氣動伺服彈性系統的自適應陷波器算法設計

王雨，崔茅，張公平，唐煒，＊

1.西北工業大學，陜西 西安 710129

2.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009

3.航空制導武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009

隨著空中目標性能的不斷提高，空空導彈的發展對射程、速度和機動性能提出了更高的要求，同時為適應四代機艙內高密度掛載的需求，新一代空空導彈外形設計趨于細長化[1]。有研究表明，當導彈長細比大于15時，其彈體的彈性特性凸顯，且會對飛行安全造成負面影響[2]。這是因為大長細比空空導彈的剛度降低，其彎曲振動頻率也隨之降低，在其發射和飛行過程中，彈體易受到推力及氣動力的影響而發生彈性振動。由于導彈的陀螺儀、加速度計等測量單元直接安裝在彈體上，彈體的彈性振動信號將經這些測量單元被引入控制回路，造成自動駕駛儀的控制信號產生額外輸出，進而導致伺服單元響應后進一步加劇彈性振動，嚴重時甚至會造成系統失穩，姿態或加速度跟蹤控制發散，引起彈體結構破壞[3]。

針對這一問題，George[4]將導彈的彈性模態看作一種未建模不確定性來設計魯棒控制器，實現對彈性信號抗擾動的姿態控制。然而魯棒控制器設計過程較為復雜，控制器階次一般較高，且控制性能對模型具有一定的依賴性。朱敬舉等[5]的研究表明，使用二階固定極點式陷波器可以有效消除導彈固定頻率的彈性振動信號對控制回路的影響。然而，我們知道在導彈的飛行過程中，隨著其所攜帶的燃料的不斷燃燒，彈體的整體質量和剛度分布將不斷降低，造成彈性振動頻率不斷下降，傳統的固定極點式陷波濾波器無法滿足在導彈的整個飛行過程中對彈性振動信號進行濾除。因此，迫切需要設計一種陷波中心頻率能夠隨振動頻率實時改變的自適應陷波器，對飛行中導彈的振動信號進行濾除，以保證控制系統的準確性和穩定性。Choong‐seok[6]基于Guass‐Newton算法對運載火箭的多階彈性模態進行估計，取得了理想的效果，但這種方法只適用于模態頻率變化緩慢的情況。陳光山等[7]利用消除記憶最小二乘法在線辨識彈性模態頻率，實現了對彈性振動信號的自適應濾波，但該方法對彈性振動頻率的辨識精度不高，不利于陷波器的設計。

本文利用最小均方（least Mean Square,LMS）算法對測量反饋信號進行迭代運算，實時估計彈性振動頻率，并將此估計頻率作為二階ⅠⅠR數字陷波器的陷波中心頻率的實時更新。仿真結果表明，設計的自適應陷波器能夠準確估計振動信號頻率并將其濾除，克服了固定極點式陷波器的缺點，保證了三回路自動駕駛儀對過載的準確跟蹤。

1 彈性導彈數學模型

由理論和實踐均可知，彈性導彈的一階彎曲振動模態對其氣動伺服彈性穩定性的影響最大[5]。因此，考慮彈性導彈在縱向方向上的剛體平動、剛體轉動和彈體一階彎曲振動的彈性導彈運動方程可表示為：

式中：q為廣義坐標矩陣；q1，q2，q3分別為剛體平動、剛體轉動和一階彎曲運動的廣義坐標；M為廣義質量矩陣；m1，m2，m3分別為彈體質量、彈體轉動慣量、一階彎曲振動的廣義質量；K為廣義剛度矩陣；Q為廣義氣動力矩陣。

由于彈體的彈性特性，因此，考慮彈體彎曲振動引起的非定常氣動力，這里主要考慮由彈體產生的廣義非定常氣動力Qα和由舵面產生的廣義非定常氣動力Qd，即：

Q=Qα+Qd（2)

本文采用氣動導數法計算廣義非定常氣動力。基于定常流動的計算公式，假設彈體局部迎角α等于合成速度矢量與彈體縱向軸線之間的瞬時夾角，則此單位長度彈體的升力為：

式中：ρ為大氣密度；V為導彈飛行速度；S為氣動參考面積；(x)為彈體任一點x處關于迎角的升力系數導數；w(x,t)為彈體任一點x處的縱向位移。

同理，舵面壓心處的升力為：

式中：xe為舵面壓心的位置；為舵面壓心處關于迎角的升力系數；為舵面壓心處關于舵偏δ的升力系數；wd(xe,t)為舵面壓心的縱向位移。

本文將彈體沿彈體縱向軸線看作一段，則有：

式中：f1(x)，f2(x)，f3(x)分別為剛體平動、轉動、一階彎曲振動的模態振型；x1為全彈彈體壓心位置；xr為舵面轉動軸的位置。

根據廣義力的定義，有：

2 彈性振動信號頻率的估計與跟蹤

2.1 頻率估計

考慮如下二階無限脈沖響應（ⅠⅠR）陷波器[6]：

式中：ω=2πf/fs為陷波角頻率，f為陷波頻率，fs為采樣頻率，參數r決定陷波器帶寬。

由于上述陷波器的零點位于z平面單位圓上，因此其陷波深度為無限深。

考慮一組疊加了一階彈性振動信號的導彈姿態測量信號x(n)，如果忽略噪聲的影響，一旦陷波器的陷波頻率ω收斂到一階彈性振動信號的角頻率ω0（ω0=2πf0/fs），則這組測量信號通過該陷波濾波器后的輸出y(n)≈0，即將測量信號通過不同陷波角頻率（在區間[0,π]上取）的陷波濾波器，陷波器的輸出的最小功率處所對應的ω即為估計的振動信號角頻率。為此，引入均方誤差（Mean Square Error,MSE）函數[7]：

通過求得E[y2(n)]在區間[0,π]上的極小值所對應的角頻率，即可獲得所估計的振動頻率。區間[0,π]取的間隙越小，則最后估計的振動頻率越準確。

圖1展示了一個使用該算法進行頻率估計的例子：取一組振動信號頻率為90Hz、采樣頻率為1024Hz、信噪比為-20dB的測量信號的40個采樣數據，將[0,π]等分為50個點，取陷波器參數r=0.95。均方誤差函數在ω=0.577rad（f=91.84Hz）處取得極小值，因此，根據該組測量數據所估計的振動信號頻率為91.84Hz。

圖1 均方誤差函數隨角頻率的變化Fig.1 Mean square error function varying with radians

式中：μ為LMS算法收斂步長，且μ應當是一個很小的值（μ?1）以保證算法的收斂性。

在振動信號的精確角頻率處，MSE函數具有最大的偏差率，因此，利用LMS算法，不精確的角頻率初值最終將收斂至MSE函數的全局最小值。

2.2 頻率跟蹤

導彈的彈性振動頻率初值ω0可以通過2.1節中的頻率估計算法進行估計，也可以由地面測試獲得，并且該初值將用于下面的頻率跟蹤。

獲得導彈不精確的振動頻率初值以后，我們使用基于最小均方Least Mean Square（LMS）算法的角頻率迭代獲得期望的振動頻率精確值。取式（9）的導數，并令其為零，可以得到：

其中，β(n)為梯度項，定義為：

3 控制系統設計

導彈姿態/過載控制系統的作用是在導彈飛行過程中實現導彈過載/姿態的快速與穩定跟蹤，并實現閉環系統一定的魯棒性能。傳統的導彈控制系統一般是基于導彈的剛體模型進行設計，而忽視了彈性振動的影響。在工程上，一般根據彈性振動頻率設計陷波濾波器將振動信號濾除，避免其惡化控制系統的性能。針對彈性導彈的閉環控制系統框圖如圖2所示。

圖2 彈性導彈閉環系統框圖Fig.2 Flexible missile closed-loop block diagram

3.1 三回路自動駕駛儀設計

三回路自動駕駛儀作為一種經典的空空導彈過載駕駛儀，因其良好的控制性能和魯棒性，得到了廣泛的應用。此外，由于導彈飛行過程中迎角不能直接通過儀表進行測量，需要通過角速率陀螺儀或加速度計的測量信號近似計算得到，為解決近似迎角反饋而給傳統三回路自動駕駛儀所帶來的靜差，偽迎角自動駕駛儀被提出[8]。三回路自動駕駛儀的本質是PⅠ校正網絡，其原理主要是在低頻處提供較大的增益，使閉環系統的增益趨近于1，消除控制回路的靜差。

將第1節所述的彈性導彈數學模型進行的小擾動線性化，推導出剛性導彈和彈性導彈的俯仰運動模型。基于剛性導彈線性模型，我們設計了偽迎角三回路自動駕駛儀，其原理框圖如圖3所示。

圖3 偽迎角三回路駕駛儀原理圖Fig.3 Schematic diagram of three-loop autopilot with pseudo attack angle feedback

由圖3可知，偽迎角三回路駕駛儀由加速度反饋回路、偽迎角回路、阻尼回路構成。本文中，為保證閉環系統較快的響應速度和一定的魯棒性，圖3中三回路自動駕駛儀的4個參數取值分別為：

3.2 自適應陷波濾波器設計

傳統陷波濾波器可以衰減某一固定頻率處振動，削弱彈性結構與伺服機構之間的耦合關系，因而被廣泛應用于飛行器氣動伺服彈性增穩設計中。但是這種陷波器極點固定，直接應用于空空導彈這類飛行過程中燃料質量、溫度會發生較大改變而造成其彈性特性變化的飛行器并不合適。為此，基于本文第2節所述的信號頻率的估計與跟蹤算法，設計了自適應陷波濾波器，其原理如圖4所示。利用加速度計的測量反饋信號，對導彈實時的彈性振動進行頻率估計與跟蹤，并將該估計頻率作為新的陷波器下陷頻率。

本文中，濾波器采用式（8）所述的二階離散陷波濾波器，陷波器帶寬參數取值為r=0.999，采樣頻率為fs=1024Hz，陷波器下陷角頻率ω隨彈性振動頻率估計跟蹤算法的實時更新而變化；此外，式（10）所描述的頻率跟蹤算法的收斂步長取值為μ=0.0001。

圖4 自適應陷波濾波器原理Fig.4 Schematic diagram of adaptive notch filter

4 仿真驗證

為驗證本文所提算法的有效性，本文對仿真做如下假設：設通過地面測試獲得的彈性振動信號為f0=25Hz，即將本節所述的固定極點式陷波器的下陷角頻率和自適應陷波器的下陷角頻率均設置為ω0=0.1534rad。由于導彈飛行過程中燃料的燃燒，導彈質量變輕，造成導彈彎曲振動頻率變小。

按照圖2所示的連接關系構造仿真，將陷波器串入反饋回路，實現對導彈一階彎曲振動信號的濾除，防止其被引入控制回路，惡化跟蹤控制效果。此外，仿真中舵機的特性利用式（11）的三階線性模型來描述，即舵機帶寬為33.2Hz，并且將舵機的響應幅值和響應速度限制在[-0.35，0.35]和[-5.23，5.23]。仿真中設置的過載指令為20m/s2。

將參數如前述的固定極點式陷波器串入控制回路時，閉環系統的控制性能如圖5所示。由于導彈彎曲振動信號降低，根據地面測試數據所設計的固定極點式陷波濾波器的下陷頻率與實際導彈振動頻率相差較大，固定極點式陷波器失去了其濾除掉振動噪聲的作用。振動信息被引入到控制回路，造成控制器輸出了額外的控制信號，舵機偏轉產生了附加的氣動力，從而影響了彈體的氣動特性，彈性振動加劇，如此往復，導致了實際的縱向加速度跟蹤響應逐漸發散，但由于舵機的物理限制，導致最終的響應在加速度為20m/s2上下進行等幅振蕩。

圖5 反饋回路串入固定極點式陷波器的控制效果Fig.5 The tracking performance with offline notch filter

將仿真中的固定極點式陷波器換為第3節中所設計的自適應陷波器，此時過載的跟蹤控制指令如圖6所示，頻率跟蹤器的實時跟蹤情況如圖7所示。從圖6可以看出，串入自適應陷波器的閉環系統的加速度跟蹤效果一開始仍然存在一定程度的抖動，但大約2s后，控制效果趨于平滑，并保持在20m/s2。結合圖7分析可得，這是由于剛開始時由于導彈真實振動頻率與初始估計頻率相差較遠，而本文中的頻率估計跟蹤算法是通過逐次迭代更新來逼近真實振動頻率的，該算法大約在1.9s處實現了對導彈振動頻率的準確估計，從而根據該頻率估計器估計頻率設計的自適應陷波器準確地濾除了導彈的振動噪聲信號，閉環系統實現了對過載指令的準確跟蹤[9-11]。

圖6 反饋回路串入自適應陷波器的控制效果Fig.6 The tracking performance with adaptive notch filter

圖7 彈性振動頻率的跟蹤Fig.7 The frequency tracking of the bending vibration

5 結論

本文針對大長細比空空導彈凸顯的氣動伺服彈性問題設計了一種可行的自適應陷波器，解決了導彈飛行過程中彈性振動變化而造成的固定極點式陷波濾波器失效的問題。基于LMS算法的迭代過程對振動信號頻率進行實時估計，并且算法迭代過程中只有一個自適應參數，迭代過程快速且估計頻率準確，因此，基于該算法的自適應陷波器在導彈過載跟蹤控制中具有很好的仿真效果。