涉及小代數(shù)體函數(shù)的Milloux 不等式

祝笑笑，劉曉俊

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

定義1[1]代數(shù)體函數(shù)是由不可約方程

所確定的k值解析函數(shù)，其中Aj(z)(j=0,1,···,k)是z的全純函數(shù)，并且不在一點(diǎn)同時(shí)為零。特別地，當(dāng)k=1時(shí)，W(z)即為亞純函數(shù)；當(dāng)Aj(z)(j=0,1,···,k)都是多項(xiàng)式時(shí)，W(z)為代數(shù)函數(shù)。

代數(shù)體函數(shù)的第二基本定理首先由Valiron 在1929 年提出，后來有很多學(xué)者給出了詳細(xì)的證明。下面定理的形式來自文獻(xiàn)[2]。

定理1設(shè)W(z)={Wt(z)}是{|z|＜R}內(nèi)由式（1）所確定的k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，并且每個(gè)分支Wt(z)不恒為常數(shù)值。設(shè)at(t=1,2,···,p)是p個(gè)不同的復(fù)數(shù)（有窮或否），則對任意的r∈(0,R)，恒有

若{at}中不含 ∞，由于N(r,W)≤T(r,W)，上式變形成

若{at}中含有 ∞，在上式中可令ap+1=∞，則上式可改寫成

對于亞純函數(shù)的第二基本定理，Yang 等[3]曾給出一個(gè)涉及導(dǎo)數(shù)的推廣，從而得到了亞純函數(shù)的Milloux 不等式[4]。之后，何育贊又給出了代數(shù)體函數(shù)的Milloux 不等式的一種形式。

定理2[1]設(shè)W(z)是k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，并令av(v=1,2,···,p)和bj(j=1,2,···,q)為兩組有窮異于零且每組內(nèi)判別的復(fù)數(shù)，則有

其中，S(r,W)具有余項(xiàng)性質(zhì)。

定義2[1]設(shè)是區(qū)域D上的k值廣義代數(shù)體函數(shù)。

a.記W(z)的所有代數(shù)體映射之集為YW(D);

b.稱廣義代數(shù)體集合HW(D)={h?W(z);h∈YW(D)}為W(z)的代數(shù)體函數(shù)類。

定義3[1]設(shè)W(z)是圓盤D={|z|＜R}上的k值代數(shù)體函數(shù)，記W(z)的所有小代數(shù)體函數(shù)集合為

定義4[2]設(shè)W(z)為代數(shù)體函數(shù)，則

分別稱為W(z)的級和下級。

對于代數(shù)體函數(shù)的第二基本定理，不久前，孫道椿等[1]把這個(gè)結(jié)果改進(jìn)為小代數(shù)體函數(shù)的情形，得到了小代數(shù)體函數(shù)的第二基本定理。

定理3[1]設(shè)W(z)={Wt(z)}是C上非常數(shù)的k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，是W(z)的q≥2個(gè)不同的小代數(shù)體函數(shù)（也可能是小亞純函數(shù)及有限或無限的復(fù)常數(shù)），則對任意的ε∈(0,1)及r＞0,恒有

其等價(jià)形式為

本文主要以定理1 和定理3 為工具，將定理2 的結(jié)論改進(jìn)為涉及小代數(shù)體函數(shù)的情形，從而得到了下面的結(jié)論。

定理4設(shè)W(z)是k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，令分別為W(z)和W′(z)的不同的小代數(shù)體函數(shù)（也可能是小亞純函數(shù)[5]及有限或無限的復(fù)常數(shù)[6],p,q≥2），則有

推論設(shè)W(z)是由式（1）所確定的k值有窮正級整代數(shù)體函數(shù)[7]，若0,∞,av(z)(v=1,2,···,p)是W(z)的判別有窮的Borel 例外值，bj(z)(j=1,2,···,q)是W′(z)的q個(gè)判別有窮的Borel 例外值，且av(z),bj(z)不恒為0 和 ∞，則W(z)為常數(shù)。

2 相關(guān)引理

引理1[1]設(shè)W(z)為k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，則對任意正整數(shù)v∈N，它的v階導(dǎo)數(shù)W(v)(z)滿足

引理2[4]設(shè)W(z)是由式（1）確定的k值代數(shù)體函數(shù)，則有

引理3[4]設(shè)W(z)為k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，則

類似于亞純函數(shù)，定義代數(shù)體函數(shù)的Borel 例外值。

定義5[9]設(shè)W(z)是由式（1）確定的非常數(shù)值的有窮正級k值無重因子代數(shù)體函數(shù)，若對任意的復(fù)數(shù)b，有

則稱b為W(z)的Borel 例外值。

引理4設(shè)W(z)是由式（1）確定的非常數(shù)值的有窮正級k值無重因子[10]代數(shù)體函數(shù)，a(z)為W(z)的任意小代數(shù)體函數(shù)，則

至多有(4k-2)個(gè)Borel 例外值[11]，其中 λ為W(z)的級。

證明若存在(4k-1)個(gè)Bor el 例外值，滿足

結(jié)合小代數(shù)體函數(shù)的第二基本定理[12]（定理3），并由引理3，得

矛盾，證畢。

3 主要結(jié)論的證明

定理4 的證明。

對W′(z)和bj(z)(j=1,2,···,q+1)應(yīng)用定理3 并結(jié)合第二基本定理，令bq+1(z)=0，得

對W(z),av(z)(v=1,2,···,p+1)應(yīng)用定理3 并結(jié)合第二基本定理，并令ap+1(z)=0，得

再由Jensen 公式

將式（4）應(yīng)用于式（6），得

將式（5）與式（7）相加，得

其中，S3(r,W)=S(r,W)+S2(r,W′)。

由引理1 和引理2

將式（9）應(yīng)用于式（8），得

再對S4(r,W)中各項(xiàng)應(yīng)用對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，即得定理4，證畢。

推論的證明。

結(jié)合引理1 和引理2 可得

若兩種情況同時(shí)成立，則結(jié)合定理4 可得

矛盾，得證。