箍筋約束混凝土圓柱軸壓強度尺寸效應律

金 瀏，李 平，杜修力，李 冬,2

(1.北京工業大學城市減災與防災防護教育部重點實驗室，北京 100124；2.清華大學土木工程系，北京 100084)

約束混凝土通過約束來限制混凝土橫向變形的發展，從而增強混凝土構件的強度與延性。目前混凝土柱中采用多種工程材料提供橫向約束，包括鋼材(箍筋[1]及鋼管[2]等)及多種纖維增強材料(如：碳纖維[3]、鋼纖維[4]及玻璃纖維[5])等。其中，箍筋約束是混凝土結構中最簡單常見的一種約束方式。

從1903年Considere第1個提出螺旋箍筋可以提高混凝土的強度，對箍筋約束混凝土的研究至今已有一百余年。國內外研究者開展了大量的試驗及理論研究，對箍筋約束作用的力學特性進行深入的分析，并提出了多種約束混凝土應力-應變關系模型。1988年Mander[6]等提出了考慮箍筋形式、間距及體積配箍率等多種因素影響的約束混凝土力學模型，該模型力學機理清晰，得到廣泛應用。此外，Kent和 Park[7]，Sheikh和 Uzumeri[8]、Legeron和Paultre[9]、過鎮海等[10]及史慶軒等[11]均提出了各自的箍筋約束混凝土理論計算模型。在較小尺寸范圍內，上述理論方法的計算結果與試驗實測值吻合良好。

現存的許多文獻[12-14]均證實了箍筋約束混凝土柱軸心受壓強度存在明顯的尺寸效應，且其尺寸效應隨約束作用的增強而減弱。另外，Kim等[15]試驗結果表明：箍筋約束混凝土柱軸壓破壞尺寸效應的強弱受體積配箍率的影響，即隨著體積配箍率的增加而逐漸減弱，當體積配箍率達到某一臨界值時，混凝土尺寸效應將消失。然而，目前關于箍筋約束混凝土柱承載力計算理論大多未考慮尺寸效應的影響。此外，我國《混凝土結構設計規范》[16]也未考慮尺寸效應對鋼筋混凝土柱軸壓承載力的影響。

鋼筋混凝土構件層次尺寸效應主要源于兩個方面[17-18]：1)混凝土材料自身的非均質性；2)鋼筋與混凝土間復雜的非線性相互作用。現有尺寸效應理論，包括 Ba?ant基于斷裂力學的尺寸效應理論[19]、基于多重分形的 Carpinteri尺寸效應理論[20]、及 Weibull隨機強度統計理論[21]等，均是針對混凝土類脆性材料，采用理論推導及半理論半經驗等手段建立起來的理論公式。目前，大量的試驗研究工作，均證實了上述混凝土材料尺寸效應律的合理性。

而對于鋼筋混凝土構件，由于多樣的構件類型與形式(梁、柱及節點)，及復雜的鋼筋-混凝土相互作用等，使得其破壞模式及破壞機理極為復雜[12-14,22-23]。因此，套用材料層面的尺寸效應律來描述鋼筋混凝土構件破壞的尺寸效應行為是值得商榷的。另外，現有材料層面的尺寸效應律，亦僅僅粗略給出“結構尺寸”唯一因素的影響，不能反映鋼筋混凝土構件破壞的其他重要因素對尺寸效應行為的影響。總體來說，對于鋼筋混凝土構件層次的尺寸效應而言，應結合具體的破壞行為與破壞機制來建立鋼筋混凝土構件的尺寸效應律。

本文在前期試驗結果[24-25]的基礎上，討論了箍筋約束作用對混凝土柱破壞行為及尺寸效應的影響機制。結合經典的Ba?ant材料層次尺寸效應律，考慮箍筋約束作用對柱軸壓強度及其尺寸效應的影響規律，提出了箍筋約束混凝土柱軸壓破壞的尺寸效應理論公式。相關試驗及模擬結果證實了該理論公式的合理性和準確性。

1 箍筋約束混凝土柱軸壓試驗

金瀏等[24]和Du等[25]采用高徑比為3的圓柱體試件，開展了不同截面尺寸箍筋約束混凝土圓柱的軸心受壓破壞試驗。采用相似比關系(1∶1.5∶2.25)設計幾何相似的不同截面尺寸(Φ256 mm×768 mm、Φ384 mm×1152 mm、Φ576 mm×1728 mm)及不同體積配箍率(YA系列，ρsv=1.26%；YB系列，ρsv=2.89%)鋼筋混凝土柱，相同參數試件均制作2個，共計12個試件。表1給出了試件的設計參數。箍筋的配置形式相同，且箍筋直徑及間距與截面尺寸保持相同比例；為防止柱子兩端發生破壞，端部箍筋進行加密設置。每個試件僅配備3根縱筋，其主要作用是固定箍筋。

表1 試件設計參數Table 1 Parameters of specimens

試驗測得的名義軸壓強度σNu隨構件尺寸D(柱子的橫截面直徑)的變化規律如圖1所示。結果表明：1)不同配箍率下，試件的名義軸壓強度均隨著截面直徑的增加而降低，表現出明顯的尺寸效應特征；2)隨著配箍率的增大，箍筋的約束作用變強，試件的名義軸壓強度越大；3)隨著配箍率的提高，尺寸效應幅值減小，即強度減弱變緩慢。具體的試驗結果與分析見文獻[24-25]。

圖1 約束混凝土柱名義強度與截面直徑關系Fig.1 Nominal compressive strength vs cross-section diameter

2 細觀模擬及結果分析

基于試驗研究，本節將建立3D細觀數值模型，對箍筋約束混凝土柱的軸壓力學性能開展數值研究。在證實模型有效性的基礎上，開展更大尺寸試件的模擬工作，進而更全面地揭示箍筋的約束作用對混凝土柱破壞行為及尺寸效應的影響機制。

2.1 細觀尺度數值分析模型

2.1.1 細觀數值模型建立

在細觀角度，混凝土材料被簡化為一種三相復合材料，由骨料顆粒、砂漿基質以及界面過渡區(ITZ)[26]組成。依據各組分的幾何特征，運用Monte-Carlo方法，借助Fortran編程將骨料顆粒(假定為球體，最小等效粒徑為16 mm，最大等效粒徑為30 mm，體積分數約為30%)隨機投放到砂漿中。考慮到計算量的影響，界面過渡區厚度設置為2 mm[27]，建立了素混凝土柱3D細觀模型，如圖2(a)所示。數值模型的加載方式采用位移控制，如圖2(b)所示。

根據Du等[28]的研究，采用塑性損傷本構模型來描述砂漿及過渡界面的力學性能。假定砂漿和過渡界面主要因拉伸開裂和壓縮破碎而破壞，用各向同性損傷變量描述拉伸和壓縮損傷引起的剛度退化行為，其應力σ-應變ε表達式為：

式中：D表示各向同性損傷變量；為初始無損傷的彈性矩陣；?pl表示塑性應變張量。拉伸和壓縮損傷狀態分別由兩個獨立的硬化參數(壓縮等效塑性應變)和(拉伸等效塑性應變)來表征。

骨料顆粒的強度較高，加載過程中相對于砂漿及界面過渡區不容易發生斷裂破壞。因此，本文將其看作彈性體，假定外荷載作用下不破壞。另外，各相材料之間采用共節點方式連接，各單元節點位移連續，相鄰單元之間位移可協調。

鋼筋材料力學性能較均勻，故采用理想彈塑性本構模型來描述其力學行為。另外，在單軸壓縮作用下，柱子破壞時鋼筋與混凝土之間會產生滑移。為考慮鋼筋與周圍混凝土的非線性相互作用，鋼筋單元節點和混凝土部分之間設置非線性彈簧(如圖2(c)所示)，并采用我國《混凝土結構設計規范》[16](GB50010―2010)推薦的多線性τ-s曲線來描述，詳見前文工作[27]。需要說明的是，該方法表示的粘結行為是一種宏觀均質特性，沒有考慮細觀組分與鋼筋之間的粘結性能的差異性。

圖2 鋼筋混凝土柱3D細觀數值模型Fig.2 3D meso-scale simulation model of RC column

混凝土3種細觀組分及鋼筋力學參數，如表2所示。其中，骨料、砂漿及鋼筋的材料強度及彈性模量等(“*”標注)可以根據試驗實測值來確定，而界面過渡區的力學性質(“※”標注)不易測定。這里，通過對邊長為150 mm的標準立方體混凝土試塊開展大量單軸壓縮試驗來確定界面力學參數[27]。當界面過渡區的力學參數采用表2中數值時，混凝土單軸抗壓強度模擬值是41.93 MPa，與試驗結果42.8 MPa基本吻合，說明了參數選取的合理性。另外，對截面直徑為150 mm、高度為300 mm的素混凝土圓柱體試件進行了模擬試驗，得到的單軸抗壓強度為34.76 MPa。

表2 數值模型力學參數Table 2 Mechanical parameters of numerical model

2.1.2 細觀數值模型的驗證

基于本文數值方法，對上述試驗進行數值模擬，得到了不同尺寸不同配箍率試件的軸壓破壞過程。以配箍率ρsv=2.89%的試件為例，如圖3所示(直徑為256 mm，損傷因子ω=0表示完好無損，ω=1表示完全破壞)。由于軸向壓縮作用，損傷裂縫首先發生在模型中部，隨后，裂縫逐漸延展，模型中的損傷區域進一步擴大。在峰值時刻，試件高度中部呈典型的壓縮剪切破壞。而試件的端部由于約束產生的環箍效應，未產生嚴重破壞。模型受壓過程中，同時發生橫向變形，箍筋發揮約束作用，箍筋應變逐漸增大，部分箍筋達到其屈服強度，如圖3(b)所示。模擬獲得的約束混凝土柱破壞模式與圖3(c)試驗中試件的破壞模式[24-25]吻合良好。

圖3 約束混凝土柱(直徑為256 mm)損傷破壞Fig.3 Failure process of confined RC columns with cross-sectional diameter of 256 mm

圖4分析了3根不同尺寸的配箍率為2.89%的箍筋約束混凝土模型的最終破壞云圖。這3種試件的幾何尺寸、箍筋直徑及間距嚴格滿足幾何相似關系，且箍筋形式一致。可以發現：軸壓作用下，相鄰箍筋之間的核心混凝土壓碎破壞，且破壞主要集中在試件中部區域。當尺寸小于384 mm時，模型主要呈現壓縮破壞形態；而結構尺寸較大(直徑576 mm)時，發生典型的壓縮-剪切破壞形式，與試驗結果[24-25]類似。另外，圖5分析了試驗及模擬得到的3種不同尺寸試件的應力-應變曲線，其中上升段與試驗結果[24-25]吻合較好(名義應力為軸向荷載與橫截面面積的比值，名義應變為加載端產生的豎向位移與試件高度的比值)，僅曲線下降段略有差別。曲線下降段的差別可能是采用的塑性損傷模型難以充分地反映約束效果所造成的。總體來說，數值模擬結果與試驗結果吻合較為良好，說明了本文數值方法是可行的。

圖4 不同尺寸箍筋約束混凝土柱破壞模式Fig.4 Failure patterns of stirrup-confined RC columns

圖5 模擬與試驗結果應力-應變關系對比Fig.5 Comparison of stress-strain relationships between numerical and experimental results

2.2 模擬結果及尺寸效應分析

2.2.1 模擬結果

在上述數值模擬結果與試驗結果吻合良好的基礎上，借助該數值分析方法對配箍率ρsv=0(即為素混凝土柱)的約束混凝土柱進行模擬，并模擬了更大尺寸(Φ864 mm×2592 mm)的約束混凝土柱。圖6給出了數值模擬獲得的不同配箍率、不同尺寸(相同參數的試件有2個，其骨料的體積分數相同，只有骨料的空間隨機分布不同)的約束混凝土柱的軸壓應力-應變曲線。

圖6 約束混凝土柱軸壓應力-應變曲線Fig.6 Stress-strain relationships of confined RC concrete columns

圖6可以看出，相同尺寸的約束混凝土柱，峰值應力過后，素混凝土試件的應力-應變曲線下降快；而約束混凝土柱的應力-應變曲線下降緩慢，且體積配箍率越大，曲線下降越緩慢。這是由于箍筋的約束作用使混凝土內部裂縫的發展受到限制，提高了混凝土的強度和變形能力；體積配箍率越大，約束作用越強，混凝土的強度和變形能力提高的越多。

表3給出了約束混凝土柱名義軸壓強度的數值結果與試驗結果的對比。其中，S、M、L和U分別表示小、中、大和特大4種構件尺寸(特大尺寸為Φ864 mm × 2592 mm)，YO表示素混凝土柱。可以看出，模擬與試驗結果誤差小于 5%，兩者吻合較好。其中，名義軸壓強度σNu定義為：

式中，Pu、σNu、D分別是峰值荷載、名義軸壓強度、截面直徑。σNu為峰值荷載Pu時的名義應力值。

2.2.2 尺寸效應分析

圖7給出的是在不同配箍率下，24根約束混凝土柱模型名義軸壓強度與截面直徑的關系。從圖7可以看出，軸壓作用下約束混凝土柱的名義軸壓強度隨著截面尺寸的增加而減小，即存在尺寸效應。素混凝土柱名義強度隨尺寸降低明顯，尺寸效應顯著。對于約束混凝土，隨著箍筋率的增大，柱的名義強度隨尺寸降低速率減小，即約束混凝土柱模型的尺寸效應現象減弱。實際上這是由于箍筋約束作用的增強，使得柱破壞時脆性程度降低，削弱了尺寸效應。

表3 名義軸壓強度模擬與試驗結果對比Table 3 Comparison of nominal strengths between simulation and test results

圖7 名義軸壓強度與截面直徑關系Fig.7 Nominal compressive strength vs cross-section diameter

如引言所述，對于混凝土材料層次尺寸效應問題的研究，已有多種尺寸效應理論[19-21]。其中，Ba?ant在斷裂力學理論的基礎上，提出了適用于混凝土材料的尺寸效應公式[19]：

式中：σNu為名義強度；fc為混凝土材料抗壓強度(這里取最小尺寸素混凝土柱的抗壓強度模擬值)；B、D0是依賴于結構的幾何常數；D是試件尺寸(這里為柱直徑)。式(3)轉化成線性方程：

表4 Ba?ant尺寸效應理論擬合參數Table 4 Parameters of Ba?ant size effect law

圖8分析了素混凝土模型的名義強度數據與a?ant尺寸效應律(SEL)的擬合結果。圖8中：水平線代表塑性強度理論(Strength criterion，不考慮尺寸效應)；斜線代表線彈性斷裂力學理論(LEFM)。擬合相關系數Rxy=0.92，說明Ba?ant尺寸效應律能夠較好的描述素混凝土柱軸壓強度的尺寸效應規律。

圖8 素混凝土柱數值結果回歸分析Fig.8 Numerical data regression analysis of plain concrete columns

實際上，Ba?ant的尺寸律主要適用于所謂擬脆性斷裂(pseduo-fracture)，其理論基礎本質上來源于斷裂力學(發生在斷裂過程區的斷裂)，在原理上來說是不適合于箍筋約束混凝土柱的。

3 尺寸效應理論公式

3.1 軸壓強度尺寸效應理論公式

實際上，箍筋約束混凝土柱在軸壓加載下的承載力N由兩部分承擔：1)縱筋的承載力Ns；2)無縱筋混凝土柱承載力Nsc(即，僅含箍筋的約束混凝土柱)。根據該兩部分的貢獻，柱的總承載力N為：

其中：

式中：為縱筋的抗壓強度設計值；As為全部縱筋的橫截面面積；Ac為鋼筋混凝土柱橫截面面積；σNu為無縱筋約束混凝土柱的名義強度。

由式(5)可知，僅第 2部分所貢獻的承載力Nsc(或名義強度)與柱尺寸、箍筋率、柱截面形式及箍筋間距等因素相關，即與尺寸效應有關；而第 1部分(Ns)為縱筋承擔部分，因此與結構尺寸無關。

根據第2節和第3節給出的試驗及模擬結果，不難得出，箍筋的約束作用對約束混凝土柱軸壓破壞行為的影響表現在以下兩個方面。

1)名義軸壓強度的增強作用。由于約束作用的存在，約束混凝土柱的名義軸壓強度較素混凝土柱有顯著的提高；且箍筋率越大，名義強度越高。此作用可用強度提高系數φ來表征。

2)尺寸效應的削弱與抑制作用。由于箍筋的約束作用，混凝土處于三軸受壓應力狀態，箍筋內部混凝土的變形被限制，柱的延性能力增強，脆性程度降低，約束混凝土柱尺寸效應削弱。當約束作用極強時，整個約束混凝土柱的軸壓破壞表現為塑性破壞，此時尺寸效應完全消失[13,19]。該行為可用尺寸效應削弱系數β來描述。

由于鋼筋混凝土構件層次的破壞機制與機理遠比混凝土材料層次復雜，箍筋約束混凝土柱尺寸效應的影響因素很多。另外，Ba?ant材料尺寸效應律僅能體現“試件尺寸”唯一因素的影響，不能夠定量的描述配箍率等參數對尺寸效應的影響。

基于以上基本認識，在Ba?ant材料層次尺寸效應理論的基礎上，考慮箍筋的約束作用對尺寸效應的影響，建立構件層次箍筋約束混凝土柱軸壓強度尺寸效應理論，提出如下的半經驗-半理論公式：

式中，參數φ和β均應為箍筋率的函數。另外，式(7)反映了約束混凝土柱(構件層面)尺寸效應定量規律與混凝土材料層次尺寸效應規律之間的關聯性。

3.2 尺寸效應公式相關參數的確定

3.2.1 強度提高系數φ的確定

20 世紀70年代至今，工程科研領域對箍筋約束混凝土的研究有了長足的發展。國內、外眾多研究者，包括 Mander等[6]、Kent和 Park[6]、Sheikh和 Uzumeri[8]、過鎮海等[10]、錢稼茹等[11]提出了各自的簡化計算模型。

針對圖9所示的箍筋約束狀態下混凝土圓柱截面上的不均勻約束情況，Mander[6]等提出的模型得到廣泛的認可。該模型提出了用有效約束系數ke來表征箍筋的有效約束力，即為相鄰箍筋中間的橫截面有效約束面積與混凝土核心區面積的比值。根據Mander等[6]的理論研究，可知圓形截面約束混凝土柱強度提高系數為：

式中：fcc為約束混凝土的軸心抗壓強度；fc為素混凝土的抗壓強度；fl為約束混凝土側向壓應力。根據Mander等[6]理論研究工作，可知圓形截面徑向約束應力fl為：

圖9 箍筋約束狀態下混凝土有效約束區Fig.9 Effectively confined core for circular hoop reinforcement

式中：ρsv為橫向鋼筋體積配箍率；fyh為橫向鋼筋的屈服強度；ke為有效約束系數，可由下式獲得：

式中：s＇為相鄰箍筋凈距；ρcc核心區縱筋配筋率；ds為箍筋中心線包圍的截面直徑。

本質上來說，強度提高系數φ與箍筋的屈服強度、體積配箍率(包括箍筋直徑、箍筋面積等因素)及混凝土強度等級有關。

3.2.2 尺寸效應削弱系數β的確定

如3.1節所述，由于箍筋的約束作用，柱的延性能力增強，脆性程度降低，約束混凝土柱尺寸效應逐漸削弱。箍筋率ρ越大，強度尺寸效應的削弱作用越為顯著。圖10給出了削弱系數β與配箍率ρsv的關系曲線，下面將對其進行具體說明。

圖10 尺寸效應削弱系數β的確定Fig.10 Determination of weakening coefficient β

當ρsv≤ρsv,min時(ρsv,min為配箍率下限值)，箍筋率很小，箍筋約束作用很弱，此時配箍的存在對柱軸壓破壞尺寸效應無影響，此時β=1。

當ρsv→ρsv,max時(ρsv,max為配箍率上限值)，箍筋約束作用很強，柱的軸壓破壞呈現“塑性”特征，此時軸壓強度的尺寸效應將被完全抑制[13,19]。該狀態下，名義軸壓強度與結構尺寸無關，此時對應的名義軸壓強度應為：

聯立式(7)、式(8)和式(11)，可得尺寸效應被完全抑制時的削弱系數β為：

當配箍率介于ρsv,min與ρsv,max之間時，由于箍筋的約束作用，柱名義軸壓強度的尺寸效應逐漸減弱。實際上，這種尺寸效應的減弱行為是一種漸進行為。針對此，本文采用漸進曲線來描述該行為。也即是，在該配箍率之間，假定削弱系數β為一條起始于數值“1”，漸近于的非線性變化曲線，如圖10所示。

圖10所示的雙曲正切曲線即為典型的漸進曲線之一，用來描述箍筋約束作用對尺寸效應的削弱行為。基于該假定與上述分析，可得削弱系數β的表達式為：

式中，α為調節系數，反映削弱系數β隨配箍率變化的快慢，可通過試驗和模擬結果數據擬合來確定。從式(13)可知，所建立的削弱系數的上限和下限具有明確的物理意義和力學意義。

3.3 半經驗-半理論公式的驗證

本節旨在討論所建立的尺寸效應半經驗-半理論公式的準確性和合理性。

綜合式(7)、式(8)及式(13)可知，建立的尺寸效應半經驗-半理論公式存在 3個參數需要確定，即B、D0和調節系數α。為方便起見，將標準尺寸Φ150 mm×300 mm素混凝土柱模型作為基準試件，其軸心抗壓強度fc=34.76 MPa(表3所示)。將3.2.2節素混凝土柱模擬結果回歸分析得到的尺寸效應參數B、D0作為基準參數，B=1.017，D0=800。

根據我國《混凝土結構設計規范》[16](GB 50010―2010)，體積配箍率下限值ρsv,min建議取為0.25%。

關于尺寸效應調節系數α，無法通過計算求出其解析解，這里采用與試驗或模擬結果進行反復對比來確定。結合上述給定參數，將本文理論公式與試驗結果[24-25]進行對比分析，發現：當調節系數α的值在6.0~10.0時，理論預測值與試驗結果吻合良好，見圖11。這里，建議α取值為8.0。該系數值反映尺寸效應削弱的快慢，因此它與混凝土強度等級及箍筋約束作用的強弱(如截面形式差異，約束程度不同)等都有密切關系。

在此基礎上，為驗證本文所建立的尺寸效應半經驗-半理論公式的準確性，在上述已確定參數的條件下，將理論預測結果與更多參數工況(包括更大結構尺寸、更多配箍率)下的數值模擬結果進行對比，如圖12所示。可以看出，圖12給出的理論預測曲面可很好的與模擬及試驗數據點吻合，證實了所提出的箍筋約束混凝土柱軸壓強度尺寸效應公式的準確性。

圖11 理論值與本文試驗值的比較Fig.11 Comparison of theoretical results and present experimental data

圖12 α=8理論值與試驗及模擬結果對比Fig.12 Comparisons between theoretical and numerical results

另外，為更充分的說明本文所建立的公式的準確性，本文搜集了更多的試驗數據用作對比分析。圖13給出了本文公式計算值與文獻[29-31]中箍筋約束混凝土柱軸壓破壞相關的試驗數據的對比情況。從圖13可以看出，本文尺寸效應公式能較好地預測圓形箍筋約束混凝土柱的名義軸壓強度，再次說明了公式的準確性。當然，該理論公式的準確性尚需更多的試驗及模擬結果來驗證。

圖13 理論值與其他試驗結果[29-31]對比Fig.13 Comparison between theoretical and available test results in [29-31]

4 結論

混凝土材料層次尺寸效應理論已取得長足的發展，而在鋼筋混凝土構件層次尺寸效應理論方面的研究則幾近空白。

以箍筋約束混凝土圓柱為研究對象，在已有試驗及相關數值模擬工作的基礎上，首先凝練出了影響箍筋約束混凝土柱軸壓破壞尺寸效應的主導因素——箍筋率，分析了箍筋率對柱名義強度及尺寸效應的影響機制與規律。結果表明箍筋約束作用對柱名義強度有兩個方面影響，即增強強度和削弱其尺寸效應。進而在混凝土材料層次經典Ba?ant效應律的基礎上，提出了可反映箍筋約束作用影響的鋼筋混凝土柱軸壓破壞尺寸效應半經驗-半理論公式。相關試驗及數值模擬結果亦證實了所提出的理論公式的準確性和合理性。值得一提的是，該理論公式可反映約束混凝土柱(構件層面)尺寸效應規律與混凝土材料層次尺寸效應規律之間的關聯性。

需要說明的是，本文僅探討了箍筋率對約束混凝土柱尺寸效應的影響，實際上配筋方式、混凝土強度等級、截面形式亦將影響柱的破壞行為；相關試驗數據依然不夠豐富，尚需要更多的試驗數據(尤其是大尺寸柱試驗數據)來驗證所提出的半經驗-半理論公式的準確性。