具有拓?fù)浞€(wěn)定測(cè)度的非自治動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性

井 凱，尹建東

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031)

1 引言與基本概念

拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是動(dòng)力系統(tǒng)研究的核心問(wèn)題之一,最早是由Walters[1]引入,它揭示了定義在緊致度量空間上的同胚映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性質(zhì)。關(guān)于拓?fù)浞€(wěn)定性的研究,目前已得到許多有趣的結(jié)論(見(jiàn)[2-4])。研究非自治動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力性狀是目前關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)之一,雖然學(xué)者們?cè)谠摲矫娴难芯恳呀?jīng)取得了一定的結(jié)論,但還不夠完善,依然有很多動(dòng)力性狀值得去研究和探索。關(guān)于非自治動(dòng)力系統(tǒng)測(cè)度穩(wěn)定性理論的研究剛剛起步(見(jiàn)[4]),還有很多問(wèn)題值得去研究。關(guān)于非自治動(dòng)力系統(tǒng)的更多研究可參見(jiàn)文[5-8]。

本文主要針對(duì)非自治動(dòng)力系統(tǒng)的測(cè)度穩(wěn)定性進(jìn)行研究,得到一個(gè)具有拓?fù)浞€(wěn)定測(cè)度的非自治動(dòng)力系統(tǒng)與充分逼近于它的非自治動(dòng)力系統(tǒng)具有相同的傳遞性和初值敏感依賴性。

對(duì)任意的n∈,記Fn=fn。fn-1?！?。f1。f0,點(diǎn)x∈X在F作用下的軌道是指orb(x,F)={x,f1(x),f2。f1(x),f3。f2。f1(x)…}。顯然{Fn(x)}n∈0=orb(x,F)。記C(X)為X上所有連續(xù)自映射構(gòu)成的集合,定義C(X)上的一個(gè)距離為：

η(f,g)=sup{d(f(x),g(x)):x∈X}。

進(jìn)而對(duì)于X上的自映射序列F={fn}n∈0,G={gn}n∈0之間的距離可定義為：

p(F,G)=sup{η(fn,gn):n∈0}

令P為0的所有子集構(gòu)成的集合,稱P的一個(gè)子集E是一個(gè)族,如果E具有向上遺傳性,即如果F1?F2,且F1∈E蘊(yùn)含F(xiàn)2∈E成立(關(guān)于族的詳細(xì)介紹可見(jiàn)[9])。H:X→P稱為X的一個(gè)集值映射,記Dom(H)={x∈X|H(x)≠?}。如果對(duì)任意點(diǎn)x∈Dom(H),都有H(x)是X的一個(gè)緊子集,則稱H是一個(gè)緊值映射。本文中d(H,Id)<ε意即H(x)?B[x,ε]。一個(gè)緊值映射H稱為上半連續(xù)的,是指對(duì)任意x∈Dom(H)和H(x)的任意鄰域O,都存在δ>0,使得對(duì)于滿足d(x,y)<δ的點(diǎn)y,都有H(y)?O成立。

用β(X)表示由X的所有開(kāi)子集生成的Borel-σ代數(shù),β(X)中的每一個(gè)元素稱為一個(gè)Borel-集。定義在β(X)上的每一個(gè)σ-可加測(cè)度稱為X上的一個(gè)Borel-測(cè)度(關(guān)于Borel-測(cè)度的更多詳細(xì)介紹可見(jiàn)[10])。不妨設(shè)每一個(gè)Borel-測(cè)度μ為概率測(cè)度,即μ(X)=1。

定義1.1([4])稱X上的一個(gè)Borel-概率測(cè)度μ在F作用下是拓?fù)浞€(wěn)定的,是指對(duì)任意的ε>0,則存在δ>0,使得所有滿足p(F,G)<δ的X上連續(xù)自映射列G={gn}n∈0,都存在一個(gè)上半連續(xù)的緊值映射H:X→P,滿足下面條件：

(ⅰ)μ(XDom(H))=0;

(ⅱ)μ。H=0;

(ⅲ)d(H,Id)<ε;

(ⅳ)Fn(H(x))?B[Gn(x),ε],?n∈0。

在(X,F)中,一個(gè)序列{xn}n∈0被稱為是在F作用下的一條δ-偽軌,如果對(duì)任意的n∈0,d(fn+1(xn),xn+1)<δ。給定ε>0,一個(gè)序列{xn}n∈0稱為在F作用下被ε-跟蹤,如果存在y∈X,使得對(duì)任意n∈0,d(Fn(y),xn)<ε。此時(shí)稱點(diǎn)y是序列{xn}n∈0在F作用下的一個(gè)ε-跟蹤點(diǎn)。

稱F具有初值敏感依賴性,是指存在δ>0,使得對(duì)X中的任意點(diǎn)x∈X以及點(diǎn)x的任意鄰域Ux,存在n0∈和y∈Ux,使得d(Fn0(x),Fn0(y))>δ成立。其中δ被稱為F的一個(gè)敏感常數(shù)。

設(shè)E是0的一個(gè)族。稱F具有E-初值敏感依賴性,是指存在δ>0,使得對(duì)X中的任意點(diǎn)x∈X和點(diǎn)x的任意鄰域Ux,都存在E0∈E,使得對(duì)任意的n∈E0,存在y∈Ux,使得d(Fn(x),Fn(y))>δ成立。

一個(gè)Borel-概率測(cè)度μ被稱為是滿支撐的,是指對(duì)任意x∈X和x的任意鄰域Ux,都有μ(Ux)>0。稱μ是非原子的,是指對(duì)任意點(diǎn)x∈X,都有μ({x})=0成立。

稱(X,F)具有傳遞性,是指對(duì)任意的非空開(kāi)集U,V?X,有

N(U,V)={n∈0|Fn(U)∩V≠?}≠?

設(shè)(X,F)和(Y,G)是兩個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng)。稱(X×Y,F×G)是傳遞的,是指對(duì)任意非空開(kāi)集U1,U2?X,V1,V2?Y有NF(U1,U2)∩NG(V1,V2)≠?。設(shè)r,s∈,稱(X,F)是(r,s)-傳遞的,如果(X×X,Fr×Fs)是傳遞的,即對(duì)任意的非空開(kāi)集U1,U2,V1,V2?X,存在n∈0使得Fnr(U1)∩V1≠?且Fns(U2)∩V2≠?。稱(X,F)是弱混合的,如果(X×X,F×F)是傳遞的。

2 主要結(jié)論及其證明

本小節(jié)皆是在非自治動(dòng)力系統(tǒng)(X,F)中進(jìn)行探究,設(shè)(X,F)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng)且X中沒(méi)有孤立點(diǎn)。

命題2.1設(shè)δ>0。如果存在X上的連續(xù)自映射列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ,則對(duì)任意點(diǎn)x∈X,orb(x,G)是在F作用下的一條δ-偽軌。

證明任取X中的一點(diǎn)x,由條件p(F,G)<δ可知,對(duì)任意n∈0有

d(fn(x),gn(x))<δ

進(jìn)而可得

d(fn+1(Gn(x)),Gn+1(x))=d(fn+1(Gn(x)),gn+1(Gn(x)))<δ

故orb(x,G)是F的一條δ-偽軌。

引理2.2設(shè)μ是一個(gè)在F作用下具有拓?fù)浞€(wěn)定性的Borel-概率測(cè)度,則對(duì)任意ε>0,都存在δ>0,使得對(duì)任意滿足p(F,G)<δ的X上的連續(xù)自映射列G={gn}n∈0以及幾乎所有的x∈X,均存在orb(x,G)關(guān)于F的ε-跟蹤點(diǎn)。

證明給定一個(gè)具有拓?fù)浞€(wěn)定性的Broel-概率測(cè)度μ,取定ε>0,則存在δ>0滿足μ的拓?fù)浞€(wěn)定的定義,若G是一個(gè)滿足p(F,G)<δ的X上的連續(xù)自映射列,設(shè)H是μ的拓?fù)浞€(wěn)定性定義中給出的上半連續(xù)緊值映射,定義域?yàn)镈om(H),對(duì)于x∈Dom(H),任取y∈H(x),顯然有

Fn(y)∈Fn(H(x))?B[Gn(x),ε],?n∈0

這蘊(yùn)含

d(Fn(y),Gn(x))<ε,?n∈,?y∈H(x),

即y是orb(x,G)關(guān)于F的一個(gè)ε-跟蹤點(diǎn)。

定理2.3設(shè)μ是一個(gè)非原子滿支撐的Borel-概率測(cè)度且關(guān)于F={fn}n∈是拓?fù)浞€(wěn)定的,常數(shù)e>0,E是0的一個(gè)族。如果對(duì)任意δ>0,都存在具有F-初值敏感依賴性的連續(xù)自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常數(shù)大于e,則F也具有E-初值敏感依賴性。

d(Fn(y1),Gn(x1))<ε

(1)

因d(H,Id)<ε,故d(H(x1),x1)<ε,即H(x1)?B(x1,ε),因而有

y1∈H(x1)?B(x1,ε)

因?yàn)镚具有E-初值敏感依賴性,所以存在E0∈F,使得對(duì)任意的n0∈E0,都存在x2∈B(x1,ε)，使得

d(Gn0(x2),Gn0(x1))>e1

(2)

d(Gn0(x2),Gn0(z2))<ε

(3)

和

d(Fn(y2),Gn(z2))<ε,?n∈0,?y2∈H(z2)

(4)

因此對(duì)任意的y2∈H(z2),有d(x1,y2)≤d(x2,z2)+d(z2,y2)+d(x1,x2)≤3ε<ε0,所以y2∈B(x1,3ε)?B(x0,ε0)。根據(jù)(1)、(2)、(3)和(4)式可得,對(duì)任意的y1∈H(x1)和y2∈H(z2)有

推論2.4設(shè)μ是一個(gè)非原子滿支撐的Borel-概率測(cè)度且關(guān)于F={fn}n∈是拓?fù)浞€(wěn)定的,常數(shù)e>0。如果對(duì)任意δ>0,都存在一個(gè)具有初值敏感依賴性的連續(xù)自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常數(shù)大于e,則F也具有初值敏感依賴性。

證明由定理2.3直接得到。

定理2.5設(shè)μ是一個(gè)非原子滿支撐的Borel-概率測(cè)度且關(guān)于F={fn}n∈0是拓?fù)浞€(wěn)定的,r,s∈。如果對(duì)任意δ>0,都存在X上的連續(xù)自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G是(r,s)-傳遞的,則F也是(r,s)-傳遞的。

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠?

其中

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gnr(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠?}；

NGs(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gns(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠?}

顯然,

NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))?NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2));

NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))?NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))

取

m∈NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))∩NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))

則存在x3∈B(x1,ε),使Gmr(x3)∈B(x2,ε),顯然d(Gmr(x3),x2)<ε；又存在y3∈B(y1,ε),使Gms(y3)∈B(y2,ε)，故d(Gms(y3),y2)<ε。

因?yàn)閧gn}n∈0都是連續(xù)映射,根據(jù)一致連續(xù)性,對(duì)于存在η>0,使得當(dāng)d(x,y)<η時(shí),則d(Gi(x),Gi(y))<ε,i=0,1,2,…,mr成立。顯然存在0<η0<η,使得η0+2ε<ε1且B(x3,η0)?B(x1,ε)。取x4∈B(x3,η0)∩Dom(H),因?yàn)閐(x3,x4)<η0<η,所以d(Gmr(x3),Gmr(x4))<ε。

因?yàn)閤4∈Dom(H),根據(jù)引理2.2可得，當(dāng)x5∈H(x4)?B(x4,ε)時(shí),對(duì)任意n∈，有d(Gnr(x4),Fnr(x5))≤ε。又因?yàn)?/p>

d(x5,x1)≤d(x5,x4)+d(x4,x3)+d(x3,x1)≤ε+η0+ε<ε1,

所以x5∈B(x1,ε1)。綜上可得,當(dāng)n=m時(shí),有

d(Fmr(x5),x2)≤d(Fmr(x5),Gmr(x4))+d(Gmr(x4),Gmr(x3))+d(Gmr(x3),x2)<3ε<ε2

這蘊(yùn)含F(xiàn)mr(x5)∈B(x2,ε2),而x5∈B(x1,ε1)，所以m∈NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))。類似地,可得m∈NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))。所以有

NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠?

故F是(r,s)-傳遞的。

定理2.6設(shè)μ是一個(gè)非原子滿支撐的Borel-概率測(cè)度且關(guān)于F={fn}n∈0是拓?fù)浞€(wěn)定的,如果對(duì)任意δ>0,都存在X上的連續(xù)自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G是弱混合的,則F也是弱混合的。

證明與定理2.5證明過(guò)程類似,就不再贅述。