廣義變系數BKP方程的lump解

楊 梅

(重慶電子工程職業學院，重慶 401331)

非線性演化方程對于描述非線性物理現象非常重要。研究這些非線性演化方程的解析解變得越來越重要。為了研究非線性方程，研究者們提出了許多方法，例如逆散射變換[1]，Darboux和B?cklund變換[2]和Hirota雙線性方法[3]。這些方法中的每一種都有其特點，但是Hirota雙線性方法更具啟發性，可以直接為大量非線性演化方程提供多孤子解。此外，將Hirota直接法與Riemann theta函數相結合是一種解決非線性演化方程精確的顯式周期波解的可行方法[4]。

本文調查如下(3+1)維廣義變系數B-type Kadomtsev-Petviashvili(BKP)方程[4]

(1)

其中u=u(x,y,z,t),hi(t)(i=1,2,3,4,5)是任意解析函數。它描述了弱色散準介質中的波傳播與流體力學。Tu等[4]基于貝爾多項式，分別推導了方程(1)多項式孤子解和雙線性形式。此外，通過使用黎曼θ函數，他們還構造了方程的一周期和二周期波動解。方程(1)包含了兩種重要的非線性發展方程。

(1) 當h1(t)=1,h2(t)=-5,h3(t)=15,h4(t)=45,h5(t)=0,方程(1)變成一個(2+1)維非線性BKP方程[5]。

(2)、當h1(t)=1,h2(t)=-5,h3(t)=15,h4(t)=45,h5(t)=χ,方程(1)變成一個(3+1)維非線性BKP方程[6]。

接下來，我們將利用Hirota雙線性方法求方程(1)的lump解,并結合指數函數和三角函數討論了lump解和不同類型孤子解之間的交互作用。

1 Lump解

定理1[4]作如下變換與限制

(2)

方程(1)有如下Hirota雙線性形式：

(3)

方程(3)的等價形式：

(4)

證明見文獻[4]。

為了獲得(3+1)維廣義變系數BKP方程的lump解，我們假設方程(4)有如下形式的有理解

(5)

其中αi(i=1,2,3,6,7,8,10)都是待定常數，αi(t)(i=4,9,11)都是待定函數。將方程(5)代入方程(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy等自變量的系數令之為零，可得如下解

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(6)～式(10)代入式(2)和式(5)中，可以獲得式(1)5種不同的lump解。為了觀察lump解的物理結構，我們將式(6)代入式(2)和式(5)中，并令

α1=α3=-2,α2=α7=-1,α5=α8=h1=1,α6=3,α10=-10,h5=0

此時方程(1)的lump解有如下形式

(11)

當y=z=0,lump解(11)的物理結構見圖1。

2 Lump解和雙曲函數的交互作用

為了考察lump解和雙曲函數的交互作用，我們假設

(12)

其中φi(i=1,2,3,5)都是待定常數，φi(t)(i=1,2)和φ4(t)都是待定函數。將方程(12)代入方程(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy,exp等函數的系數令之為零，可得如下解

(13)

其中λ1是積分常數。

我們將(13)代入方程(2)和(5)中，可得方程(1)如下形式的交互作用解

(14)

令

α1=α3=-2,α5=1,α6=3,α10=-10,λ1=-1,φ3=-2,φ5=-3,α11(t)=2,
h1(t)=h5(t)=t,y=z=0

可得交互作用解(14)的物理結構見圖2。

3 Lump解三角函數的交互作用

為了考察lump解和三角函數的交互作用，我們假設

(15)

將式(15)代入式(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy,cos等函數的系數令之為零，可得如下解

(16)

其中λ2是積分常數。

我們將(16)代入方程(2)和(5)中，可得方程(1)如下形式的交互作用解

(17)

令

α1=α3=-2,α5=1,α6=3,α10=-10,λ2=-1,φ3=-2,φ5=-3,

α11(t)=2,h1(t)=h5(t)=t,y=x=0

可得交互作用解(17)的物理結構見圖3。

4 總結

(3+1)維廣義變系數BKP方程方程在弱色散準介質中的波傳播與流體力學等領域中起著重要應用。本文利用Hirota雙線性方法和Mathematica軟件[7-9]獲得廣義變系數BKP方程新lump解，同時討論了lump解與指數函數和三角函數之間的交互作用，它們的物理結構通過一些三維圖形和等高線圖形展示在圖1～圖3。