GPS高程擬合方法及精度分析

陸治兵 高波

摘? 要：以GPS測(cè)量的大地高為基礎(chǔ)，利用似大地水準(zhǔn)面獲得正常高，是一種創(chuàng)新的高程測(cè)量方法，而GPS擬合方法是否恰當(dāng)，擬合后的精度能否滿(mǎn)足要求，直接關(guān)系到GPS高程測(cè)量方式在實(shí)際工程中的應(yīng)用。通過(guò)工程實(shí)例研究了多項(xiàng)式擬合、多面函數(shù)擬合、克里金插值法等GPS高程擬合方式的差異性。通過(guò)對(duì)精度分析，得出各種擬合方式的優(yōu)劣勢(shì)，以利于在實(shí)際生產(chǎn)中選取合適的擬合方法。

關(guān)鍵詞：GPS高程擬合? 多項(xiàng)式擬合? 多面函數(shù)? 克里金插值? 精度

中圖分類(lèi)號(hào)：P228 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）01（b）-0046-05

Abstract： It was an innovative elevation measurement method which obtained Normal Height by using quasi-geoid，based on the GPS geodetic height， but the GPS elevation fitting method and fitting precision of the method was directly related to the application of GPS elevation measurement method in practical projects. The differences of the GPS elevation fitting method such as polynomial fitting， multiple-Surface function fitting， Kriging interpolation method were studied in engineering examples. The superiority and inferiority of the GPS elevation fitting method which helped to choose the optimal fitting method in the actual production was obtained by accuracy analysis.

Key Words： GPS elevation fitting; Polynomial fitting; Multiple-Surfacefunction fitting; Kriging interpolation; Accuracy

全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)（GPS）以其全天候、高精度、自動(dòng)化、高效益等特點(diǎn)已成功應(yīng)用于大地測(cè)量、工程測(cè)量，其在大范圍的高精度測(cè)量控制網(wǎng)、城市控制網(wǎng)、工程控制網(wǎng)、測(cè)圖控制網(wǎng)中發(fā)揮極為重要的作用，逐步撼動(dòng)著常規(guī)測(cè)量技術(shù)的地地位，這也包括了幾何水準(zhǔn)測(cè)量。

在不是強(qiáng)制需要正常高的項(xiàng)目中，GPS已能夠利用似大地水準(zhǔn)面（確定高程異常）獲得正常高替代水準(zhǔn)測(cè)量任務(wù)完成工程測(cè)量或科學(xué)研討任務(wù)，如地形沉降監(jiān)測(cè)、災(zāi)害危害分析、道路運(yùn)輸控制等[1]。如何利用有效控制點(diǎn)布設(shè)、恰當(dāng)?shù)母叱虜M合方式把GPS大地高轉(zhuǎn)換為滿(mǎn)足工程需求精度正常高，是大家關(guān)注的要點(diǎn)問(wèn)題。

1? GPS高程擬合方法

在一定的區(qū)域中，首先應(yīng)存在一部分已知正常高的已知點(diǎn)，再采取GPS聯(lián)測(cè)的方式獲取其大地高，通過(guò)相同點(diǎn)的大地高及正常高獲得高程異常。若測(cè)區(qū)中具有數(shù)量足夠多的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，且點(diǎn)位分布均勻，就可根據(jù)已測(cè)點(diǎn)上的高程異常值構(gòu)建某種曲面來(lái)逼近測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面以推算其他待測(cè)點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而獲得正常高。

1.1 多項(xiàng)式法

1.2 多面函數(shù)法

基本思想：任何不規(guī)則連續(xù)曲面，總能用N個(gè)有規(guī)律曲面的數(shù)學(xué)表面的集合來(lái)疊加逼近表達(dá)。

1.3 克里金插值法

克里金插值的原理是概率統(tǒng)計(jì)中無(wú)偏、最小方差條件。假設(shè)在研究區(qū)域化變量Z（x），待插值點(diǎn)為x0，樣本點(diǎn)記為xi（i=1，2，…，n），在點(diǎn)xi處的屬性值記為Z（xi），則待插值點(diǎn)x0處的屬性值是各個(gè)樣本點(diǎn)屬性值的加權(quán)和，記為式（13）。

（13）

其中，λi為待定權(quán)系數(shù)。

根據(jù)無(wú)偏條件得到權(quán)系數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式∑ni=1λi=1，方差最小條件能夠得到求解權(quán)系數(shù)的方程組。

根據(jù)克里金插值的原理看出，插值部分分為兩個(gè)步驟：第一步為根據(jù)對(duì)插值點(diǎn)的關(guān)系程度確定待插值點(diǎn)周?chē)囊阎c(diǎn)。第二部為獲得克里金方程組，依方程組解算出權(quán)重系數(shù)值，得到待插值點(diǎn)屬性值。

（1）鄰域搜索有效點(diǎn)。

現(xiàn)有的鄰域搜索方法主要是建立空間橢球體。針對(duì)每個(gè)待插值點(diǎn)，以它的空間坐標(biāo)為中心，確定（x，y，z）方向的半徑，以建立一個(gè)橢球體。遍歷每個(gè)已知點(diǎn)，若已知點(diǎn)落在該橢球體內(nèi)，將其標(biāo)識(shí)為有效點(diǎn)，否則，放棄該點(diǎn)。建立橢球體的參數(shù)主要有：（x，y，z）軸向的半徑以及己知點(diǎn)個(gè)數(shù)、搜索方向。

空間橢球體3個(gè)軸向的半徑主要與變差函數(shù)的變程、地質(zhì)數(shù)據(jù)特征、已知點(diǎn)分布情況等有關(guān)。根據(jù)所需己知點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少，橢球體是可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)縮放的，當(dāng)所需的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)很少時(shí)，可以將橢球體進(jìn)行收縮;當(dāng)需要較多數(shù)量的已知點(diǎn)時(shí)，將橢球體放大。

（2）克里金方程組。

2? GPS擬合水準(zhǔn)精度評(píng)定

GPS擬合水準(zhǔn)精度進(jìn)行評(píng)定時(shí)，為了盡可能準(zhǔn)確的評(píng)定GPS擬合成果精度，應(yīng)盡量布設(shè)GPS點(diǎn)與幾何水準(zhǔn)進(jìn)行聯(lián)測(cè)，確保水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)起點(diǎn)覆蓋整個(gè)網(wǎng)絡(luò)并分布均勻，以便有效的開(kāi)展外部檢核。

①按照規(guī)范要求利用檢核點(diǎn)和己知點(diǎn)之間的距離L（km）求出檢核點(diǎn)擬合殘差的限值，依據(jù)限值來(lái)評(píng)定水準(zhǔn)擬合的外符合精度情況。

②以GPS水準(zhǔn)測(cè)量方式求出GPS點(diǎn)間的正常高程差，在己知點(diǎn)間形成附合或閉合高程導(dǎo)線(xiàn)，并對(duì)比分析閉合差與限差，從而評(píng)定GPS水準(zhǔn)精度。

3? 項(xiàng)目實(shí)例

3.1 工程概況

結(jié)合工程實(shí)例利用一測(cè)區(qū)已有成果資料對(duì)上述GPS擬合水準(zhǔn)方法進(jìn)行分析，論證上述方法的可行性，對(duì)不同GPS擬合方法的成果精度進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。實(shí)例測(cè)區(qū)地形復(fù)雜（見(jiàn)圖1），北部區(qū)域地形類(lèi)別為山區(qū)，其高差起伏較大。利用測(cè)區(qū)C級(jí)GPS觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)約束平差獲得觀(guān)測(cè)點(diǎn)平面成果，觀(guān)測(cè)點(diǎn)高程成果為二等水準(zhǔn)測(cè)量獲得，平面及高程成果數(shù)據(jù)精度符合本文擬合精度要求。

3.2 實(shí)例分析

3.2.1 多項(xiàng)式擬合

測(cè)區(qū)部分區(qū)域?yàn)樯絽^(qū)，此次多項(xiàng)式擬合方法，分別采用已知點(diǎn)12點(diǎn)和17點(diǎn)分別擬合二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，多項(xiàng)式擬合模型的內(nèi)符合和外符合精度統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

從1表可以看出，選取已知點(diǎn)的數(shù)量不同，多項(xiàng)式階數(shù)的選取不同，均導(dǎo)致成果精度不一樣。（1）12點(diǎn)擬合比17點(diǎn)擬合的內(nèi)符合精度高，因?yàn)閿M合的已知點(diǎn)選取較少，用來(lái)約束平差的方程較少;（2）從外符合精度來(lái)看，二次多項(xiàng)式精度總體優(yōu)于三次多項(xiàng)式成果;（3）17點(diǎn)擬合時(shí)相對(duì)于12點(diǎn)擬合，其內(nèi)符合精度方面二次多項(xiàng)式變化不大，三次多項(xiàng)式卻顯著降低，但外符合精度基本一樣。結(jié)合算例，該區(qū)域使用二次多項(xiàng)式擬合精度更高，選取已知點(diǎn)17點(diǎn)時(shí)擬合效果更佳。

3.2.2 多面函數(shù)擬合

此次多面函數(shù)擬合方法分別采用12點(diǎn)和17點(diǎn)構(gòu)建核函數(shù)，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)試算，最終12點(diǎn)的核函數(shù)平滑因子定為1.4×109，17點(diǎn)的核函數(shù)模型平滑因子定為1.14×1010，獲得模型的外符合精度見(jiàn)表2。

從表2看出，外符合精度方面17個(gè)已知點(diǎn)擬合明顯優(yōu)于12個(gè)已知點(diǎn)擬合，亦優(yōu)于多項(xiàng)式擬合結(jié)果。相對(duì)于多項(xiàng)式擬合方法，多面函數(shù)擬合的的離散程度更小，精度更高，更接近真值。

3.2.3 克里金插值法

該算例中采用的是普通克里金方法，理論變差函數(shù)基本模型分別采用線(xiàn)性模型和高斯模型，分別采用12點(diǎn)和17點(diǎn)擬合實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)試算，線(xiàn)性模型和高斯模型分別采用12點(diǎn)和17點(diǎn)擬合的外符合精度統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3。

從表3可以看出，采用克里金插值法，理論變差函數(shù)基本模型分別采用線(xiàn)性模型和高斯模型，精度相差不大;分別采用12點(diǎn)和17點(diǎn)擬合實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)，擬合函數(shù)模型的外符合精度比采用多面函數(shù)模型時(shí)精度略有提高。

3.2.4 精度評(píng)定

依據(jù)規(guī)范限差指標(biāo)要求，利用結(jié)合檢核點(diǎn)與最近已知點(diǎn)的路線(xiàn)長(zhǎng)，獲得檢核點(diǎn)擬合殘差的限值，與觀(guān)測(cè)點(diǎn)水準(zhǔn)高程成果對(duì)比，具體情況見(jiàn)圖2、圖3。

結(jié)合表1～表3與圖2、圖3反映的各點(diǎn)擬合精度可以看出以下方面。

（1）采用多項(xiàng)式擬合方法僅能滿(mǎn)足等外水準(zhǔn)精度要求，但難以保證滿(mǎn)足四等水準(zhǔn)的精度要求。

（2）多面函數(shù)擬合方法擬合精度相較多項(xiàng)式擬合有提高，采用17點(diǎn)進(jìn)行擬合時(shí)基本能夠滿(mǎn)足四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求。

（3）采用克里金插值法擬合的精度比多面函數(shù)有進(jìn)一步提高，完全可以滿(mǎn)足四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求。

3? 結(jié)語(yǔ)

該文結(jié)合工程案例，對(duì)3種GPS高程擬合方法陳國(guó)進(jìn)行對(duì)比分析，得到的結(jié)論如下。

（1）多項(xiàng)式擬合方法中隨著階數(shù)的增加，內(nèi)符合精度顯著提高，但外符合精度變化不大，因?yàn)殡S著階數(shù)的增加用于約束模型的條件方程會(huì)減少。實(shí)例中無(wú)論是二次和三次多項(xiàng)式擬合方法，其結(jié)果均達(dá)不到四等水準(zhǔn)的精度要求，但可以達(dá)到普通水準(zhǔn)測(cè)量精度要求。

（2）地形復(fù)雜的測(cè)區(qū)可優(yōu)先選用多面函數(shù)擬合法，能反映出測(cè)區(qū)內(nèi)部的高低地形變化程度。但是其無(wú)法提取直接確定合適的光滑因子制約了其效率，要通過(guò)試驗(yàn)才能獲得比較理想的光滑因子。選用相同的擬合點(diǎn)的核函數(shù)，光滑因子越大有利于擬合效果的改善，但并不是光滑因子無(wú)限大，擬合的殘差就趨近于零，當(dāng)超過(guò)某極限值時(shí)，擬合殘差反而會(huì)增大。隨著擬合點(diǎn)的不同和核函數(shù)的不同，最佳擬合的光滑因子的值也是不同的。該文中選用17個(gè)點(diǎn)進(jìn)行多面函數(shù)擬合時(shí)，基本可以達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求。

（3）克里金插值法函數(shù)模型相對(duì)于傳統(tǒng)的、單純的函數(shù)模型，在理論上更為完善嚴(yán)密，也改善了高程擬合的精度，該例中用12點(diǎn)和17點(diǎn)擬合精度穩(wěn)定，都能達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量精度的要求。

（4）選用合適的GPS/水準(zhǔn)擬合模型對(duì)GPS高程進(jìn)行處理，其高程精度能滿(mǎn)足等外水準(zhǔn)測(cè)量的精度指標(biāo)，甚至可以達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量精度要求。

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