一類基于四面體組合單元的模塊化構架式可展開天線機構

郭金偉，黃志榮，許允斗, 3，郭路瑤，姚建濤, 3，趙永生, 3,*

1. 燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島 066004 2. 中國空間技術研究院 西安分院，西安 710100 3. 燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島 066004

可展開結構為一些能夠從折疊構型轉換為預定的展開形式，并且能夠承受一定載荷的穩定結構[1-2]。大型可展開機構由于其在存儲空間的優異性能，被廣泛應用于航天任務中，如可展開桅桿、天線和太陽能電池板等[3]。其中，構架展開式天線[4]以其結構幾何單元一致性、重復性、高剛度、靈活的幾何設計特點和較高的表面精度，在航空航天領域得到了成功的應用，并占有重要的地位。近年來，隨著航天事業的高速發展，對執行航天任務的大型可展機構需求更加迫切，并提出了越來越高的要求，獲得高精度、高可靠性、大折疊比的新型可展機構，是當今國際上的一個研究熱點[5]。

構架式可展機構由大量的可展開基本單元通過一定的連接方式組合而成，針對可展單元，國內外學者提出并研究了多種新構型，部分已成功應用于大型可展天線。高慧芳等[6]提出一種新型對稱可展耦合機構，該機構基于正十二面體機構的對稱性，且僅有一個移動自由度。Xu和Guan[7]研究一種基于四面體可展單元的構架式天線，提出構-電綜合設計方法對該類型天線的性能進行分析。Sattar和Wei[8]對一種口徑達13 m的六邊形模塊化構架式天線進行運動學分析，通過閉合環路方程和坐標變換矩陣，建立各桿件轉角和節點位置、速度的關系等式，獲得天線的運動軌跡。文獻[9-11]分別提出了一種單自由度四棱錐平板式可展單元和一種新型的三棱柱可展機構。李端玲等[12]研究了一種基于剪叉機構的球面可展結構及其運動特性。文獻[13]分析了一種全轉動副四面體可展單元，針對該機構的多環耦合特性，提出了一種自由度分析新方法。文獻[14-17]系統地研究了具有少自由度、大折疊比的模塊化可展天線的構型綜合、結構優化及運動特性等。基于現有文獻提出的可展單元大部分為單自由度機構，其中部分機構并不能實現理想的完全收攏狀態，文獻[18-20]分別提出一種單自由度3R-3URU四面體可展單元機構、多自由度3RR-3URU組合單元機構，應用在構架式可展天線上，能夠實現完全收攏，但只能形成對稱球面可展天線機構。而文獻[21]提出的3UU-3URU基本單元及其組合單元既能實現完全收攏，也能組網形成任意口徑、任意曲率的可展天線機構，但其自由度與運動副數目太多，可靠性低。

現有文獻提出了多種新構型應用于不同類型的可展天線，豐富了中國航天領域中可展結構的多樣性，目前得到在軌應用的構架式可展天線機構大部分是基于四面體單元，但仍存在機構復雜、自由度數目太多等問題，目前罕見能夠實現較少自由度、大收攏率的理想化構架式可展天線結構。因此，本文針對四面體構架式可展天線機構，提出兩種基于四面體單元機構構造的新型模塊化可展天線機構，并與現有四面體構架式天線機構進行對比分析，主要包括自由度和收攏特性對比分析。旨在豐富四面體構架式可展天線構型設計，為實現較少自由度、大收攏率的構架式可展天線的在軌應用提供理論基礎與前期技術支撐。

1 一類模塊化構架式可展天線機構

模塊化結構設計可重復性高、可拓展性強，通過設計模塊大小和數量形成任意尺寸的大型可展結構，且在一定程度上可降低整體結構的復雜性，減少自由度數目。這里基于3RR-3RRR四面體組合單元[13]和3RR-3URU四面體對稱組合單元[18-19]，提出兩種模塊化機構。

1.1 基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化機構

基于3RR-3RRR四面體可展單元的組合單元如圖1所示，該機構由3個3RR-3RRR四面體單元1、2和3組成。根據文獻[13]，該機構僅有一個移動收攏自由度。基于3RR-3RRR四面體單元的組合單元構成的模塊化機構如圖2所示，該機構由3個圖1所示組合單元分別通3個虎克鉸連接周邊花盤形成閉環三角形構成，該閉環三角形為平面三角形，是由3個虎克鉸中心連線構成。虎克鉸(一個虎克鉸等效為兩條軸線相交的轉動副軸線)軸線方向為：虎克鉸U1連接組合單元①和③，虎克鉸U2連接組合單元①和②，虎克鉸U3連接組合單元②和③。其中，虎克鉸U1的一條軸線U11平行于花盤B、C之間連桿軸線方向，另一條軸線U12平行于花盤A、F之間連桿軸線方向；虎克鉸U2的一條軸線U21與U11共線，另一條軸線U22平行于花盤D、E之間連桿軸線方向；虎克鉸U3的一條軸線U31與U22共線，另一條軸線U32與U12共線。為了增加機構的穩定性，添加3條邊界URU約束支鏈使反射面形成閉環，以約束支鏈1為例，該約束支鏈與組合單元①和②形成封閉三角形，構成該支鏈的兩根連桿等長，其中間轉動副軸線沿封閉三角形平面且垂直于連桿軸線，兩端U副靠近組合單元的兩個轉動副與中間轉動副平行，另兩個轉動副分別沿兩連桿軸線方向。3個組合單元模塊形成閉環機構后，組合單元機構內部運動特性不變。

圖1 基于3RR-3RRR四面體的組合單元機構Fig.1 Combination unit based on 3RR-3RRR tetrahedron

圖2 基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化 機構Fig.2 Modular mechanism based on 3RR-3RRR tetrahedral combination unit

1.2 基于3RR-3URU四面體組合單元的模塊化機構

基于3RR-3URUR四面體可展單元的組合單元如圖3所示，該機構由3個3RR-3URU四面體單元1、2和3組成。根據文獻[19]，基于3RR-3URU四面體單元的對稱組合單元具有7個自由度，反射面花盤除具有向機架花盤A的移動收攏自由度，還具有調姿自由度。由于該機構只有滿足對稱條件下才能實現收攏和調姿，實現完全收攏，因此，只能組成大型球面天線機構，當組成拋物面天線機構時存在一定局限性。基于3RR-3URUR四面體單元的對稱組合單元構成的模塊化機構如圖4所示，該模塊化結構由3個圖4所示的組合單元亦是分別通3個虎克鉸連接周邊花盤形成閉環三角形構成，不同的是虎克鉸軸線方向。如圖所示，其中，虎克鉸U1的一條軸線U11垂直于三角形平面，另一條軸線U12平行于花盤B、C之間連桿軸線方向；虎克鉸U2的一條軸線U21垂直于三角形平面，另一條軸線U22平行于花盤D、E之間連桿軸線方向；虎克鉸U3的一條軸線U31垂直于三角形平面，另一條軸線U32平行于花盤F、A之間連桿軸線方向。為了增加機構的穩定性，添加三條邊界URU約束支鏈使反射面形成閉環，該約束支鏈中運動副軸線布置與圖2中3條約束支鏈運動副軸線布置一致。3個組合單元模塊形成閉環機構后，組合單元機構內部運動特性不變。

圖3 基于3RR-3URU四面體的對稱組合單元機構Fig.3 Symmetrical combination unit based on 3RR-3URU tetrahedron

圖4 基于3RR-3URU四面體對稱組合單元的 模塊化機構Fig.4 Modular mechanism based on 3RR-3URU tetrahedral symmetrical combination unit

2 模塊化可展天線機構自由度分析

2.1 基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化機構自由度分析

基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化機構為空間多閉環機構。首先，拆除三條邊界URU支鏈，由于3RR-3RRR四面體組合單元具有一個確定的自由度，所有花盤之間僅實現姿態不變的相對移動，僅考慮中間三角形機構，花盤B和C之間的運動為相對移動，則兩者之間可等效為一個移動副，同理，A、F，D、E之間同樣可等效為移動副連接。如圖5所示。顯然，與所有轉動副軸線均垂直的約束力偶為該機構的公共約束，根據G-K公式，該三角形機構的自由度數目為

5×(6-6-1)+9=4

(1)

式中：M為機構的自由度數；d為機構的階數，且d=6-λ，λ為機構的公共約束數；n為包含機架在內的構件數；g為機構所含運動副個數；fi為第i個運動副具有的單自由度數；v為冗余約束數；ξ為局部自由度數。

圖5 中間三角形機構的等效機構Fig.5 Equivalent mechanism of intermediate triangular mechanism

圖6 中間三角形機構的同步收攏運動示意圖Fig.6 Synchronous folding motion schematic of intermediate triangular mechanism

3個組合單元模塊形成閉環機構后，組合單元機構內部運動特性不變。復原三條邊界URU支鏈，僅考慮移動收攏運動，圖2所示機構可等效為圖7所示機構。圖7中，Uab1和Uab2分別表示連接結點b處虎克鉸的兩條轉動軸線，Uab3和Uab4分別表示連接結點a處虎克鉸的兩條轉動軸線，其下標ab表示該支鏈兩端連接的節點。

圖7 圖2 所示機構的等效機構Fig.7 Equivalent mechanism of the mechanism shown in Fig.2

根據螺旋理論[22]，每條URU支鏈提供一個平行于中間轉動副軸線的約束力，只限制了支鏈兩端連接花盤在該方向的相對移動，如圖8所示，當在fF之間的移動副上添加驅動，使f移動到f′，根據機構的約束關系，a將移動到a′，在ab之間URU支鏈的約束作用下，a和b的移動運動同步相關，因此，b將移動到b′，同理，其他位置節點也可確定。因此，3條URU支鏈中，只有兩條支鏈的約束作用使得周邊花盤節點的移動運動同步，而另外一條(如ef支鏈)提供的約束為虛約束，不起作用。在3個組合單元模塊中，各支鏈的移動收攏運動為同步運動，因此，在單驅動作用下，閉環ABCDEF和閉環abcdef也將同步向三角形中心移動收攏。

圖8 圖7所示機構的同步收攏運動示意圖Fig.8 Synchronous folding motion schematic of the mechanism shown in Fig.7

考慮到組合單元模塊的調姿運動，當拆除三條邊界URU支鏈時，3個組合單元模塊能夠分別繞U副軸線轉動，而當添加三條邊界URU支鏈時，組合單元模塊的3個繞各自軸線自由轉動的運動變得相關。根據單閉環約束條件，在閉環ABba中，各運動螺旋滿足：

(2)

已知主動關節速度ωU11和vP1，則式(2)化簡為

(3)

將式(3)變形為

Jω=-Q

(4)

式中：

綜上所述，3條邊界URU支鏈引入2個約束，基于3RR-3RRR四面體單元的組合單元構成的模塊化機構具有的自由度數目為4-2=2。其性質為同步移動運動和組合單元模塊的同步調姿運動。

2.2 基于3RR-3URU四面體對稱組合單元的模塊化機構自由度分析

根據上述對基于3RR-3RRR四面體單元的組合單元構成的模塊化機構自由度分析方法，拆除3條邊界URU支鏈后，3個組合單元分別通過虎克鉸連接，每個組合單元本身仍具有7個自由度，運動特性不變。僅考慮中間的三角形機構，如圖9所示，在該三角形機構中，以花盤A為例，根據組合單元本身的自由性質，花盤A能夠繞與其所連腹桿的轉動副軸線轉動實現調姿(該轉動副軸線垂直于腹桿軸線且與花盤A所在四面體單元底部三角形外接圓相切)，為了保證該運動的存在，根據反螺旋理論，連接花盤AB的支鏈U1所提供的約束螺旋只能是垂直于該轉動軸線的約束力偶或與該轉動軸線共面的約束力。經計算，花盤之間所連虎克鉸提供的約束螺旋系為兩個被連接花盤的約束螺旋系，僅考慮花盤的調姿運動時，3個虎克鉸僅僅發揮了連接3個組合單元的作用，并不會影響花盤的調姿運動，這也是模塊化設計的初衷。

圖9 中間三角形機構Fig.9 Intermediate triangular mechanism

復原三條邊界URU支鏈，每條URU支鏈提供一個沿URU支鏈中3個轉動副軸線方向的約束力，僅限制了支鏈兩端連接花盤在該方向的移動，不影響花盤的轉動調姿，因此，由3個基于3RR-3URU四面體單元的對稱組合單元構成的模塊化結構具有的自由度數目為7×3-3=18。該結構能夠實現同步移動收攏和花盤的調姿運動，最終實現完全收攏。

2.3 基于兩種組合單元的模塊化機構仿真分析

基于Adams動力學仿真軟件對基于2種不同組合單元的模塊化天線機構進行仿真分析。機構在完全展開狀態，同步桿均處于完全伸直狀態，為邊界奇異位形，因此，仿真分析之前需要對模型進行避奇異處理，在每條同步桿的中間鉸鏈處添加相同的驅動，使同步鉸鏈產生微小轉動，避開奇異位形。根據機構的自由度數目為使機構具有確定運動所需的驅動數。根據上述自由度分析，分別對兩種模塊化結構添加驅動，驅動數至少等于自由度數目。基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化天線收攏過程如圖10所示。

圖10(b)中，選擇組合單元的一個同步鉸鏈添加收攏驅動，添加驅動局部放大圖如圖10(c)所示,其值為1 d*time；選擇連接組合單元的虎克鉸的一條軸線添加調姿驅動，添加驅動局部放大圖如圖10(d)所示，其值為0.08 d*time。其中d*time為驅動速度單位，表示每秒轉動的角度值。通過IF函數設置驅動使機構實現先收攏后調姿。由于基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化天線具有一個同步收攏運動和一個同步模塊調姿運動，因此，在任意一條同步桿的同步鉸鏈添加轉動驅動，在任意一條虎克鉸軸線添加轉動驅動均可以使機構實現圖10所示的收攏過程。

圖10 基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化天線 機構收攏過程Fig.10 Folding process of modular mechanism based on 3RR-3RRR tetrahedral combination unit

測量中間三角形機構的3條同步支鏈中間轉動副轉角在收攏過程中的變化情況如圖11所示，3個虎克鉸的6條轉動軸線轉角變化如圖12所示。

圖11 中間三角形機構的同步鉸鏈轉角Fig.11 Synchronous hinge angless of intermediate triangular mechanism

圖12 虎克鉸轉角Fig.12 Hooker hinge angles

根據圖11和圖12，0～82 s為收攏階段，且為同步收攏，82～85 s為模塊調姿階段，且為同步調姿。驗證了理論分析正確性。由于基于3RR-3RRR四面體組合單元本身只能實現移動收攏運動，不能實現調姿運動，因此，收攏后的機構背面花盤比較分散，其組成的模塊化機構亦不能實現完全收攏。

基于3RR-3URU四面體對稱組合單元的模塊化天線收攏過程如圖13所示。圖中，根據理論分析中自由度數目和性質，在機構中共添加了18個驅動，驅動添加位置如圖13(b)所示，每個組合單元驅動數目為6，收攏驅動添加在背面花盤和腹桿相連的轉動副，驅動添加局部放大圖如圖13(c)所示；調姿驅動添加在反射面花盤和腹桿相連的轉動副，驅動添加局部放大圖如圖13(d)所示。收攏驅動和調姿驅動值均為1 d*time。通過IF函數設置驅動使機構實現先收攏到位，再花盤調姿，直至完全收攏。

圖13 基于3RR-3URU四面體組合單元的模塊化天線 機構收攏過程Fig.13 Folding process of modular mechanism based on 3RR-3URU tetrahedral combination unit

測量中間三角形機構的3條同步支鏈兩端所連花盤的相對位移在收攏過程中的變化如圖14所示，以一個周邊花盤為例，選取ZYX歐拉角描述該花盤的姿態變化，如圖15所示。

圖14 中間三角形機構中花盤間相對位移Fig.14 Relative displacement between nodes in intermediate triangular mechanism

圖15 周邊花盤姿態變化Fig.15 Orientation change of peripheral node

根據圖14和圖15，0～17 s為收攏階段，且為同步收攏，花盤姿態不變，17～21.5 s為反射面花盤調姿階段，直至所有花盤平面均處于同一(水)平面，機構實現完全收攏。驗證了理論分析正確性。

3 四面體構架式可展天線機構收攏特性

基于四面體類構架式可展天線機構，除自由度數目及性質不同，收攏率大小也是其性能評價的重要分析指標之一。本節將分別計算基于四面體的模塊機構和非模塊化機構的收攏率。

3.1 基于四面體組合單元的模塊化機構

由3個基于3RR-3RRR四面體單元的組合單元構成的模塊化機構和由3個基于3RR-3URU四面體單元的對稱組合單元構成的模塊化機構在完全展開狀態時的三維模型如圖16所示，該兩種機構在收攏末態時的三維模型分別如圖17和圖18所示。每個組合單元模塊，上表面花盤中心均處于同一拋物面上，且花盤平面分別平行于中心的與拋物面交點的切平面，該模塊化結構為通過小型拋物面和三角形平面組網形成較大型及大型構架式曲面可展天線反射面，通過改變組合單元反射面花盤中心所在平面與三角形平面之間的夾角及組合單元模塊的數量，形成不同曲率、不同口徑的構架式曲面可展機構。

圖16 基于2種不同組合單元的模塊化機構在完全 展開狀態三維模型圖Fig.16 Three-dimensional model of modular mechanism in fully deployed state based on two different combination units

圖17 基于3RR-3RRR四面體組合單元的模塊化 機構收攏末態Fig.17 Folded state of modular mechanism based on 3RR-3RRR tetrahedral combination unit

圖18 基于3RR-3URU四面體對稱組合單元的模塊化 機構完全收攏末態Fig.18 Folded state of modular mechanism based on 3RR-3URU tetrahedral symmetrical combination unit

基于兩種組合單元的模塊化機構分別具有兩種極限位型：完全展開位型和完全收攏位型，這兩種位型為機構的兩種邊界奇異位形。在兩種狀態下，利用機構所占空間體積最大和最小，二者比值為機構的收攏率。經計算，由3個基于3RR-3RRR四面體單元的組合單元構成的模塊化結構，其收攏率λ1為

(5)

式中：V0和V1分別為機構完全展開和收攏時所占空間的體積；D0、d0和h0分別為機構完全展開時反射面花盤的包絡圓直徑、背面花盤的包絡圓直徑、反射面和背面之間的最大距離，D0=2.174 m，d0=2.168 9 m，h0=0.665 m；Df1、df1和hf1分別為機構收攏時反射面花盤的包絡圓直徑、背面花盤的包絡圓直徑、反射面和背面之間的最大距離，Df1=0.357 4 m，df1=0.56 m，hf1=0.631 m。

由3個基于3RR-3URU四面體單元的對稱組合單元構成的模塊化機構，其收攏率λ2為

(6)

式中：V2為機構完全收攏時所占空間的體積；Df2、df2和hf2分別為機構收攏時反射面花盤的包絡圓直徑、背面花盤的包絡圓直徑、反射面和背面之間的最大距離，Df2=0.354 m，df2=0.362 m，hf2=0.62 m。

3.2 基于3RR-3RRR四面體單元的非模塊化機構

基于3RR-3RRR四面體單元的非模塊化機構在完全展開和收攏狀態時如圖19和圖20所示。為了與模塊化機構進行對比，該非模塊化機構在完全展開時，機構所占空間體積與模塊化機構在完全展開狀態一致，計算該非模塊化機構的收攏率λ3為

(7)

式中：V3為機構完全收攏時所占空間的體積；Df3、df3和hf3分別為機構收攏時反射面花盤的包絡圓直徑、背面花盤的包絡圓直徑、反射面和背面之間的最大距離，Df3=0.258 m，df3=0.708 m，hf3=0.657 m。

圖19 基于3RR-3RRR四面體單元的非模塊化 機構在完全展開狀態三維模型圖Fig.19 Three-dimensional model of non-modular mechanism based on 3RR-3RRR tetrahedral unit in fully deployed state

圖20 基于3RR-3RRR四面體單元的非模塊 化機構收攏末態Fig.20 Folded state of non-modular mechanism based on 3RR-3RRR tetrahedral unit

4 四面體構架式模塊化與非模塊化可展天線機構對比分析

在本文情景下，現有四面體構架式可展天線機構大多為非模塊化設計，之所以稱之為非模塊化設計，是由于大型機構均為由多個不同的四面體單元通過一定連接方式(共用連桿和花盤等)構成，且單個四面體單元不能表征大型機構。而本文提出的一類模塊化機構由多個具有相同特點的組合單元模塊構成，每個單獨的模塊單元均能表征其構成的大型模塊化機構的特征。

現有四面體構架式可展天線機構主要為基于四面體3RR-3RRR[13]、3RR-3URU[18-19]和3UU-3URU[21]的非模塊機構設計[23]，由于文獻[18-19]提出的基于3RR-3URU的非模塊化機構只能為球面可展天線，不能形成任意曲面天線，在此不作分析比較。本文提出的兩種模塊化機構與現有非模塊化機構相比，其自由度與收攏率如表1所示。

表1 模塊化與非模塊化機構的自由度與收攏率

需要說明的是，表1中均為天線機構完全展開時其口徑為2.174 m時所得數據，當天線口徑改變，其組成單元數量改變時，其自由度數目及收攏率也相應改變，但四者之間的對比關系始終滿足一定規律，即：基于3RR-3RRR的模塊化與非模塊化相比，前者自由度數目增加，收攏率提高；在收攏率為38.837 8時，機構為完全收攏，此時，基于3RR-3URU的模塊化與基于3UU-3URU非模塊化相比，二者收攏率一致，前者自由度數目明顯減少，且基于3RR-3URU的組合單元滿足對稱特點，與基于3UU-3URU的組合單元相比，桿件類型減少，易于加工制造；基于3RR-3URU的模塊化與基于3RR-3RRR模塊化相比，前者自由度數目增加，但收攏率明顯提高。總之，基于3RR-3URU的模塊化機構在滿足大收攏率的情況下，自由度明顯減少，桿件類型減少。

為了模塊化機構的后續研究，首先加工基于3RR-3URU四面體對稱組合單元樣機一臺，如圖21所示，該樣機為模塊化結構的組成模塊之一，能夠實現完全收攏和完全展開狀態。

圖21 模塊單元Fig.21 Module unit

5 結 論

1) 基于3RR-3RRR四面體組合單元和3RR-3URU四面體對稱組合單元，提出了兩種新型模塊化可展天線支撐機構。

2) 應用拆桿-等效-復原思想、螺旋理論及G-K公式分別分析了兩種新型模塊化機構的自由度數目和性質。由3個基于3RR-3RRR四面體組合單元構成的模塊化結構自由度為2，能夠實現同步收攏運動和組合單元模塊的同步調姿運動；由3個基于3RR-3URU四面體對稱組合單元構成的模塊化機構自由度為18，能夠實現同步收攏運動和花盤獨立調姿運動。仿真分析驗證了自由度理論分析的正確性。

3) 分別計算得到現有基于四面體的非模塊化和所提出的兩種模塊化機構的收攏率，對比分析非模塊化機構和模塊化機構的自由度數目和收攏率，得到結論，基于3RR-3URU的模塊化機構在滿足大收攏率的情況下，自由度明顯減少，桿件類型減少，結構復雜度降低，易于加工制造，且多個模塊可以實現任意口徑、任意曲率的構架式可展天線機構。