內角和、外角和的那些事兒

歐小平

1634年，法國有一個叫帕斯卡的12歲男孩，他的父親是一位受人尊敬的數學家。但他父親錯誤地認為，學習數學對帕斯卡的身心健康有害，所以，他把家里所有的數學書都藏起來，不讓帕斯卡看，甚至不允許他的朋友在帕斯卡面前談論數學。父親只讓帕斯卡讀很多古典文學書籍，希望帕斯卡能學好文學。

可“有意栽花花不開，無心插柳柳成蔭”，帕斯卡父親的這些做法，反而激發了帕斯卡對數學強烈的好奇感和探究的興趣。他開始偷偷地學習數學。

有一天，他問父親：“幾何學是什么？”他父親只是簡單地回答說：“幾何學是教人們畫出正確而又美麗的圖畫的學科。”于是帕斯卡拿著粉筆，在地上畫了各種幾何形狀。畫著畫著，12歲的帕斯卡突然發現，不論是大的三角形，還是小的三角形，抑或是不同形狀的三角形，它們的內角和總是180°。為了證明“任意三角形的內角之和為180°”這一規律，年僅12歲的帕斯卡用更嚴謹的思維證明了：一個任何形狀的銳角三角形都可以沿著它的高分為兩個直角三角形，而兩個直角三角形內角的角度之和為180°+180°=360°，但由于其中的兩個直角正好組合成了一條直線，因此任意三角形的三個內角之和為360°-90°-90°=180°。用同樣的方法可以證明出鈍角三角形的三個內角之和也是180°。

當帕斯卡把這個發現告訴父親時，父親非常興奮，主動把所有的數學藏書都拿出來給帕斯卡看。在父親的精心教育下，帕斯卡很早就掌握了歐幾里得幾何學。他甚至獨立地發現了歐幾里得幾何學中的前32個定理，并且順序是正確的。后來，帕斯卡通過不斷地學習和探索，終于成為一名世界聞名的數學家、物理學家和哲學家。

數學家帕斯卡讓我們為之震驚，他年紀輕輕就能夠發現如此重要的規律。美籍華裔數學家陳省身也讓我們驕傲和引以為豪。他是當代著名的數學家，非常關心祖國數學科學的發展，被譽為“中國年輕數學學子的總教練”。

1980年，陳省身教授在北京大學的一次演講中語驚四座：“人們常說三角形內角之和等于180°，但那是不對的！”大家都感到非常愕然。究竟怎么回事？任意三角形三個內角之和等于180°，這不是連小學生都已經知道了的數學常識嗎？陳省身教授面對大家的疑問，給了我們一個非常精辟的解答：“說三角形的內角和是180°是錯誤的，不是說這個事實是錯誤的，而是說這種看待問題的方式是錯誤的。我們應該說三角形的外角和是360°。”

如果我們把目光僅僅盯住內角，那就只能看到三角形三個內角之和是180°，四邊形的四個內角之和是360°，五邊形的五個內角之和是540°……n條邊的多邊形內角之和是（n-2）×180°。

但是，如果我們來研究一下多邊形的外角和，情況又會怎么樣呢？通過研究，你就會發現三角形的外角之和是360°，四邊形的外角之和是360°，五邊形的外角之和也是360°……任意n條邊的多邊形的外角之和都是360°。這是一個非常簡單的結論，它概述了各種情況。用一個與n無關的常數代替與n有關的計算公式，得到了一個更一般的規律。

想象一只螞蟻圍繞多邊形的邊界繞圈子爬行，每次經過一個頂點時，它的方向都會改變一次，而且改變的角度正好是頂點地方的外角。當螞蟻爬完一圈又回到原點，方向和出發時是一樣的，而角度變化的總和正好是360°。

這樣看問題，不僅可以直觀地解釋多邊形外角之和等于360°的一般規律，而且可以立即將我們的目光引向更廣闊的世界。

一條凸的閉曲線——卵形線，它沒有內角也沒有外角。但當一只螞蟻在卯形線上爬行時，爬行方向會不時地改變，爬完一圈，角度變化之和是360°。

“外角和為360°”，此規則適用于閉合曲線！只是在表述的時候要用“方向改變量之和”來代替多邊形中的“外角和”的說法罷了。

數學家波萊爾說：“數學家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個一般的公式來解決許多特殊的問題。”即從共同的、眾所周知的事實出發，逐步深化和普及，挖掘出廣泛適用的深刻規律。從這里，我們不難看出數學家透徹敏銳的眼光，以及數學家對真理窮追不舍、孜孜以求的執著精神。