數形結合初形成 合情演繹共發展

朱仁江

摘? ? 要：“形”能直觀，“數”能入微，數形結合發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與算法性.運用合情推理進行問題結論的探索與發現，用演繹推理加以證明，彰顯合情推理是方向、演繹推理是關鍵的數學探究過程.

關鍵詞：數形結合;合情推理;演繹推理

筆者在學生學習了《有理數》《整式的加減》兩個章節后，適時以“距離”為題開設一節數學拓展課，將“絕對值”和“距離”兩者有效融合，使“數”和“形”兩方面緊密結合，讓學生感受數形結合思想的萌芽過程，感受數形結合思想在數學學習中的重要性，并學會利用數形結合的方法解決實際問題. 同時運用合情推理進行問題結論的探索和發現，用演繹推理加以證明，兩者相輔相成，使“絕對值”內容的教學提升到一個新的高度.

一、“形”能直觀 合情推理是方向

從數軸上兩點之間的距離這一“形”的角度來直觀感受絕對值的幾何意義，使代數問題幾何化，使所求問題更加形象直觀.通過觀察、歸納、類比、猜想等合情推理手段得出問題的普遍性結論，是數學問題研究的方向.

【教學設計一】

師：同學們，當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道：“世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚.”相聚是一種緣分，讓我們縮短心與心之間的距離，在初中三年留下美好的回憶.今天，我們就來探討一個數學話題——距離.

同學們，前面我們已經學習了絕對值的知識，也簡單了解絕對值的幾何意義，那么請同學們說出下列式子的幾何意義：

（1）|a|;? ? ? ?（2）|x-2|;? ? ? ?（3）|x+1|+|x-2|.

生1：（1）的幾何意義是數軸上表示數a的點與原點的距離，（2）的幾何意義是數軸上表示數x-2的點與原點的距離，（3）的幾何意義是數軸上表示數x+1的點到原點的距離與表示數x-2的點到原點的距離之和.

師：生1已經非常清楚絕對值的幾何意義，而且將x+1、x-2看作整體，能夠運用整體思想考慮問題，非常好！|x-2|可以看作數軸上表示數x-2的點與原點的距離，若將這兩點同時向右平移2個單位長度，你會有什么發現呢？

生2：我知道了，將這兩點向右平移兩個單位后，兩個點對應的數分別是x和2，|x-2|可以看作數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離.

生3：|x+1|+|x-2|就可以看作表示數x的點到-1和2兩個數所對應的點的距離之和.

師：總結得太好了！通過類比、觀察、歸納，大家對絕對值的幾何意義有了更深的理解和掌握.

【設計意圖和階段目標】結合學生剛入學不久，師生、生生之間關系比較陌生的特點，以“相聚是一種緣分”為話題引入，利用數軸上兩點間的位置關系，強化對作為代數概念“絕對值”的幾何意義——“距離”的理解，使絕對值的幾何意義得到進一步的直觀確認，從而使數形結合思想在學生頭腦中初步形成.通過不斷觀察、猜想、分析，運用歸納、類比等合情推理手段，提升學生探究問題的能力，感受合情推理在發現問題結論過程中的重要性.

【教學設計二】

師：同學們，我們已經知道|x+1|與|x-2|都有最小值，請問|x+1|+|x-2|有最小值嗎？如果有，最小值是多少？此時x取什么值？

生4：我覺得最小值應該是3.因為我取了許多x值，發現|x+1|+|x-2|的結果最小是3，所以最小值應該是3.

生5：不一定.因為不能確定你還沒有取到的x值是否能保證|x+1|+|x-2|的結果都不小于3.

師：用特殊值代入得出結論是一種常用的解決問題的方法，而要得出一般性結論僅僅從幾個特殊值來判斷顯然是不夠的.

接下來我們看一個生活中類似的情境：

在一條直線上有依次排列的2臺機床加工零件（如圖1），要設置一個零件供應站P，使這2臺機床到供應站P的距離之和最小.怎么設置？

圖1

生6：如果一條直線上有2臺機床，很明顯零件供應站P設在A1和A2之間的任何地方都行，因為此時P到甲和乙2臺機床的距離之和等于A1到A2的距離，且距離之和最小.

師：如果在一條直線上有依次排列的3臺機床加工零件（如圖2），要設置一個零件供應站P，使這3臺機床到供應站P的距離之和最小，又該怎么設置？

圖2

生7：如果在一條直線上有3臺機床，供應站P設在中間一臺機床A2處最合適，因為如果P不放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到P的這一段，這是多出來的部分，因此P放在A2處是最佳選擇.

師：分析很到位！那4臺、5臺呢？n臺呢？

生8：如果一條直線上有4臺機床，供應站P應設在第2臺與第3臺之間的任何地方;如果一條直線上有5臺機床，P應設在第3臺位置.如果一條直線上有n臺機床，要進行分類討論，當n為奇數時，P應設在最中間那臺機床處，當n為偶數時，P應設在最中間兩臺之間的任何地方.

師：同學們太厲害了！實際上，解決上面這些問題的最大功勞要歸功于絕對值的幾何意義.那么同學們現在會求|x+1|+|x-2|的最小值嗎？

生9：如果記A1所對應的數為-1，A2所對應的數為2，以右方向作為正方向畫一條數軸，記P所對應的數為x，很顯然，當[-1≤x≤2]時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

師：不錯！那|x+3|+|x+1|+|x-2|的最小值會是多少呢？

生10：當x=-1時，|x+3|+|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為5.

師：非常正確.

【設計意圖和階段目標】生活的經驗是數學產生和發展的基礎，當解決數學問題碰到困難時，可以尋找生活中的原型，進行歸納提升，形成數學模型，再利用數學模型解決生活中的實際問題.通過將工廠流水線看成數軸，供應站、機床看作數軸上的點，從而找到解決問題的模型——數軸.通過對供應站位置設置的探究，從“形”的角度形象直觀地解決了這一“數”（最小值）的問題.另外，在探究過程中不斷地進行類比、歸納等合情推理的滲透，訓練學生有效的數學思考.

二、“數”能入微 演繹推理是關鍵

僅從“形”的角度理解絕對值有它的局限性. 波利亞曾說：“嚴格證明是數學的標志，是一般文化中數學貢獻的主要部分，學生若從未對數學證明有過印象，那他就錯過了一段基本的智力經歷.”因此，當學生從“形”的角度感知絕對值的同時，有必要從“數”的角度進一步得出絕對值的性質所具有的科學性，這一過程實際上就是演繹推理的過程，是對數學問題進行研究的關鍵.

【教學設計三】

師：同學們，前面主要從“形”的角度解決了問題，你能否從另外角度確定|x+1|+|x-2|的最小值？

閱讀下列材料并解決有關問題：

我們知道，[x=x（x>0）0（x=0）-x（x<0）] ，現在可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x-2|時，可令x+1=0和x-2=0，分別求得x=-1，x=2（稱-1，2分別為|x+1|與|x-2|的零點值）.零點值x=-1和x=2可將數分成不重復且不遺漏的如下三種情況：

（1）x<-1;（2）-1≤ x <2;（3）x≥2.從而化簡代數式|x+1|+|x-2|.

生11：我化簡的結果是：[x+1+x-2=-2x+1（x<-1）3（-1≤x<2）2x-1（x≥2）] .我覺得，當x<-1時，隨著x值的越來越小，-2x值越來越大，從而-2x+1的值也越來越大，都大于3;同樣，當x≥2時，隨著x值的越來越大，2x值越來越大，從而2x-1的值越來越大，都大于3，所以當-1≤ x<2時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

生12：當x≥2時，2x-1的值應該是大于等于3.綜合分析三種情形，當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|有最小值，最小值為3.

師：兩位同學都很會思考.不難發現，實際上當x=2時，|x+1|+|x-2|也是等于3，這與先前得出“絕對值等于本身的數是正數和0，而不僅僅是正數”如出一轍.

【設計意圖和階段目標】通過從“數”的角度進一步探究|x+1|+|x-2|的最小值問題，使關系結構數量化，使問題解決算法化，避免“形”在解決問題時遇到的不“入微”的遺憾.而演繹推理很好地解決合情推理過程中的局限性問題，通過對探究得出結論的論證推理，使數學問題的結論具有科學性、可靠性，是對數學進行問題研究的關鍵.

三、“數”“形”結合 合情演繹共發展

Lagrange曾把“數形結合”的優點寫進他的《數學概要》中：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄.但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.”我國著名數學家華羅庚先生也曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休.”總之，數形結合在某種程度上可以看作是數學的本質.而合情推理和演繹推理在探究過程中的不斷運用，使兩者得以相互補充，協同發展.

【教學設計四】

課后拓展：若x、y滿足（|x+1|+|x-2|）（|y-1|+|y-3|）=6，求代數式x+y的最大值和最小值.

【設計意圖和階段目標】課后拓展是為了讓學生再次經歷觀察、猜想、分析、嘗試等探究過程（合情推理），再次經歷在探究結論過程中的論證推理（演繹推理）過程，再次從“數”和“形”兩個角度思考問題，感受數形結合思想的重要價值.

數形結合把抽象的數學語言與直觀的圖形有機地結合起來思考，發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與算法性.兩者相輔相成，揚長避短，化抽象為直觀，化直觀為精確.無論是從“形”的角度得出|x+1|+|x-2| 的最小值的合情推理過程，還是從“數”的角度說明|x+1|+|x-2| 的最小值的演繹推理過程，都對數形結合思想在七年級學生頭腦中的初步形成產生了深遠的影響.而合情推理和演繹推理在數學學習過程中的完美融合，讓學生感受到合情推理和演繹推理之間的互相補充、缺一不可的關系.合情推理是方向，演繹推理是關鍵，合情演繹共發展.