≤ Nt，Ns≤SD ≤ Nr。

圖1 MM-MIMO 系統中混合預編碼框架

其中，FBB表示SD × Ns階數字預編碼矩陣，FRF表示Nt×SD階模擬預編碼矩陣，ρ 表示平均接收功率，表示信道矩陣，s 表示Ns× 1階發射信號矩陣，并且滿足E[ssH]=，F=FRFFBB表示混合預編碼矩陣，滿足總的發射功率限制表示信道噪聲向量。假設信道狀態信息（CSI,channel state information）對發射端是已知的，考慮毫米波信道系統的稀疏特性，本文采用的是S-V（Saleh-Valenzuela）模型[1]?；赟-V 的信道模型是根據無線信道中傳輸路徑的各項參數建立的參數化多徑信道模型，參數化的信道模型對于大規模天線陣列系統來說是比估計信道矩陣中的各個元素更直接、更高效的方式，尤其是針對毫米波信道來說，由于毫米波傳輸中較高的路徑損耗嚴重約束了信道中傳輸的路徑數目，因此參數信道模型只要知道較少的路徑信息便可以確定毫米波模型，因此基于S-V 的信道模型被廣泛地應用在有關毫米波的通信系統中。

當發射信號服從高斯分布時，混合連接結構的頻譜效率為

本文以式(2)最大化為優化目標來設計最優的混合預編碼矩陣F 。因為F 通過矩陣分解可以表示為 FRFFBB，利用梯度下降算法和交替最小化方法分別優化設計模擬預編碼矩陣 FRF和數字預編碼矩陣 FBB，使 FRFFBB盡可能地逼近最優的F 矩陣。

梯度下降是一種經典的多維無約束優化問題的計算方法。交替最小化將每次迭代過程分成2 個部分。在每次迭代中，一個參數首先被固定，然后設計另一個參數使目標函數最小化，最后2 個參數角色互換，進一步最小化目標函數。交替優化過程中目標函數在每次迭代中都是非增的，且相對值隨著迭代次數的增加而單調遞減。考慮由式(2)導出的優化目標函數本身是有界的，因此本文算法至少能夠收斂至一個局部最優解。這種優化算法與文獻[9]不同，不需要考慮分塊是否正交。

3 基于矩陣分解混合預編碼設計

根據連續干擾消除的思想，得到功率受限且模擬部分不受恒模約束的最優混合預編碼矩陣，實際中模擬部分必須遵循恒模約束，所以通過梯度下降理論和交替最小化方法來求解有恒模約束的模擬和數字預編碼矩陣，主要分為以下2 個階段。

階段1不考慮 FRF恒模約束條件時，利用梯度下降理論設計2 個矩陣來重構最優預編碼矩陣。

階段2考慮 FRF恒模約束條件時，根據階段1得到的矩陣，設計一個中間酉矩陣來滿足約束條件，通過交替最小化方法求解目標函數。

3.1 階段1 不考慮FRF恒模約束條件

不考慮 FRF恒模約束條件，根據文獻[1]得到混合預編碼矩陣的目標函數為

式(3)中的目標函數的尋優等效于一個因式分解問題，設計 2 個矩陣和，使f(A,A)最小。

本文利用梯度下降理論分別更新ARF和ABB，具體算法如算法1 所示。重構矩陣步長的具體推導過程參考文獻[12-13]。

算法1基于梯度下降理論的矩陣重構算法

輸入Fopt、Nt、Ns和誤差常數ε

輸出ARF和 ABB

3.2 階段2 考慮FRF恒模約束條件

根據相應信道矩陣的奇異值分解可以得到最佳混合預編碼子矩陣，利用連續干擾消除可以消除子矩陣之間的相互影響。已知F=FRFFBB，并且 FRF是塊對角化矩陣，F 和 FBB的結構相似，那么

其中，FR,d是N × S的矩陣，d={1,2,…,D}；fB,i,j是S× 1的向量，FB,i是S × Ns的矩陣，i={1,2,…,D}，j={1,2,…,Ns}。

考慮FRF恒模約束條件，整體目標函數可以寫成

根據混合連接結構的特性可以將目標函數分解為D 個子塊，并對其分別進行優化，所以將子目標函數寫成

其中，Fopt(d)=Fopt(((d-1)N+1):dN,ins:ins+S-1)表示取Fopt的第((d-1)N+1)到dN 行和第ins 到ins+S-1列的元素，ins 表示Fopt中第d 個子陣中第一個不為0 的列序號，表示FRF(i,j)的第(i,j)個元素的模值。

由階段1 得到重構的基于混合連接結構的混合預編碼矩陣為

假設存在一個S ×S 的輔助酉矩陣Φ，使其對式(9)進行修正，那么有

如果ARFΦ 滿足恒模特性，則可令其為模擬預編碼矩陣，ΦHABB為數字預編碼矩陣。目標函數的優化問題就轉變為如何設計酉矩陣Φ，使ARFΦ 最大程度地近似于恒模的模擬預編碼矩陣FR,d，即

所以，目標函數重新寫成

首先固定FR,d，設計Φ，那么就不存在恒模約束，因此目標函數為

由于式(13)中的Φ 只與第二項有關，所以最小化式(13)只需要最大化第二項即可，即

由于

考慮利用Holder 不等式對其進一步處理得

模擬預編碼矩陣的設計，可以看作矩陣ARFΦ在模擬預編碼矩陣有效解空間的特殊歐幾里得投影[14]，即

綜上所述，可以總結出階段2 的算法步驟如算法2 所示。

算法2基于交替最小化的混合預編碼算法

輸入Fopt,ARF,ABB,S,D,N 和誤差因子ε

輸出FRF,FBB

4 仿真實驗與分析

為驗證本文混合連接型混合預編碼設計的正確性和有效性，采用Matlab 對MM-MIMO 系統的頻譜效率和能量效率進行仿真計算。仿真采用文獻[1]的S-V 信道模型，其中散射簇Ncl=5 個，每個簇包含傳播路徑Nray=10 條，到達角和離開角分別服從[-π,π]和的均勻分布，角度擴展為10°，天線陣列采用均勻線性陣列。仿真結果中給出的混合連接結構最優頻譜效率是指根據連續干擾消除得到功率受限且模擬部分不受恒模約束時的結果。當RF 鏈路數分別等于和大于數據流時，對文獻[5,9]以及本文算法的性能進行對比。仿真圖形中的每個仿真點是通過1 000 次獨立信道實驗所得結果求平均值得到的。

1)RF 鏈路等于數據流數的情況（DS=Ns）

表1 給出了當發射天線數Nt=128，仿真參數D=2、S=4、Ns=8、Nr=32、NRF=8、ε=10-4，SNR 在-30～30 dB 范圍內均勻選取7 個值時，得到的最優頻譜效率，以及文獻[9]和本文算法的頻譜效率。表2給出了保持D、S、Ns、Nr、NRF、ε參數不變，SNR=0 dB，發射天線數Nt=24,25,…,29時的頻譜效率。從表1可以看出，隨著信噪比的增加，系統的頻譜效率增加，本文算法比文獻[9]算法更接近最優頻譜效率，這是因為本文算法在階段1 能夠對最優混合預編碼矩陣進行誤差可以忽略的分解。從表2 仍然可以看出，在天線數不同的條件下，本文算法的頻譜效率略優于文獻[9]算法，并且隨著天線數的增加，系統的頻譜效率增加，這是因為毫米波和多天線結合使系統具有更好的波束成形增益和復用增益，表現出大規模MIMO 系統的優勢。

表1 不同信噪比下的頻譜效率

表2 不同發射天線數下的頻譜效率

圖2 為不同信噪比下4 種混合預編碼算法的頻譜效率，仿真參數為D=2、S=2、Nt=64、Nr=16、NRF=4、Ns=4、ε=10-4。從圖2 可以看出，隨著信噪比的增加，不同算法的頻譜效率增加，本文算法和文獻[9]算法的頻譜效率非常接近混合連接結構的最優性能，且顯著優于文獻[5]算法。本文算法采用混合連接結構，雖然硬件復雜度高于文獻[5]算法（本文算法需要128 個低能耗開關，文獻[5]采用部分連接結構僅需要64 個開關），但頻譜效率和能量效率都遠優于文獻[5]算法。此外，文獻[5]算法只適用于數據流數和RF 鏈路數相等的情況，應用場景受到較大限制。

圖2 不同信噪比下4 種預編碼算法頻譜效率

2)RF 鏈路大于數據流數的情況（DS ＞Ns）

取D=4、S=6、Ns=8，圖3 和圖4 分別為不同信噪比和不同發射天線數下文獻[9]算法和本文算法的頻譜效率。其中圖3 的其他仿真參數為Nt=64、Nr=32、NRF=24、ε=10-3。圖4 給出了保持D、S、Ns、Nt、NRF、ε參數不變，取SNR=0 dB、Nr=8 的情形。從圖3 可以看出，當數據流數小于RF 鏈路數時，隨著信噪比增加，本文算法更接近最優的頻譜效率，主要是因為本文算法分為2 個階段對最優混合預編碼矩陣進行分解，分解后的模擬和數字預編碼矩陣與最優混合預編碼矩陣之間只差一個誤差因子ε，誤差因子越小，階段1 的迭代次數越多，更加接近最優頻譜效率。從圖4 可以看出，當發射天線數大于50 以后，本文算法的頻譜效率明顯優于文獻[9]算法。例如，當發射天數為128 時，本文算法比文獻[9]算法有1.68 bit·(s·Hz)-1的增益。圖4還表明，隨著發射天線數目的增加，本文算法比文獻[9]算法的頻譜效率優勢逐漸加大，主要是因為隨著天線數的增加，分塊數目變大，文獻[9]算法的近似誤差相應增大。

圖3 不同信噪比下的頻譜效率

圖4 不同發射天線數下的頻譜效率

3)能量效率

各個器件的功率參考文獻[9]設置，即發射功率為10 W，每條RF 鏈的功率為100 mW，放大器的功率為100 mW，移相器的功率為10 mW。

圖5 為在不同RF 鏈路下不同連接結構的能量效率變化趨勢。隨著RF 鏈路的增加，基于混合連接結構的預編碼方案可以獲得比其他2 種連接結構的預編碼方案更高的能量效率。這是因為在混合連接方案中低能耗開關和其他少量耗能元件（反相器和移相器等）被使用。在部分連接方案中，僅由開關實現模擬預編碼，導致系統的總頻譜效率很低，從而無法實現理想的能量效率。全連接結構中，隨著RF 鏈路的增加，越接近全數字預編碼，系統頻譜效率相應增加，但其復雜的移相器存在巨大的能量消耗，所以全連接的能量效率也是不理想的。

圖5 不同連接結構的能量效率

4)信道估計誤差的敏感性

考慮到在實際工程應用場景中幾乎不可能得到理想的CSI，利用參考文獻[15-16]給出的非理想CSI 條件下的信道矩陣模型對本文算法進行性能評估，圖6 給出了不同信道估計誤差下預編碼器的頻譜效率，其中D=2、S=2、NRF=4、Ns=4、ε=10-4。由于毫米波信道具有稀疏性，理想信道矩陣H 的秩為NrayNcl，根據主成分分析理論，不理想信道矩陣Himp可近似為低秩矩陣[17-18]。對Himp進行奇異值分解，可以取主要的奇異值對Himp進行估計，所以對于Himp的準確度主要取決于收發天線數和ξ 值。當ξ 為常數時，增加天線數量有助于增強信道矩陣主分量，從而提高抗噪聲能力。當天線數量恒定時，增加ξ 的值有助于減少噪聲對信道矩陣主分量的影響。根據以上分析可知，發射機和接收機處的天線數量越大，對CSI 不準確估計的敏感度越低。圖6的仿真結果較好地擬合了上述分析結果。

圖6 信道估計誤差及天線數對頻譜效率的影響

5)本文算法復雜度分析

本文算法復雜度主要集中在階段1 和階段2 的奇異值分解。階段1 的復雜度分別為：更新c1的復雜度為O(S2N)，更新ABB的復雜度分別為O(SN2)，更新 c2的復雜度為O(S2N)，更新ARF的復雜度為O(SN2)。階段2 的復雜度為：利用信道右奇異值矩陣的前S 列來初始化模擬預編碼器，根據截斷奇異值分解[19]，復雜度為O(S2N)，由于S? N，因此每次迭代總的復雜度為O(T SN2)，其中T 為誤差因子取ε 時的迭代次數。文獻[9]算法中，每次迭代的復雜度主要集中在2 次矩陣求逆上，其復雜度為 O(SN2)。根據上面的分析可知，文獻[9]算法中每一次迭代涉及2 次矩陣求逆，本文算法在每一次迭代中涉及一次求逆和一次奇異值分解，本文算法復雜度略高于文獻[9]，但是處于同一個數量級上。

5 結束語

基于混合連接結構，本文根據連續干擾消除思想設計出模擬部分無恒模約束的最優混合預編碼矩陣，然后利用梯度下降理論和交替最小化方法得到模擬部分受恒模約束的最優混合預編碼矩陣。仿真結果表明，本文算法在模擬部分受恒模約束時，頻譜效率非常接近最優的混合連接結構混合預編碼。當RF 鏈路數大于數據流數時，隨著天線數的增加，這一優勢比文獻[9]算法更明顯。本文算法由于采用混合連接結構，具有能量效率遠高于全連接和部分連接結構的巨大優勢。在硬件復雜度方面，本文算法介于全連接和部分連接之間，雖然部分連接結構（如文獻[5]算法）硬件更簡單，但無論其能量效率還是頻譜效率都遠低于基于混合連接結構的本文算法。至于硬件復雜度更高的全連接結構，除頻譜效率略有優勢外，能量效率遠低于混合連接結構，這限制了其工程應用前景。本文算法的計算時間復雜度與文獻[9]算法處于相同數量級，對信道的估計誤差在天線數足夠大時不敏感，可適用場景比文獻[5,9]更廣。