基于“直覺目標”實現的初中數學教學
——以主題“菱形”概念起始課為例

■姜先亮

數學直覺是人腦對數學結構關系的“領悟+洞察”，往往產生于經驗、觀察、歸納、類比和聯想，有時以心理學上的“頓悟”形式出現，是認識過程的一種飛躍形式。“經驗→觀察”是一種感性概括，“歸納→類比”是一種理性概括，“聯想”是一種變式概括。這些直覺思維的選擇，是通過“做數學”“說數學”和“想數學”實現的，有助于概念的獲得、保持與遷移，感知概念的本源性和存在性，實現直覺思維目標和發展幾何直觀等關鍵素養。

本文以“鄉村培育站教師‘演課活動’”為載體，以主題“‘菱形’概念起始課”為例，展示“直覺目標”的實現方式，目的是提升鄉村教師的教學力和育人力。此次演課活動中，執教者都關注“直覺目標”的培養，化“抽象”為“具體”，發展學生的直觀想象素養。

一、感性概括，在“做數學”中實現直覺思維目標

數學概括是直覺思維的表現形式，是“通過對感性材料的分析、綜合、比較、抽象、概括等深度加工”來實現的。感性概括是直覺概括的替代概念，是在直觀基礎上進行的一種思維活動，是“直觀的懂”的表現形式。數學課堂教學中的描述、說明、舉例都是一種感性概括。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱課標）指出，借助幾何直觀可以把復雜問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。筆者把直覺思維目標理解為“幾何直觀”支配的感性概括。這就要求，教師在教學設計層面，基于“幾何直觀”，讓學生在感性概括中，實現“復雜問題→簡單問題”“不確定思路→思路的確定性→結果的正確預測”，并在直觀“做數學”的基礎上，將“抽象”轉化為“具體”，將“冰冷思維”轉化為“火熱思考”。數學課堂教學中的“折紙”“畫圖”都是感性概括的先行組織行為，是“做數學”的基本思維方式，有助于直覺思維的選擇和進入“知識獲得”的積極思維狀態。

在“菱形概念”發生模塊，執教者就是基于“感性概括”，讓學生在“做數學”中，感知“事實概念”的本質屬性。

具體感性概括過程如下：

師：（多媒體演示）學校大門、三菱汽車以及生活中的“菱形衣架”，都包含同一個圖形——菱形，今天我們就來學習菱形。

設計意圖：這一設計有助于學生直觀感知“菱形的‘長相’”，形成直覺思維產生式，體驗數學是對生活的感性概括，提升數學的感性價值。

師：同學們，請思考以下問題，并畫出圖形，說明你的思考過程。

問題1：我們是怎樣通過改變一個平行四邊形的內角得到矩形的？如何改變一個平行四邊形的邊的數量關系，使其成為菱形？

生1：（演示改變“牙膏盒”的截口形狀）有一個角是直角的平行四邊形是矩形。將平行四邊形的一個內角變為90°，就有“平行四邊形→矩形”。

師：類比矩形概念的發生過程，那么菱形的原始概念是什么？

學生通過改變“牙膏盒截口”形狀，即改變平行四邊形的一組“鄰邊”的數量關系，使得一組鄰邊呈現“相等”的樣態。學生在感性概括的基礎上，抽象出菱形概念的本質屬性，即有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

設計意圖：動態演示，旨在讓學生基于觀察學習，直觀感知菱形的形象，形成感性概括的心理基礎；改變“牙膏盒截口形狀”是“做數學”行為，有助于學生直覺層面的感性概括，感受產生“鄰邊相等”是平行四邊形轉化為菱形的思維條件。

心理學研究表明，人的學習83%通過視覺，11%通過聽覺。這就是執教者借助“實物”及其“圖片”，在“做數學”直覺參與下，讓概念在感性概括中發生的本體意義。

二、理性概括，在“說數學”中實現直覺思維目標

理性概括起于“幾何直觀”，終于“直覺思維目標”的具體實現。在課標看來，幾何直觀可以幫助學生“直觀地”理解數學，“數學地”認識直觀思維，在整個數學學習過程中發揮著不可替代的作用。幾何直觀之所以重要，是因為它能為數學抽象準備思維經驗，能為理性概括提供思維模型。數學課堂教學中的“歸納、概括、總結”都是直觀思維支配下的一種理性概括，是通過“說數學”的理性形式展現的，有助于學生將“感性思維”上升到“理性思維”，將“感性概括”上升到“理性概括”，進而發展理性直覺。就這一認識來說，理性概括是一種高級形式的思維概括，它揭示的是一般因素（菱形具備平行四邊形的所有性質）和本質因素（菱形的四邊相等，對角線垂直），是直覺思維水平的概括。在數學教學中，理性概括表現在三個方面：一是在比較歸納中理性概括，揭示數學對象的本質；二是使用概念規則的正例，傳遞了理性概括的直覺信息；三是反例的使用，傳遞了辨別的理性概括信息。

在“菱形性質”形成模塊，執教者就是基于“理性概括”，讓學生在“說數學”中體驗直覺思維目標的運動過程，感知菱形性質的特殊與一般，以及合情合理的微言大義。

具體理性概括過程如下：

師：請同學們在畫圖、度量的基礎上，填寫思維關系量表（關于平行四邊形和菱形的對稱性，邊、角、對角線的性質及對比，表略）。

學生在操作的基礎上，進行了理性概括，達成思維共識：菱形的四條邊相等、菱形的對角線互相垂直平分等特殊性質。

設計意圖：填表旨在讓學生基于平行四邊形的一般性，認識菱形的特殊性，有助于理性概括信息的傳遞與辨別。另外，填表本身具有幾何直觀的功能，是一種直覺思維的運動形式，有助于學生在“比較+歸納”中獲得菱形性質的純粹性和合理性。

師：請以“組”為單位，討論以下問題。

問題2：菱形有哪些性質？為什么？菱形的面積如何求？在矩形、菱形和平行四邊中，哪些性質是菱形特有的？

在交流的基礎上，學生達成了思維共識，即“個體經驗→事實經驗→客觀經驗”。因為菱形是平行四邊形，所以具有平行四邊形的一切性質；證明給出了“菱形的四條邊相等”“菱形的對角線垂直”的理性結論；因為垂直平分是軸對稱性，所以菱形的對稱軸是對角線所在的直線；菱形中的四個三角形全等，所以菱形的面積可以是四個三角形面積的和，可以是兩個三角形面積的和，可以是底×高；在矩形、菱形和平行四邊形中，“四條邊相等”“對角線垂直”是菱形特有的性質。

設計意圖：“說數學”是教師上好數學課的有效形式，是學生學會合作的思維反映，能讓學生在思維互助中獲得“不可能”的“可能”發展。對菱形一般性質和特殊性質的猜想、歸納、比較、概括，有助于學生形成思維的理性概括，形成概念以及直覺思維目標的領悟。

在認知心理學看來，人一般可記住自己閱讀的10%，聽到的20%，看到的30%，交談時自己說到的70%。這就是“說數學”開展的本質依據，能讓學生在“無序說→有序說”中獲得理性概括的經驗，能讓學生在理性概括中“捕捉”直覺思維的“從天而降”。

三、變式概括，在“想數學”中實現直覺思維目標

變式概括是心智發展的思維“觸發器”，是“想數學”的思維前提，是提出問題的思維“發動機”，是直覺思維目標實現的心理基礎。在發展核心素養背景下，變式概括就是利用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，即變換同類事物的非本質特征，以便突出事物的本質特征。數學教學中的“平移、旋轉、翻折”變換都是變式概括的思維通道，有助于學生在聯想中把握概念對象的本質。當然，變式概括離不開幾何直觀，“數學地聯想”是以幾何直觀為思維動力，能讓學生基于“直觀印象”，在“想數學”的幫助下，獲得變式概括的經驗。教師將教材中的基本圖形“正放”，變為“斜放”或“倒放”，就是變式概括的常見方法，是幾何直觀的思維升級。換句話說，幾何直觀是指借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關系，對數學研究對象（即空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力。這種能力來自變式概括，來自“數學地聯想”，是通過“想數學”實現的。

在“菱形”概念使用模塊，執教者就是基于“變式概括”，讓學生在“想數學”中直接把握直覺思維目標。

具體的變式概括思維訓練如下——

基本問題：已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積。

數學變式1：如果菱形的面積為24cm2，其中一條對角線是6cm，則另一條對角線是多少？如果菱形的一個內角是60度，邊長為5cm，則菱形的面積是多少？

設計意圖：基本問題的設置是讓學生在問題中領悟菱形的“特有性質”以及落實面積求法的思想體系；數學變式1是變式概括的一般形式，能讓學生在概括運算中，把握直覺思維的認知目標，體驗“想數學”的本質就是變式概括，是思維內控的運動形式。

數學變式2：利用數字和圖形，探索圖形的基本性質。如圖1，木制活動衣帽架由3個全等的菱形構成，在A、E、F、C、G、H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據需要改變掛鉤間的距離，并在BM處固定。已知菱形ABCD的邊長為13cm，要使兩排掛鉤間的距離AC為24cm，求B、M之間的距離。

設計意圖：設置本題的目的指向“數學服務于生活目標”，以提升數學學習的實用價值。就問題本質來說，一方面能讓學生在問題解決中體驗將復雜轉化為簡單，將抽象轉化為具體的變式思想，落實“學”為“用”讓步。另一方面，“衣架問題”本身就是一種幾何直觀支配下的變式概括，能讓學生在“數學地想數學”中，獲得對概念的正遷移和認知智慧的形成。