打亂魔方那點兒事

袁則明

魔方是匈牙利建筑學教授和雕塑家厄爾諾魯比克于1974年發明的機械益智玩具，被稱為魯比克魔方，共有26個方塊，習慣上稱為三階魔方。

在三階魔方比賽中，最快的選手只需要幾秒鐘，就能將打亂的魔方復原，從而完成比賽。那么，有人會問：“每一個魔方要打亂到什么程度，才能做到公平、公正呢？”如果某位選手的魔方只是簡單地被打亂，選手只需三五步就能復原，而其他選手的魔方很亂，需要很多步才能完成，這顯然失去了公平。猶如100米賽跑一樣，如果起跑時不在同一條線上，比賽自然就失去了意義。魔方比賽是否也要有一條絕對公平的“起跑線”，而把所有的魔方都打亂成一模一樣的形式呢？當然，這是不太可能的。三階魔方雖然只有26個方塊，但擁有約43多萬兆（1兆等于1億億）種不同的組合狀態。要想把所有的魔方都打亂成相同的一種隨機狀態，是很難也很費時的，更何況每場比賽打亂的程度不可能一樣，產生的記錄也就失去了意義。

所以，魔方比賽打亂的程度應該有一定的次數限制。在已有的智力比賽中，有些項目與三階魔方有相似的打亂規則，如撲克牌和二階魔方等。根據數學家戴夫·拜耳等研究出的“鴿尾式洗牌”方法，一副撲克只要洗7次，就能足夠打亂。而對于簡化版的二階魔方，數學家也證明出至少需要19步，才能夠使魔方的排布足夠亂。那么，三階魔方要多少次才能打亂呢？

目前，在各級各類的三階魔方比賽規則中，對打亂魔方的次數有不同的規定，有的建議打亂的步驟在30步以上，有的建議為20步以上等。就這兩種規則來說，它們之間相差了10步，哪一種規則更合理，制定規則的理論依據又是什么呢？

對于如何界定魔方打亂的程度，數學家已經研究了很多年，由于不同的人移動的位置和順序都不同，所以無法套用某一種現成的公式，只能依據多維數據轉移發生的概率。典型的操作是產生的隨機狀態序列，也被數學家稱為“馬爾可夫鏈”。這是俄國數學家馬爾可夫得出的結論，大意是狀態空間中從一個狀態到另一個狀態轉換的隨機過程，隨著隨機移動次數的增加，處于任何一種特定狀態下的可能性越來越接近43多萬兆分之一，也就是轉換狀態發生的是“均勻概率分布”。我們也可以這樣理解，打亂的次數越多，亂的程度就越大。

如此一個不確定的結論，魔方比賽的組織者為什么在規則中將打亂的次數規定為20步或30步以上呢？

美國加利福尼亞州的科學家用計算機破解了這個謎團，他們經研究得出，任意組合的魔方均可以在20步之內還原。但研究人員沒有拿出具體的計算公式，而是通過無數次的實驗來證明這個結論，所以這個數字又被稱為“上帝之數”。根據這一結論，人們運用逆向推理的方式，將打亂的次數定為20步以上。因此，目前相關魔方比賽規則中的打亂次數沒有絕對的道理，只是相對公平。

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