基于社會力模型的教學樓應急疏散數學模型的研究

郭小林

（1、四川鐵道職業學院，四川 成都611732 2、四川省應急管理學會，四川 成都610072）

隨著我國教育事業的高速發展，學校是年輕人的成長成才的搖籃，也是祖國的未來和希望。教學樓是學生的聚集場所，具有樓層多、空間大、人數多的特點，在自然災害、火災、爆恐突發事件的情況下，要保護好學生的生命安全，需要把學生疏散到安全區域。

因此，快速有效的從教學樓內疏散學生，能極大程度的減少學生傷亡，推動我國教育工作健康長遠發展。

1 教學樓疏散行為分析

應急疏散按照疏散人員的特征可以分為兩類特征[1]，個體特征和群集特征。個體特征就是考慮個體的行為差別，每個人都有自己的思考力、判斷力以及體能差別，疏散模型就要按照每個個體的特征來設計，一個一個的疏散。群集特征就是將同一類相似的群體的疏散人員看成一個整體，他們有著相同的思維、體能和運動速度，一個整體一起疏散。

學校教學樓內的疏散人員有學生、教師和管理人員。經過對4.20 廬山地震時名山中學教室的疏散監控錄像，總結了教學樓應急疏散的行為特征。應急疏散時，教師和管理人員具有高尚的師德和責任感，首先引導學生先行撤離，教職工自身才撤離。在學生的表現行為上，非常聽從教師的指揮，有清晰的疏散方向和路線，雖然會發生擁擠但不會推嚷，疏散文明有序。在擁擠的時候疏散速度偏慢，不擁擠的時候疏散速度很快。在疏散過程中，教師的作用非常很大，持續指揮學生疏散，使得學生在心理上有很大的安全感，但學生心理還是表現出了一定的恐慌導致了擁擠，有少許學生不知所措，在得到老師指揮后能快速疏散。整個疏散過程在老師的有效指揮下井然有序。

2 數學模型的建立

在分析和研究了國內外大量的應急疏散模型后，結合教學樓疏散的特點，Helbing[2]提出了社會力模型比較符合教學樓疏散。

2.1 傳統的社會力模型

社會力模型是基于恐慌疏散的動力學模型，模型當中考慮了每個個體的心理因素、物理因素、相互影響因素，利用牛頓運動方程建立了數學模型，如公示（1）。

公式中mi表示人員i 的質量，vi（t）表示人員i 的失量速度，ei0（t）表示人員i 的期望方向，vi0（t）表示人員i 在期望方向的期望速度，τi表示改變速度的響應時間。

人員i 人員j 之間的相互作用力用fij表示，表達式為（2）：

式中作用力分為三部分：Aiexp（（rij-dij）/Bi）nij表示人員i，j的心理排斥力，Ai，Bi是常數；kg（rij-dij）nij表示身體排斥力；κg（rij-dij）Δvtjitij表示人員i，j 之間的摩擦力。dij=||ri-rj||表示人員i，j之間的模，nij=（n1ij，n2ij）=（ri-rj）/dij表示人員j 到人員i 的單位向量，tij=（-n2ij，n1ij）表示切向，Δvtji-（vj-vt）·tij表示切向速度差，k 和κ 為大常數，g 在人員i，j 不相互觸碰的情況下取0，否則取一個參數x。

人員i 邊界w 之間的相互作用力類似的分為三部分用fiw表示，表達式為（3）：

式中如果diw表示到邊界w 的距離，niw表示垂直于墻的方向，tiw表示與墻相切的方向。

2.2 基于教學樓疏散行為優化模型

傳統社會力模型中，把疏散人員各個方向的作用力都看作相等的，而人的所用了受視覺的影響非常大。通常情況下，人前方的物體產生的作用力比人后方的物體產生的作用大[3]，但是后方的物體的影響力再小也不可能為零，也應有一定的影響。此時引入視覺作用因子ωi=（1-λi）+λi（1+cosθij）/2，其中λi（0＞λi≤1）為影響程度，θij是人員i 的期望方向ei0（t）與人員i，j 的夾角。

傳統社會力模型已經考慮到了疏散對象受到的各種作用力影響，但是從個體而言，就算兩個個體處在同一個位置，由于心理素質的不同，面對突發事件會表現出不同的恐慌程度，兩個個體的疏散行為有很大的差異。主要表現在疏散的速度上，越恐慌的人期望的速度越大[4]。根據教學樓實際疏散中，要求學生盡快撤離，離安全出口越遠的學生焦慮最大，期望的速度最高。

因此，根據人員i 與安全出口的距離建立焦慮函數ρi=di0/dmax，修正期望速度為v0iρ（t）=v0i（t）+di0/dmax（νi-max-νi0（t）），式中di0為人員i 到安全出口的距離，dmax為疏散人員中離安全出口最遠的人員距離，νi-max為人員i 的最大速度。

教學樓疏散的集群特征，分為兩類疏散人群，理性冷靜教職工和被疏散的學生。學生因為非常熟悉教學樓安全出口位置，在加上有老師的正確引導，期望方向和正確疏散方向能夠達到一直，引起期望方向e0i（t）修正為ei，ei表示人員i 的正確疏散方向。

由于學生們長期生活在一起，師生和教室環境都非常熟悉，在疏散的時候不會因身體之間的接觸以及和邊界之間的接觸而產生很大的相互作用力，因此取常數g=0。

2.3 教學樓應急疏散數學模型

以社會力模型為基礎經過實際情況分析優化后，教學樓應急疏散數學模型如下：公示（4）

3 教學樓應急疏散的求解方法

3.1 模型的數學求解方法

教學樓應急疏散的數學模型理論上是微分方程求解，在根據運動規律求解出每個個體的疏散時間，最長個體疏散時間既是整個模型的疏散時間。求解結果為公式（5）

3.2 模型的計算機的求解方法

模型的數學理論求解在理論上是可行的，但是教學樓疏散的對象眾多，而且模型還包含了人與人之間的心理相互作用力和人與邊界之間的相互作用力，計算的復雜程度和難度非常大，幾乎不可能用常規的數學手段求解。計算機可以編制計算程序進行大量計算和模擬仿真，因此上述數學要真正求解必須要借助計算機和專用程序實現，甚至需要用到專用計算機硬件支持。

經過調研，曾經計算過類似數學模型的計算機軟件和方法包括PanicPackage 軟件[5]，紀慶革等提出的基于相對速度的社會力模型的人群仿真方法[6]，基于MATLAB R2014B 用布谷鳥算法編程[7]，基于MATLAB 軟件采用mamdani 編程[8]等，可以按照軟件方法編程求解。

數學模型和計算機編程求解是密不可分的，數學模型的優化有利于計算機的計算速度，計算機軟件強大的計算能力使得數學模型求解成為可能，兩者結合可以模型順利求解。本文數學模型在具體的教學樓中應用時，需要要根據實際情況建立參數，如期望速度、期望方向、距離等參數，再利用計算機編程算出應急疏散所需要時間。再評估疏散的時間是否在安全的疏散時間內，如果疏散時間過長，則表明當前的教學樓運行狀態不能保護學生安全疏散，則需要調整相應的參數，如減少學生人數，增加管理者的管理能力等等。

4 結論

本文的教學樓應急疏散數學模型可以應用于學校的應急疏散仿真、應急疏散能力評估、應急疏散方案的優化等等。模型還可以用于類似特征的建筑物如工廠車間、軌道交通空間的應急疏散。特別是大數據的應用發展，每個個體特征都可以準確的記錄在后臺數據中心，應用本模型可以實時仿真模擬應急疏散。本模型還可以融入到其他各種應用系統，為分析、預報、預警等提供可靠的數據。