溯洄從之，一波三折

陳凱

蒹葭蒼蒼，白露為霜。所謂伊人，在水一方。

筆者何以突發雅興，大家且看下面發生在實際教學中的需求。

在人工智能的圖像或聲音識別任務中，常會遇見卷積運算的環節。所謂卷積運算，是將特定的卷積核與卷積區域進行點乘然后取和，從計算過程上看并不復雜，而不同卷積核對圖像特征提取的效果，也可以很直觀地展現出來，網絡上很容易找到大量的卷積運算及特征提取的實際案例，也可以下載卷積運算的代碼，手動更改卷積核，并觀察特征提取的效果。

例如，在GitHub上可以找到名為“python-conv2d”的代碼，下載后就能輕松定制卷積核提取圖像特征，圖1和圖2所展示的就是對圖片進行邊緣提取前后的畫面，而圖3則是用來進行邊緣提取的卷積核。

卷積核的點乘計算過程簡單，相關資料很容易找到，本文不做展開，然而，教學中可能遇到的一個大問題，是解釋“何以各種卷積核能達到特定的特征提取的效果”。這個問題并不容易回答，因為在解釋過程中，必然要回溯到濾波器的概念，進而再回溯到與信號處理相關的若干數學概念。這便讓筆者想起《蒹葭》中的詩句來：

溯洄從之，道阻且長。溯游從之，宛在水中央。

盡管道阻且長，但抱著不懼波折、追根究底的精神，盡可能親自回溯源頭，哪怕是遠觀佳人綽約風姿，總好過道聽途說、人云亦云。本文將要介紹的幾個小實驗，或可成為溯源之舟。

● 簡單的疊加，不簡單的分離

為了能夠更簡單地展現出特征提取的原理，就要先創造出盡可能簡單的數據。相較于數據量龐大的圖像和聲音，可以試著創建一系列項目數有限又能展現出波的圖樣的數據，將數據放置在一維的存儲空間中，利用數據的變化，來解釋特征提取的意義與方法。這里使用電子表格這種簡單且直觀的工具，創建兩個頻率不同的正弦波，然后再將兩個波進行疊加。

①使用拖拽功能，在電子表格的第一行生成一個差值為10的等差數列，數列項可以略多一些，如從0、10、20、3一直到720，此數據用以反映正弦波在橫軸上角度的變化。

②使用公式“=A1*3.14159/180”，

在第二行拖拽生成對應第一行角度值的弧度值。

③使用公式“=2*SIN（A2）”，在第三行拖拽生成正弦波Y=2*SIN（X）的函數的值，為敘述方便，稱為正弦波A。以上過程的部分數據和波形圖如圖4、圖5所示。

④使用與上面類似的方法，生成正弦波B的數據和圖像，正弦波B的角度數據項差值為60，函數為Y=SIN（X），也就是說，生成的正弦波B的頻率是正弦波A的6倍，振幅是正弦波A的一半。由于角度數值的差值比較大，所以這個正弦波看上去不太平滑，但不影響后續操作。部分數據和波形圖如圖6、圖7所示。

⑤使用拖拽功能對兩個正弦波相加，得到如圖8所示的部分數據和如圖9所示的波形，稱為波C，當然，這不再是一個正弦波。

接下來的任務，當然就是假裝不知道波C是如何產生的，而要想辦法對波C進行某種操作，使得波C中不同頻率的波形（特征）能重新顯現出來。可以發現，雖然兩個波的疊加產生新的波形很容易，但若要將一個疊加而成的波分離開來，卻麻煩多了。例如，為了讓高頻率的波形（即正弦波B）重新呈現出來，就要過濾掉低頻率的波，反之亦然。可以很容易看出，所謂特征提取，其實與濾波有關。因篇幅有限，本文只圍繞高頻信號的提取，討論相關教學策略。

● 簡單的假設，不簡單的過程

想一想，為了實現高頻信號提取的任務，可以采用哪些方法？教學中，不妨鼓勵學習者展開一番頭腦風暴。

一個容易想到的解決思路是：既然當前波C是兩個波的疊加，那么，只要將當前的波C減去一個低頻的平滑的波形，就可以獲得高頻的波B的圖樣了。從直觀上看，這個低頻的波的形態大致如下頁圖10中的虛線所示。

雖說大家心知肚明，這個低頻波的圖樣應當和Y=2*SIN（X）函數圖像有關，但這里卻只能繼續玩假裝不知道的游戲，因為要設法讓計算機自己找到能契合圖樣的數據，而計算機當前可以利用的，就只有波C的數據。

開展頭腦風暴所獲得的解決方案可能有：對鄰近連續的幾個數據取平均值，或許能獲得一個低頻的平滑的波X;不停地執行將“波峰”削除、“波谷”填滿的操作，或許能獲得一個低頻的平滑的波X;找出當前波的局部最大值和局部最小值，取局部最大值和局部最小值的平均值，利用這些平均值或許可以描畫出一個低頻的平滑的波X……然后，將波C減去這個新生成的低頻的波X，觀察能否提取出高頻的信號。

第一個方案實現起來比較簡單，但較難獲得平滑的低頻波形。下頁圖11分別是通過用鄰近5個數據取平均值獲得的低頻波，以及用波形數據相減提取出來的高頻波，提取后，高頻的波形形態較好，但仍然有一定量的低頻信號混雜其中（宏觀起伏仍較明顯），總體效果尚可。

第二個方案中，為了削峰填谷，對每三個數據，取左側和右側的數據計算平均值，對獲得的新的數據再反復進行迭代操作獲得低頻波。圖12是進行四次削峰填谷的迭代操作后，獲得的低頻波和提取出來的高頻波。效果看上去不錯。

第三個方案中，可以在電子表格中使用IF函數，通過比較大小獲得局部最大值和局部最小值，然而麻煩之處是，每兩個局部最大，或者每兩個局部最小的數據，它們中間的數據應該如何填充？如果按電子表格中容易實現的方法，按鄰近的局部最大值或局部最小值填充進去，獲得的波就不可能是平滑的。操作結果如圖13所示，特征提取的效果十分勉強。

若是要改進方案三，使得低頻信號變平滑，就要借助如插值、函數擬合之類的方法。在電子表格中實現是比較麻煩的。

在教學中，為了培養學習者自主思考和探索的精神，教師應鼓勵學習者大膽給出可能的解決方案，并盡力嘗試用當前已有的工具，驗證在具體的解答過程中，哪些方案更具有可行性，而不是直接將解決方案拋給學習者。

● 簡單的表象，不簡單的幕后

在學習者充分思考了各種假設，并加以實施驗證之后，教師最后拋出更優的方案，才更能促人思考。前文中提到可用取均值的方法來獲得低頻平滑的波，但正如圖11所示，生成的低頻波的圖樣一波三折，不是特別理想。不過，雖有不盡如人意之處，卻能成為進一步研究的線索。

之所以采用取均值的方法難以使波形平滑，從直觀上看，是因為局部的波峰波谷過于突出，若是在取均值時，能降低突出部分的權重，加強非突出部分的權重，或許能使生成的低頻波形的平滑度有所提高。

例如，對于波形中的5個數據，按“=A1*0.25+B1*0.2+C1*0.1+D1*

0.2+E1*0.25”公式獲得C2表格中的數據（如下表）。

若當前采樣點處于局部波峰或局部波谷處，則公式的作用顯而易見。但如果當前采樣點不巧正在局部波峰和局部波谷的中間處，會不會反而將波峰和波谷處數據放大？對照波形圖樣計算一下就會知道，由于高頻信號的周期性變化，按每5個數據取值，就算波峰和波谷數據同時被放大，在相加后，波峰處被放大的數據也會和波谷處被放大的數據相抵消。

于是，可以用拖拽的方法，每5個數據生成一個加權平均值，并按生成的一系列加權平均值生成波形，該波形圖樣看上去相當平滑了（如上頁圖14）。用此波形，對波C做減法后，得到的高頻波的圖樣也相當不錯（如圖15）。

到了這一步，大家有沒有想到，既然可以用取加權平均的方法獲得低頻的波形，那么，能否用同樣的方法，直接把高頻的波形提取出來？試一下就知道果然可以。例如，設“=A1*（-1）+B1*2+C1*（-1）”這樣的公式，其思路是，將當前位置的數據權重加強，同時將當前位置兩側的數據權重減少。雖然說方法十分簡單，但實施效果之出眾，簡直令人嘆為觀止。部分數據及波形圖如圖16所示。

仔細觀察就會發現，這個所謂的加權平均法，其實就是如假包換的卷積運算。這樣一來，就只剩下一個問題：加權平均法中的“權”的取值，究竟應該怎么取才最為合理？這個地方，就立下了一個未來通往“傅里葉解析”這門課程的路標了。但對于大部分基礎教育階段的學習者來說，在人工智能的學習中，他們能夠看到路標的存在并理解路標指向路徑的意義，就算是完成學習任務了。在實際的特征提取任務中，通過反復試錯，或者團隊暴力搜索，再加上一點推理和空間想象力，要為加權平均法找出一套合理的權重值，并不困難，在課堂上，完全可以利用充足的人力，開展一項尋找合理權重值的挑戰游戲。