基于數學建模的高中三角函數教學設計研究

胡高嵩

[摘? 要] 數學建模是培養高中學生解決數學問題和數學應用意識的重要手段. 文章嘗試借助數學建模對高中“三角函數的簡單應用”內容進行教學設計，探討基于數學建模的高中三角函數內容的設計策略. 認為教師應在現實問題的基礎上，鼓勵學生通過“發現—探究”學習形式，分析問題中隱含的信息，建立數學模型并運用數學相關的語言、符號、圖表來解決實際問題，從而培養學生的數學建模能力和數學應用意識，發展和提高學生的數學素養.

[關鍵詞] 三角函數;數學建模;應用意識

數學具有廣泛的應用性，發展學生的數學應用意識已經成為當前高中數學基本教學理念之一，而以簡化實際問題、最終歸結為數學問題并求解的數學建模能夠有效培養學生的數學應用和創新意識[1]，尤其是在發展學生核心素養的大背景下，探究高中數學建模教學具有重要的意義.

基于數學建模的高中數學教學各環節設計

為了體現學生的問題意識、主動構建以及自我監控，高中數學建模主要從以下五個方面進行設計.

1. 教學目標

教學目標的設置主要是規范教師的教學行為，教師應組織學生在分析現實問題的基礎上，抽象出數學問題，掌握函數模型的本質，并讓學生經歷數學建模過程，培養主動交流、探究思維的良好學習習慣[2]. 從三維教學目標方面分析，知識與技能方面：能夠將生活實際問題轉化為數學問題，運用數學建模方式進行求解，并熟練掌握基本的函數模型和一般解題步驟;過程與方法方面：體會現實世界與數學知識之間的緊密聯系，感知應用數學建模解決問題的一般方法，在探究問題的過程中，及時進行調整和評價，有效培養學生的創新能力、應用意識以及反思的學習習慣;情感態度與價值觀方面：讓學生感知數學的實用性，激發學生主動學習的欲望和興趣，培養學生的自學能力.

2. 教學重難點

作為教學的核心內容，教師應分配好該環節的時間，適當地進行講解和引導，在設計教學重點時要體現出數學建模的過程以及現實問題背景后的一些思想方法，即怎么建立函數模型求解實際問題，如何求解函數模型，函數模型的本質是什么等等. 在設計教學難點時要通過問題情境展示出知識產生的過程，即如何培養學生的數學建模思想，如何將現實問題抽象出數學問題等等.

3. 教學過程

數學建模更加注重學生的思維過程，首先，在問題引入時要挑選出典型的問題來展開建模活動，要選擇具有隱蔽性的內容讓學生自己去探討和發掘.其次，要體現學生的主動性，鼓勵學生通過查詢、探究、討論以及交流經歷數學建模等方式培養學生的主動構建意識.再次，在學生遇到困惑時，大力采用“探究—討論”為主的教學方式進行教學，組織學生分析出隱函的條件和所求內容，觀察實際問題，對問題或模型進行求解和概括，并接受學生的質疑，鼓勵學生發表自己的看法. 最后，要盡可能考慮突發事件，做好模型的多樣性和解的可能性.

4. 教學評價

教學評價貫穿于教學的全過程之中，由于數學建模活動具有自主性和靈活性，不容易控制，因此，教師應注重學生的參與過程，關注學生對基本知識的掌握和數學建模技能的培養. 例如，是否能夠獨立思考并與同伴交流合作;是否自主分析解決困難;是否利用數學語言進行表述;是否自己提出問題等等. 同時，由于學生個體的差異，不能運用同一標準來評價所有學生的建模活動，而應從方法、態度、結果等多個角度進行評價.

5. 課后作業

數學建模的課后作業既要有利于反映學生對本節內容學習的情況，有效鞏固數學建模內容，又要有利于教師了解學生的學習狀態. 在具體課后作業設計中應以教材為主，作業應涵蓋數學建模以及函數應用問題等相關內容，注重能力的訓練和學生思考能力的培養，對于一些學有余力的學生設置選做題，給予探究方向、探究資料等方面的提示.

高中三角函數數學建模教學設計

三角函數涵蓋的公式比較多，也是高中非常重要的內容，因此，筆者以學生不夠熟悉、理解有一定難度、實踐應用比較薄弱的三角函數簡單應用為例，深入探究高中數學建模教學設計.

1. 創設情境

為了吸引學生的注意力，激發學生探究的興趣，筆者利用PPT向學生展示出日常生活中的海潮場景，引導學生在欣賞美麗圖片的基礎上思考什么是潮起潮落，潮起潮落對人們生活有那些具體影響等. 在此基礎上，呈現出以下實際問題：

表1所示的是某一地區某一天時間與水深之間的關系表，已知某一貨船在漲潮時駛進港口，卸貨后在落潮時返回.

（1）試根據表1中的數據，找到時刻與水深之間的關系.

（2）若規定船底與水面的距離只有大于1.5米時，貨船才能進出港口，已知船底與水面的距離為4米，試問該船在什么時候必須離開？

2. 自主探究

3. 總結提升

為了驗證模型是否符合實際，組織學生對結果進行驗證，代入實際問題進行解釋.組織學生回顧解題過程，總結出構建三角函數模型的具體步驟，即首先將實際問題抽象成數學問題，尋找出問題中的重要條件;其次，根據所給數據描繪出散點圖，根據圖形所表現出的趨勢假設出具體的函數模型;再次，利用假設的函數模型知識進行求解;最后，將獲得的解代入實際問題進行檢驗，對于一些不符合實際問題的解及時剔除.

4. 鞏固訓練

為了切實加強數學建模思想，教師及時出示以下兩個例題，要求學生結合所呈現的圖像，以小組的形式自主探究，在此過程中，對于有問題的學生進行個別指導.

（1）如圖1所示，已知某一轉盤的最低點距離地面2米，旋轉一周需要12分鐘，轉盤直徑為16米，試求轉盤上的一個端點P離地面距離與旋轉時間的關系式.

（2）如圖2所示，一根木棒想要通過這個直角走廊，其木棒長L符合函數L（θ）=+.

①當0°<θ<90°時，試描繪出上述函數的圖像.

②根據第一小題所描繪的圖像，試求木棒長L的最小值，并根據題意進行解釋.

5. 課堂小結

為加深學生學習印象，讓學生自己總結三角函數的特征和構建三角函數模型的步驟，可通過以下問題來實施：一是如何構建合適的函數模型，具體步驟是什么;二是三角函數模型具有哪些特征;三是你還有哪些問題或困惑.同時，根據教材內容設置必做和選做的課后作業，進一步培養學生的動手操作、思考的能力.

結語

綜上所示，以生為本的數學建模是高中數學課程的重要內容，教師應在現實問題的基礎上，鼓勵學生通過“發現—探究”的學習形式，分析問題中隱含的信息，建立數學模型并運用數學相關的語言、符號、圖表來解決實際問題，體會數學與生活之間的聯系，只有這樣，才能培養學生的數學建模能力和數學應用意識，才能不斷提高學生的數學素養[3].

參考文獻：

[1]? 苗雪峰. 高中數學建模的幾點思考[J]. 中學數學教學參考，2017（18）.

[2]? 鄭大鵬.數學建模在高中數學課堂的教學策略研究[J]. 數學教學通訊，2017（12）.

[3]? 胡書軍，于國清，姚遙. 數學核心素養之數學建模能力的挖掘與培養[J]. 中學數學教學參考，2018（09）.