一種改進(jìn)的加權(quán)最小二乘無(wú)網(wǎng)格法

張可庠 高春磊

摘? 要：目前現(xiàn)有的無(wú)網(wǎng)格方法因?yàn)椴灰蕾嚲W(wǎng)格的劃分，所以在處理一些傳統(tǒng)有限元方法中需要網(wǎng)格重構(gòu)的問題上具有很大的優(yōu)勢(shì)。在基于Galerkin法建立其的弱勢(shì)控制方程需要進(jìn)行積分，運(yùn)算量大。該文結(jié)合加權(quán)最小二乘無(wú)網(wǎng)格法，引入具有插值特性的Shephard形函數(shù)，推導(dǎo)出一種改進(jìn)的加權(quán)最小二乘無(wú)網(wǎng)格法，使其能夠方便地添加本質(zhì)邊界條件，并且提高了精度。最后編制了程序提供了一個(gè)算例驗(yàn)證該算法。

關(guān)鍵詞：加權(quán)最小二乘法? Shephard形函數(shù)? 無(wú)網(wǎng)格法

中圖分類號(hào)：TK124 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）01（b）-0206-04

在處理數(shù)值仿真的問題上，無(wú)網(wǎng)格方法是用節(jié)點(diǎn)對(duì)求解域離散，相比有限元法利用單元網(wǎng)格進(jìn)行離散，在處理自適應(yīng)分析、大變形和裂紋擴(kuò)展等在傳統(tǒng)有限元中需要網(wǎng)格重構(gòu)的問題上，有著靈活有效等優(yōu)點(diǎn)。最近十多年來(lái)，在計(jì)算力學(xué)界和各相關(guān)領(lǐng)域得到了較大的關(guān)注和研究[1-2]。

目前現(xiàn)有的無(wú)網(wǎng)格方法的分類主要根據(jù)其使用的形函數(shù)不同進(jìn)行分類，主要包括[3-8]：滑動(dòng)最小二乘法（MLS）近似的無(wú)網(wǎng)格方法、核函數(shù)近似的無(wú)網(wǎng)格方法（SPH、RKPM）、點(diǎn)插值近似的無(wú)網(wǎng)格方法（PIM、RPIM）、自然鄰接點(diǎn)插值近似的無(wú)網(wǎng)格方法（NEM、NNM）。上述方法中，大多數(shù)是基于Galerkin法建立弱式的控制方程，需要利用各節(jié)點(diǎn)的子域進(jìn)行積分，由于這些近似函數(shù)都不是多項(xiàng)式，因此需要使用高階高斯積分，計(jì)算量較大。針對(duì)上述問題，清華大學(xué)張雄教授提出了一種加權(quán)最小二乘法[9]，是利用最小二乘法系統(tǒng)建立變分原理，將控制方程殘差在所有節(jié)點(diǎn)上（包括邊界點(diǎn)）予以消除，具有易于編程實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量小、結(jié)果穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。但其使用的形函數(shù)是基于最小二乘法建立起來(lái)的形函數(shù)，不具備有插值特性，在施加本質(zhì)邊界條件時(shí)候使用罰函數(shù)法，并不是精確滿足的，因此在計(jì)算中容易出現(xiàn)數(shù)值振蕩現(xiàn)象[1]。

該文引入一種新發(fā)展的無(wú)網(wǎng)格Shepard-最小二乘（LMSLS）插值方法[10]，推導(dǎo)出一種改進(jìn)的加權(quán)最小二乘法。新的LMSLS其形函數(shù)滿足Kronecker條件，可以直接施加邊界條件，能夠精確滿足，基于這種形函數(shù)導(dǎo)出的加權(quán)最小二乘法可以克服或者減少數(shù)值振蕩現(xiàn)象，提高精度，同時(shí)具備傳統(tǒng)加權(quán)最小二乘法計(jì)算量小、易于編程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。最后給出算例驗(yàn)證該方法的有效性。

1? LMSLS插值近似函數(shù)

Shepard-最小二乘（LMSLS）插值技術(shù)是基于單位分解的概念（Partion of Unity）[11]。由最小二乘形函數(shù)的基礎(chǔ)再運(yùn)用Shepard形函數(shù)做加權(quán)，使其具有delta屬性及精確再生基函數(shù)能力。詳細(xì)的推導(dǎo)證明過(guò)程相關(guān)文獻(xiàn)[10，12，13]中給出了敘述。下面對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程做個(gè)簡(jiǎn)單的敘述。

如圖1所示，對(duì)任意分析區(qū)域Ω離散成N個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)其中任意節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)為xi，影響半徑為dmi，節(jié)點(diǎn)i的影響范圍內(nèi)有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，由傳統(tǒng)的MLS形函數(shù)方法，得到位移近視函數(shù)，以x方向位移u（x）為例，可得如下定義：

上述加權(quán)最小二乘法類似文獻(xiàn)[9]傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法的推導(dǎo)，因?yàn)槠湫魏瘮?shù)具備Kronecker條件，因此不用罰函數(shù)法添加本質(zhì)邊界條件，可以在邊界條件上直接相等。

3? 計(jì)算算例

該文以文獻(xiàn)[1]中加權(quán)最小二乘法算例為驗(yàn)證，比較改進(jìn)后的加權(quán)最小二乘法與傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法做對(duì)比。

以一維受線性分布載荷作用桿模型為例，如圖2所示，桿L為單位桿，E=1，v=0.3，求解受線性分布載荷情況下桿的位移與應(yīng)力。采取均勻分布的11給節(jié)點(diǎn)，dmi為0.1。圖3為計(jì)算桿的位移與應(yīng)力結(jié)果，該算例的解析表達(dá)式為：

計(jì)算得出，傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法LuMSL=0.98LuMSL=1.28，而改進(jìn)的加權(quán)最小二乘法LuLMSLS=0.97，LsLMSLS=1.26。由于算例只是一維簡(jiǎn)單算例，精確度提高不明顯，但還是有所提高。根據(jù)誤差分析原理，可以推導(dǎo)出，再處理二維問題或三維問題，改進(jìn)的加權(quán)最小二乘法精度能得到明顯提高。

4? 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)弱勢(shì)無(wú)網(wǎng)格法建立起的計(jì)算方法計(jì)算量大，而配點(diǎn)法雖然計(jì)算量下，但精度不高，且數(shù)值穩(wěn)定性不好等缺點(diǎn)，結(jié)合傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法，提出了一種改進(jìn)的加權(quán)最小二乘法。通過(guò)一維算例驗(yàn)證，改進(jìn)的加權(quán)最小二乘法精度較傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法高。由于改進(jìn)方法的形函數(shù)是由傳統(tǒng)方法的形函數(shù)推導(dǎo)而來(lái)，其在程序上實(shí)現(xiàn)容易，兼顧了傳統(tǒng)加權(quán)最小二乘法計(jì)算量小、易于編程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)提高了計(jì)算精度。

參考文獻(xiàn)

[1] 張雄，劉巖.無(wú)網(wǎng)格方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[2] 李九紅，程玉民.無(wú)網(wǎng)格方法的研究進(jìn)展與展望[J].力學(xué)季刊，2006（1）：143-152.

[3] P. Lancaster，K.Salkauskas. Surfaces generated by moving least squares methods[J].Mathematics of computation，1981（37）：141-155.

[4] 張延軍，王恩志.新型無(wú)網(wǎng)格法（IMLS方形域法）的研究及其應(yīng)用[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2006（7）：886-890.

[5] Liu GR，Gu YT.Comparisons of two meshfree local point interpolation method for structure analyses[J].Computational Mechanics，2002（29）：107-121.

[6] 龍述堯.彈性力學(xué)問題的局部Petrov-Galerkin方法[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2001（4）：508-518.

[7] 李樹忱，程玉民，李術(shù)才.擴(kuò)展的無(wú)網(wǎng)格流形方法[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005（12）：2065-2073.

[8] A. Galavís，D.González，E.Cueto.A natural neighbour Lagrange-Galerkin method for the simulation of Newtonian and Oldroyd‐B free surface flows[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids，2012，70（7）：860-885.

[9] 張雄，胡煒，潘小飛，等.加權(quán)最小二乘無(wú)網(wǎng)格法[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2003（4）：425-431.

[10] Y.C.Cai，H.H.Zhu.A Local Meshless Shepard and Least Square Interpolation Method Based on Local Weak Form[J].Computer Modeling in Engineering & Sciences，2008，34（2）：179-204.

[11] S.Rajendran，B.R.Zhang.A“FE-meshfree”QUAD4? element based on partition of unity[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeri-ng，2007，197（1）：128-147.

[12] 李武，姚文娟，蔡永昌.Shepard基函數(shù)的無(wú)網(wǎng)格方法[J].工程力學(xué)，2009，26（4）：92-97.

[13] R.L.Taylor，E.Onate，S.Idelsohn，et al.Afinite point method in computational mechanics. applications to convective transport and fluid flow[J].International Journal for Numerical Methods in Engineeri-ng，1996，39（22）：3839-3866.