集合論多宇宙觀與形式主義

裘江杰

1 引言

一般認為，誕生于一百多年前的公理集合論有著兩重身份（[22]）：其一，它是數理邏輯的四大分支之一1數理邏輯的另外三個主要分支是模型論、遞歸論以及證明論。，因此也是數學的一個專門領域；其二，常規數學所研究的對象可以被表示為各種集合，所使用到的方法以及預設也可以溯源到集合論公理，概言之，許多數學命題可以被視為各種集合論公理系統2最典型的集合論公理系統是ZFC，此外，在研究中還會涉及到ZFC 的各種子系統、擴張系統，甚至與ZFC 不一致的系統，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的觀點也把它當作數學的基礎。

數學是關于什么的？數學命題在什么意義上為真為假？對于這樣一些問題的不同回答可以粗略地對應到從實在論到反實在論的譜系中的不同的位置，那么，基于公理集合論，則產生了對集合對象、集合宇宙的客觀實在性不同的本體論立場。

數學家們對關于數學對象以及集合對象的實在性問題的初始反應通常是樸素的，他們會自然認為他們自己以及其他嚴肅的數學家所研究的對象是獨立于人類心智而客觀存在著的，這樣一種觀點屬于傳統的數學實在論。

不過，從學術史的視角反觀數學哲學中實在論問題爭論的歷史發展，情況就要變得復雜了。實際上，呈現在我們面前的更可能是部分實在部分反實在觀；比如，在數學史上，像負數、虛數這樣一些概念在它們被引入之初都曾經被視作為本身無所指的形式或者語言物項，可以對它們進行形式操作，但是這種形式操作只是為了得到描述實存對象的性質或者實存對象之間關系的數學命題，操作本身并無實際意義3比如，意大利數學家卡爾達諾（G.Cardano）最早使用虛數記號，但他認為這僅僅是形式表示。。在這些具體的歷史場景里，學者們至少是下意識地承認一些數學對象的實在性，但是同時把那些新被引入的概念則當作只是形式表示而已。

十九世紀末，實質性地探討無窮以及無窮對象的集合論面臨的悖論導致了第三次數學危機的爆發，對危機的應對的重要結果之一正是前述的公理集合論的創立4與之競爭的有羅素的類型論，在數學基礎領域勝出的是公理集合論，不過，類型論在數學基礎以及計算機科學基礎中仍然有著一定的影響，比如，2002 年菲爾茲獎獲得者沃沃斯基（V.Voevodsky）創立的同倫類型論（homotopy type theory）就結合了類型論的思想。，另外一個有影響力的后果則是希爾伯特規劃的提出與實施5希爾伯特本人對數學基礎的關注主要有兩個時期（19 世紀末以及20 世紀20 年代左右），希爾伯特規劃則主要是在后一個時期被提出的，目前公認的是，這一規劃之于希爾伯特，不僅僅是面向應對數學危機的，實際上也是對直覺主義的回應，從這一點似乎能看到希爾伯特對數學實在論的某種認同。，前者在這一百多年里得到了迅猛的發展，其中一部分相對深刻的成果被認為是受到（特別是實在論的）數學哲學思想的指引而達致的（[16,18]）；后者則是形式主義思想的一個主要體現，一種常見的觀點是認為希爾伯特規劃體現了形式主義的反實在論或者至少是對無窮的反實在論思想（[10,23]）。

如前所述，在公理集合論領域工作的數學家可能天然會傾向于實在論，但是在哥德爾不完全性定理以及各種自然的獨立性結果出現之后，自二十世紀六十年代以來，數學家們對自身的本體論立場更為自覺，同時他們的立場也進一步發生了分化：其中既有武丁（H.W.Woodin）這樣的堅定的實在論者（[15]），也有像謝拉赫（S.Shelah）這樣的在本體論上更加謹慎的學者（[10]），后者被“不謹慎地”視為持有形式主義思想，并且因而是反實在論者（[18]）。

近年來，在公理集合論的數學以及哲學研究中，多宇宙觀（Multiverse View）得到了越來越多的重視和討論（[1,7,22]）。

哈姆肯斯（J.D.Hamkins）認為傳統的集合論實在論是一種單一宇宙觀（The universe view），即它斷言，恰有一個唯一的集合宇宙，這一本體論立場隱含著所謂的絕對的集合觀念，但是哈姆肯斯等學者認為這是可質疑的，特別的，它與獨立性現象以及根據不同的方法構造各種集合論模型這樣的數學實踐是不一致的，因此，他們認為，集合概念是多元的，進而客觀存在著的是多個集合宇宙，而非單一的宇宙，這眾多的集合宇宙又組成了集合論復宇宙（set theory multiverse）6采用楊睿之的譯法。，集合論的一部分研究工作應該關注集合論復宇宙。

哈姆肯斯等學者的多宇宙觀是一種頗為奇特的立場，已有學者意識到這一概念及相應的理論與形式主義的某種親緣關系（[1,16]），本文的任務則是希望能論證多宇宙觀確實可以容納到形式主義的框架中，只不過需要更換對形式主義的反實在論的刻板印象，這種新的形式主義在本體論上將是謹慎的，同時它所注重的主要是方法論或者認識論層面上的，它重視數學實踐，同時也以促進數學實踐為主要目的。

論文的結構如下：首先我們會在第二節梳理這種多宇宙觀的“前世今生”，我們將會發現實在論解讀并不是其唯一可選的本體論立場，也就是說，賦予其某種形式主義“色彩”是可能的；其次，在第三節中，我們會整理多種視角中的形式主義的形象，這一整理使我們相信形式主義可以擺脫“反實在論”的帽子，這使得它容納多宇宙觀成為可能；在第四節中，我們會在這種中立的本體論的立場下，基于希爾伯特和科里（H.Curry）的思想重構形式主義的框架；最后，在第五節中，基于這一改造后的形式主義的框架，我們會試圖“重述”多宇宙觀“故事”。

2 多樣的多宇宙觀

顧名思義，集合論多宇宙觀似乎是這樣一種形上學觀點：存在著多個集合論宇宙。但是，一方面，提出或者持有多宇宙觀的，幾乎都是集合論學者，他們的第一身份都是數學家，因此，很難說他們本身有清晰的形上學立場，另一方面，就如本節接下來將分析的，持有多宇宙觀的學者間也存在著分歧，因此我們或許可以首先將注意力投向它們的對立面，集合論單一宇宙觀。所謂的單一宇宙觀指的是這樣一種實在論立場：存在著唯一一個包含所有的集合的總體，這一總體我們稱為集合宇宙，它本身不是集合，但是它是由獨立于我們的心智、語言或者概念系統而存在著的所有的集合所組成的。一些學者認為，至少在“哥德爾時代，集合論學者們還生活在這種（樸素的）單一宇宙觀下”（[5]）；不過“曲調”并不是完全“協調的”，比如，哈姆肯斯把多宇宙觀的思想追溯到了馮·諾依曼1925 年的論文《集合論的一種公理化》，認為其中對“集合論的一個模型可以是集合論的另外一個模型中的集合”討論中就蘊涵了多宇宙觀的初步想法（[7]）。

哈姆肯斯的這種追溯并不是孤例，弗里德曼（S.Friedman）與其合作者提出了“垂直”多宇宙（vertical multiverse）的概念，并認為這一概念以及相應的思想在策梅羅（E.Zermelo）那里就已有了“萌芽”（[1]），策梅羅得到過這樣的結果：二階集合論系統Z2是擬范疇的（quasi-categorical），即，對每個強不可達基數（strongly inaccessible cardinal）κ，Vκ是Z2的同構意義上唯一的基數為κ的模型。

弗里德曼及其合作者認為，策梅羅的這些集合論模型，隨著指標κ的增大，形成了一個塔狀（tower-like）的多宇宙，這是一種縱向“生長”的復宇宙。弗里德曼等學者提煉出這種“垂直”多宇宙的目的是為了發展他們目前還在進行中的超宇宙規劃（The hyperuniverse program）（[2]），這一規劃是對哥德爾綱領的一種實現的進路7另外一個著名的進路是武丁的終極L 研究，郝兆寬（[17]）對之有細致深入的介紹。，由于它并不與我們所討論的主題直接相關，因此不再詳細展開，我們把討論的焦點集中在“垂直”多宇宙上。

這種“垂直”多宇宙與哈姆肯斯的多宇宙是不同的8對后者的介紹稍后給出。，但是它們的倡議者都有著實在論的意向，因此面臨著相似的質疑或者問題。對于“垂直”多宇宙，至少有兩個相關聯著的問題。

首先，如前所述，構成這種復宇宙的都是集合論的模型，如果我們取相應的集合論系統為ZFC 系統，而這些指標κ都是大基數，那么，眾所周知，ZFC 并未保證任何大基數的存在，甚至在ZFC 中都無法證明存在大基數的相對一致性9若用LA 表示一條大基數公理，那么ZFC+LA ?Con(ZFC)；假如有ZFC ?Con(ZFC) →Con(ZFC+LA)，那么將得ZFC+LA ?Con(ZFC+LA)，這與哥德爾不完全性定理矛盾。，這意味著“垂直”多宇宙概念本身已經預設了大基數這一強的集合概念，但是后者并不是集合論學者所共同接受的，因此若在本體論上持謹慎的態度，則先把它們作為理想元，懸置實在性問題可能是一種可采取的策略，這一策略是形式主義的，但是請注意，它并未直接否定大基數的實在性，因此不能將之視為反實在論的。

其次，假如我們接受這種大基數以及“垂直”多宇宙的客觀實在性，那么其中涉及到的大基數則都存在于集合論宇宙V中，因此，對這些大基數κ，Vκ不僅僅是V的真前段，同時也會是V中的元素，但是如此一來，這種“垂直”多宇宙就是V的一個子類，因此，稱它是多宇宙更像是一種表達上的方便。

在集合論的研究中，我們確實會使用到V的一些子類，比如序數類ON、可定義集類L，但是前者本質上是對一種概念（在這里是序數）的外延表示，這是許多子類的用意；對于后者，我們有時確實也會稱其為可定義宇宙，不過一般我們會使用其進行相對一致性的證明，而這又是形式主義風格的工作。

總之，這種“垂直”多宇宙的概念并不導向實在論觀，相反，它與形式主義或許有更加自然的關聯。

哈姆肯斯的多宇宙是一種“橫向的圖景”，原因在于哈姆肯斯版本的多宇宙的核心概念是力迫（Forcing），這是一種構造集合論模型的方法，它通過在原模型中加入新的元素而得到更加“龐大”但是“高度”不變的新模型，因此這種多宇宙不會在其成員間形成有規律的“個子”的遞增或者遞減的關系。

哈姆肯斯已經注意到使用力迫法時會遇到的困難（[8]）。概言之，標準的集合力迫法建立的仍然是相對一致性結果，它的核心是將集合論系統的足夠大的有窮片段的一個可數傳遞模型“變胖”為一個新的可數傳遞模型，使得后者成為同一系統的另一個有窮片段加上某個指定的命題的模型，比如，如果證明中涉及的集合論系統為ZFC，指定的命題為φ，那么力迫法建立的相對一致性結果即為Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)10關于力迫法的介紹可以參看苦能（K.Kunen）的經典教材[9]。。因此，力迫法本身不能產生新的集合論模型，更不用說提供一整個多宇宙。

哈姆肯斯使用一種變通的方法在類模型上使用力迫法，他稱其使用的是自然主義的力迫（Naturalist Account of Forcing），這一方法非常類似于力迫的布爾值模型方法（Boolean-valued model approach to forcing），因此它們的問題也是相似的。如果將它們視為證明相對一致性的“理想”概念11在集合力迫中，我們也常常稱，從ZFC 的一個可數傳遞模型M 出發，這個M 就是一個“理性”元素，它是對在ZFC 中可以明確得到的ZFC 的足夠大的有窮片段的可數傳遞模型的某種“近似”。，則不成問題，但是這種處理是形式主義式的，自然不是哈姆肯斯及其合作者所期待的，因此他們實質上認為存在著各種集合宇宙（或者完整的集合論模型），并且對給定的集合宇宙V可以進行相應的力迫擴張；然而單一宇宙論者會質疑，既然V是集合宇宙，那么可以從何處取來新的集合，特別的，所使用的力迫對應的脫殊濾（Generic Filter）可以存在于V外嗎？哈姆肯斯的回應是力迫法和獨立性證明的數學實踐表明存在著不同的集合概念，這些概念相互間可以是不一致的，因此必然對應有不同的集合宇宙。這一回應與其說是對單一宇宙論者的反駁，不如說是對多宇宙觀立場的重申，只不過以更加技術化的形式呈現。

這樣，是單一宇宙還是多宇宙，就成了立場之爭，從相對粗淺的本體論直覺觀之，前者似乎更能得到“擁護”，然而，審慎一點，我們或許可以這樣處理：這種多宇宙觀看起來與我們的直觀不太相符，但是，它在邏輯上并不是矛盾的12哈姆肯斯與他的合作者提出了復宇宙公理，并且證明，它們相對于ZFC 是一致的，證明的概括可參看楊睿之的文章[22]，詳細可參看吉特曼（V.Gitman）與哈姆肯斯的論文[6]。，因此不妨暫時不否定之，而是在假設其成立的基礎上，討論這一立場是否可能帶給我們有意義的哲學上的洞見或者數學實踐上新的成果。這種處理顯然帶有形式主義的色彩。

綜上，我們已經了解到，多宇宙觀有著不同的版本，并且它們都并不只導向這樣或者那樣的實在論；對它們的更加謹慎的處理則會關聯到形式主義，或者說，這種處理背后體現的正是形式主義的觀點，因此，一個自然的想法就是，是否可以將多宇宙觀容納入到形式主義的框架中？

不過，盡管形式主義已有百年之久，但是與邏輯主義以及直覺主義相比，它的“面目”并不是足夠清晰的（[10]），并且歷史上確實存在過不同的版本，因此在可以回答上述的問題之前，我們首先需要對形式主義進行一個相對細致的梳理；我們會在第三節討論形式主義可以有的本體論立場，我們認為在此點上，形式主義是相對靈活的，甚至可以說形式主義在本體論上是中立的；然后在第四節，我們會重構一個可以回應上述問題的形式主義框架。

3 形式主義的本體論立場

被認為是典型的形式主義的觀點的，似乎是這樣的：數學的對象就是語言的字符，除此之外，并無它物，而數學知識則是“關于那些字符如何彼此關聯以及它們在數學實踐中怎樣被操作的知識”（[21]，第138 頁）。

這一觀點里所包含的，語言物項無所指這一點可能就是形式主義這個名稱的由來之一，同時或許也正是如此，使得形式主義與反實在論有了某種親緣關系。然而這只是非常粗略的概括。

不同的形式主義者確實都會表現出或者看起來持某種反實在論觀點，但是他們在程度上存在著區別，甚至可能是非常不同的，這一點或許可以從持有一些確定的本體論立場的學者對他們眼中形式主義的定位中反映出來。

有一些嚴格有窮主義者會把（提出規劃時期的）希爾伯特當作他們的“同路人”，比如，葉峰認為，“希爾伯特提出，有一個有窮主義數學，它的陳述可以被解釋為關于有限具體事物的陳述，特別是，關于有限具體事物的數量屬性與排列組合屬性的陳述，因此是有實在內容的數學”（[24]，第138 頁）；因此，在葉峰看來，作為形式主義者的希爾伯特持有的是部分實在部分反實在論的觀點，實在論的部分在于承認有窮的數學對象，盡管可能是在曲折的意義上的；而反實在論部分則是否定無窮對象的存在；當然，嚴格有窮主義者會否定大的有窮數目的實在性，但是作為有窮主義者則很可能并不會如此，但是至少，從嚴格有窮主義者的角度看，作為有窮主義者的希爾伯特所能承認的數學對象不會超出有窮物項。

另一端，一些實在論者會把某些承認更多數學對象實在性的學者劃歸為形式主義者。例如，郝兆寬與楊躍把科恩（P.Cohen）與謝拉赫都視作形式主義者13科恩是力迫法的發明者、邏輯學界唯一的菲爾茲獎獲得者；而謝拉赫則是邏輯學界唯一的沃爾夫數學獎獲得者，這兩位數學家都是數學實踐活動中的佼佼者，他們的觀點值得反思。，并把他們的觀點總結為：“一個集合論語言中的語句σ是真的當且僅當σ在ZFC 中可證”，特別的，認為他們持有的形式主義立場是與實在論的“柏拉圖主義”相對立的（[18]）；因此，至少一部分實在論者會認為像科恩與謝拉赫這樣的形式主義者所能承認的數學對象是ZFC 系統所承諾的，而在標準的形而上學解釋下，ZFC系統允許有任意大基數的集合，因此，這些形式主義者所承認的數學對象將是遠遠超出有窮物項的。

在本小節一開頭所引的觀點所對應的，被稱為是詞項形式主義，這種形態的形式主義在希爾伯特之前就已經出現，它是弗雷格所批評的對象（[21]，第139頁），從我們上面的討論中不難了解，這種觀點并不被后來的形式主義者所認同。

同詞項形式主義同樣“古老”的，是所謂的游戲形式主義。這一版本的形式主義認為“數學各分支中的印刷字符并沒有什么數學的解釋”，注意，它與詞項形式主義是不同的，因為后者至少“認為數學是關于其詞項的”（[21]，第140 頁）；游戲形式主義在本體論上更加激進，它所對應的是一種徹底的反實在論，即認為不存在任何的數、集合等等這樣的數學對象，顯然這也不會被后來的形式主義者認同。

二十世紀四十年代以后，被認為具有相對系統的形式主義思想的學者主要是科里。14這是夏皮羅（S.Shapiro）的觀點（[21]），不過這可能并不完全正確，因為更加晚近的自認或者被認為論述過形式主義思想的學者還有如加貝（M.Gabbay）等學者，只不過他們的思想似乎并不是相對純粹的形式主義的，而是與，比如虛構主義（Fictionalism）等交織在一起，更詳細的介紹請參看斯坦福哲學百科的詞條數學哲學中的形式主義（[14]）。科里持有反形而上學的立場（[14]），他認為，“數學不應該受任何（基本的形而上學假設以外的）假設的限制”（[21]，第165 頁），但是這并不是反實在論的；更確切地說，科里在本體論上是中立的，比如，“他非常樂意致力于一個無限的本體論，這個本體論假定是抽象的表達式類型”（[14]）。

從到目前為止的梳理中，我們似乎可以得出這樣的結論：形式主義并不必然導致反實在論，它可能并不那么支持實在論，但是也不會否定之，它應該是謹慎的，因此形式主義可以在本體論是中立的。

4 重構形式主義

在本節中我們會試圖重構形式主義框架；這一框架應該面向數學實踐，允許數學家們把一些概念視為是“理想元”，但是在本體論上又不做斷然的限制，同時這一框架應該免于哥德爾不完全性定理的“攻擊”。

重構的基礎是希爾伯特規劃，它是一個受到哥德爾不完全性定理“破壞”的形式主義框架，我們需要細致地整理希爾伯特的構想，這一工作會結合著與科里的相關思想的對比討論來進行。

科里從希爾伯特那里繼承下來的形式主義思想中主要有兩個基本概念：一是形式系統，二是元數學；可以認為這兩個概念張成了形式主義框架的基本架構。

所謂的形式系統是指形式化的公理系統。對形式系統的關注并不是在希爾伯特的第二個數學基礎研究時期才發生的，他的1899 年的名著《幾何基礎》就構造了現代數學的第一個真正嚴格的形式系統，他在這方面的思考和研究的時間還可以往前推，比如有學者曾談到，早在1891 年希爾伯特就這樣說過：“在一個真正的幾何學的公理化中你總能用‘桌子、椅子和啤酒杯’來代替‘點、直線和平面’。”（[21]，第147 頁）科里則認為，“隨著一門數學分支的發展，在其方法論上會變得越來越嚴格，結果是該分支在形式演繹系統中被編集成典”（[21]，第164頁）。也就是說足夠成熟的數學分支最終都會形成一個形式系統，科里進而“把這種形式化的進程（當）作為數學的本質”（[21]，第165 頁）。更細致而言，即使我們接受實在論，認為任何數學命題都非真即假，但是對那些真的數學命題，我們總需要把它們納入到一個形式系統中，即要么作為系統的公理，要么則是在一個形式系統中作為定理被推演得到。

形式主義的第二個基本概念是元數學，元數學在希爾伯特那里的要點是一致性證明。對希爾伯特規劃的一種工具主義（instrumentalism）的解讀是：希爾伯特把無窮數學當作“理想元”，通過證明“理想元”對有窮主義數學的保守性來為這部分數學辯護（[24]，第295 頁），這里的保守性指的是“如果借助于無窮數學可以證明某個有窮主義數學命題，那么在有窮主義數學中就可以證明該命題”15取自[24]，表述上有稍微的調整。；如果采用前述的約定，用PRA 表示有窮主義數學的形式系統，那么保守性的任務可以轉化為在PRA 中證明“理想元”對應的形式系統的一致性（[24]，第296–300頁）這樣就導出了通常所說的，元數學的主要任務是證明形式系統的一致性。

科里則認為“一個成熟的數學理論的論斷不應該被解釋為某一特定的演繹系統（形式系統）之中若干動作的結果，而應該是關于形式系統的論斷”（[21]，第165 頁），他明確寫道：“數學是關于形式系統的科學”16科里的論述（[3]），轉引自夏皮羅（[21]）。；關于形式系統、關于數學的數學研究正是元數學。由此可見科里對希爾伯特思想的某種繼承性，但是這不意味著科里只是對希爾伯特“錦上添花”似的發展。科里至少在兩個關鍵點上與希爾伯特存在著分歧。

第一點是，希爾伯特把元數學限制在有窮主義數學上17希爾伯特本人并未明確論述有窮主義數學的含義，自然也未給出其形式系統，一種較為常見的觀點是把原始遞歸算術PRA 視為有窮主義數學的形式系統，更加詳細的討論可參看[11,20,24]。，但是科里認為“元數學本身也是數學的一個分支，……也應該被形式化。元數學中的非有窮元結果通過建立元數學的一個形式系統而被納入考慮，……不會形成一個惡性無窮倒退”（[21]，第165 頁），因此并不需要在進行元數學討論時進行這種限制。科里在這一點上可能是對的，但是要注意到，希爾伯特在提出他的規劃時尚未出現哥德爾不完全性定理，因此希爾伯特對有窮性的限制可能是出于最大理想化的考慮，而并不是希爾伯特在數學本體論上的思想的反映18希爾伯特在[8]中確實有強烈的有窮主義哲學的色彩，但是希爾伯特的思想在不同的時期里并不那么固定。，因此希爾伯特很有可能會認同科里的觀點。

科里與希爾伯特的第二個分歧則是，希爾伯特注重在元數學中證明“理想”數學的一致性，但是科里“并不要求一個一致性的證明”（[21]，第166 頁）。科里在這一點上對希爾伯特的偏離可能是有問題的，盡管在哥德爾不完全性定理的背景下，希爾伯特的“一致性證明”需要換以“相對一致性證明”以及其他的一些關于形式系統的研究。

哥德爾不完全性定理表明，任何包含足夠多的算術的形式系統，如果它是一致的，那么它無法證明其自身的一致性，自然也無法證明比它更“龐大”的系統的一致性，因此希爾伯特原初的元數學目標確實不可能完成。不過，希爾伯特的“一致性證明”的受挫并不意味元數學的“消亡”，元數學的重要意義在于，它強調對數學的形式化，以及對形式系統的研究，這種研究是反思性的，一致性或者相對一致性只是其中的一個方面，盡管可能是最重要的方面之一；此外，我們還可以討論對一個數學命題的“辯護”恰好需要什么樣的公理，此即目前已經得到了豐富成果的反推數學（Reverse Mathematics，[19]）；邏輯學家弗里德曼（H.Friedman）另辟蹊徑，研究了需要大基數公理的有窮數學命題（[4]），這一工作有兩方面的元數學意義：其一，由此可以走向對常規數學完全的形式系統的找尋；其二，它也可以視為對那些新公理的某種辯護——屬于常規數學的有窮數學命題的獲取需要它們。

上面的討論使我們看到，盡管希爾伯特原初的“一致性證明”的元數學失敗了，但是，作為對數學的反思性研究的元數學仍然具有著強勁的生命力，因此它（們）仍然是形式主義的重要組成部分。

綜上，我們認為，形式主義仍然是一個有著獨特生命力的研究框架，它的核心“構件”是形式系統與元數學。各種形式系統一方面可以是對已有數學結果的系統化整理，另一方面，或許更加重要的是，可以以“隱定義”的方式引入“理想元”，在擱置對其本體論地位的爭論的前提下促發新的數學研究；而對形式系統的性質、形式系統之間關系等的研究則為典型的元數學工作。

5 形式主義視角下的多宇宙觀

在第三、四節里我們討論一種新的形式主義框架，它在本體論上是中立的，而在第二節中，我們也了解到多宇宙觀并不必然導向實在論，因此，將多宇宙觀納入到這種新的形式主義框架是可能的。在這一節里，我們將嘗試把基于多宇宙概念的幾方面的具體工作，納入到框架的合適的“位置”上去。

首先是獨立性研究，這方面的工作反映的是相應的形式系統的非完全性。自二十世紀六十年代以來，獨立性相關的工作在公理集合論研究中蔚為大觀。從形式主義的角度看，一個獨立性結果一般由兩個相對一致性證明組成：假設我們認為T是一個一致的理論，進入，如果我們獲得了兩個相對一致性命題Con(T)→Con(T+φ)以及Con(T)→Con(T+?φ)，那么就得到了φ相對于T的獨立性，即，我們必須承認，T既證明不了φ，也證明不了φ的否定，除非我們認為T是不一致的。多宇宙觀則為這種獨立性證明提供了“工業化”的程序：假設在多宇宙中有T的模型，如果能使用力迫法在多宇宙中構造T+φ的模型以及T+?φ的模型，即可獲得相應的獨立性結果。許多重要的獨立性研究都以這種方式完成。（[13]）

其次是新公理的搜尋。對于實在論者，自然不會僅滿足于ZFC 中的可證性，而是希望能夠獲取更強的新公理。對新公理的搜尋目前也是公理集合論的一個主要的研究方向。這方面的工作仍然是可以在新的形式主義框架下進行的：我們可以先把新公理所表達的視為理想元，然后去考察增加了新公理后的新的形式系統的豐富性，這是傳統數學一直在實踐著的方法。那么一個自然的問題是，什么樣的數學命題可以作為新公理的候選？前述的弗里德曼規劃是對這個問題的一種回應：為獲得具有某種獨立性的常規數學結果所必須的命題可能可以作為新公理的候選。這一進路是形式主義的。

對探究新公理問題的另外一個回應則改造自武丁的一個批評（[15,18]）。武丁認為19更詳細的介紹請參看[18]的第二節。，在假設武丁基數類是真類和Ω 猜想下，脫殊多宇宙真理觀只是“把整個集合宇宙的真歸結為這個宇宙的某個清晰片段的真”，因此“只是一種更為精致的形式主義”（[18]）。如前所述，那種把真視為某個固定的形式系統中的可證性的意象只是對形式主義的“卡通般”的描畫，新的形式主義框架自然不會限制于這種“片段的真理”，盡管它確實強調可證性，但是它允許有多種的形式系統，并且并不否定形式系統中使用到的理想元和理想命題可能的實在性，因此武丁的批評或許可以說是對形式主義的一個具體策略的駁斥，但是并未直接否定形式主義本身，相反，由武丁的批評可以導向對前述問題的這樣的一個回應：一個數學命題是脫殊絕對的或者在力迫下不變的可能是它可以作為新公理候選的一個必要條件，其理由恰恰在于，作為數學基礎的集合論應該是對數學的最基本、最普遍的描畫，因此，集合論公理應該具有某種絕對性。

最后，就如希爾伯特規劃促生了證明論那樣，在新的形式主義的框架下，對于多宇宙的研究也在形成新的數學實踐。例如，前面介紹過的多宇宙觀的主要倡導者，哈姆肯斯與弗里德曼都與他們各自的合作者進行了系統性的研究20前一方面的工作請參看[22]，后一方面的工作請參看[1,2]。，這方面的工作也得到了其他研究者的跟隨與呼應21比如，最近文丘里（G.Venturi，[12]）將羅賓遜無窮力迫法應用到脫殊多宇宙上，以對脫殊模型的選取進行代數探討。。

6 結束語

數學對象，或者更一般的集合對象的實在性一直是數學哲學中爭論的焦點。形式主義常常被與反實在論相關聯著，但是這并不確切，許多擁護形式主義的學者至多只是持有部分實在部分反實在觀，而這在數學發展史上是非常常見的。更重要的是這一斷定或許是偏離形式主義的真正要點的：形式主義的真正要義在于注重形式系統、注重元數學；它注意到了數學實踐中存在著理想元和理想命題這一事實，從而在本體論上采取相對謹慎的態度，但是這并不意味著它對那些理想元持反實在論的看法，事實上，理想元、理想命題的提出恰恰是人類創造力和想象力的產物，它們是否最終被接受依賴于它們是否提供了深刻的洞見、是否帶來了豐富的數學成果，而這與形式主義對數學實踐的注重是一致的。

多宇宙觀是數學基礎中新近出現的一組觀點，它（們）的特點在于其并非只是純哲學概念性的，與之對應著精確的數學概念以及豐富的研究課題，它并不必然導向實在論立場，因此可以容納到新的形式主義框架中去，在這種改造后的形式主義的框架下，它會為當前的數學實踐提供認識論上的理據，同時也像希爾伯特規劃樣式的形式主義那樣，創造新的數學實踐形式。形式主義以及多宇宙觀最終都是“為了人類心智的榮耀”。