基于統計分析的最優救援井數量及救援成功率研究

張 森, 刁斌斌, 高德利(中國科學院院士)

(中國石油大學石油工程教育部重點實驗室)

0 引言

鉆井平臺一旦發生井噴、爆炸著火等事故，將不能靠近鉆井平臺進行作業，如果不能在短時間內完成救援封堵作業，那么將會造成嚴重的經濟損失和環境污染。目前，救援井仍是解決這一類問題最有效的方法[1-3]。

由于救援井與事故井在地下精確連通的難度較大，一次封堵成功率比較低，現有的測距技術和連通工具很難實現救援井與事故井的一次性連通[4]。那么如何利用救援井在最短的時間內、用最低的成本和最優的救援井數量完成救援任務是救援井計劃的重要組成部分。在制定救援井計劃時，需要考慮兩個問題：在不考慮救援成本的情況下，是否可以通過無限增加救援井的數量來縮短封堵的時間？在考慮救援成本的情況下，該如何根據現場的救援能力選擇合適的救援井數量和救援井的啟動時間？本文采用統計學的方法對以上問題進行詳細分析。

近些年統計分析的方法在石油工程領域發揮了一定的作用[5-8]。本文結合現場實際救援能力用統計分析的方法建立了“時間-累積封堵成功率”模型，該模型在考慮人力資源、基礎設備和關鍵技術等條件的情況下，系統分析了嘗試封堵的次數、連通工具的性能(封堵成功率)、平均鉆井時間、救援井數量、救援井的啟動時間對累積封堵成功率的影響，并且通過實例驗證該模型的實用性，為在不同的事故類型和救援能力的情況下制定出最優的救援井方案提供一定的理論支持。

1 “時間-累積封堵成功率”模型的建立

1.1 骰子游戲

“骰子游戲”的游戲規則：首先，取一個常規的六面體骰子，重復的滾動骰子直到出現6點，記錄所需要滾動的次數n，記為一組游戲。按照這樣的規則進行足夠多組游戲后，統計出n所對應的出現6點的頻率f，頻率f除以總的滾動數N得到n所對應的出現6點的概率，從游戲看出，滾動1次就出現6點的概率最大，隨著需要滾動次數的增加出現6點的概率逐漸減小。

以上游戲記錄的是出現6點的次數，現在記錄骰子出現6點時所用的時間。一次拾骰子和擲骰子記作一個回合，假設每一個回合的時間相等，記為一個平均時間ta。如果某一組游戲中用了3個回合，那么這一組游戲的時間記3ta，可以看出隨著滾動回合的增加，一組游戲時間也會增加。如果將出現6點的概率比作封堵成功的概率，將滾動的次數比作嘗試封堵的次數，通過將次數轉化為時間的方式就可以得出時間與封堵成功率的關系。

1.2 “時間-累積封堵成功率”模型

假設：該模型中救援井到達事故井附近后成功連通并且封堵的概率為Ps，如果第一次連通失敗，將鉆頭上提，填埋鉆孔，進行新一輪的嘗試，再次嘗試的情況下，救援井由于卡鉆等自身的原因導致救援井失效的概率記為Pu。這里采用正態(高斯)分布N(μ，σ2)來統計救援井到達事故井附近所用時間的累積概率分布[9-11]。由正態分布的定義可知：

時間的概率密度分布表示為：

(1)

時間的概率密度分布的積分是累積概率分布，可表示為：

(2)

從而可以得出時間與累積封堵成功率的關系：

P=Ps·FX(x)

(3)

式中:fX(x)—概率密度函數;

FX(x)—累積分布函數;

P—累積封堵成功率;

μ—平均值;

σ是標準差。

多次嘗試必然導致作業時間的延長，這里采用具有單獨均值和標準差的高斯分布描述這個時間延遲，這種方法在數學上描述為初始時間分布與對應于的第二分布的卷積[12-13]。計算方法如下：

由式(3)可知第一次嘗試的累積封堵成功率：

P1=Ps·Gaussian(t1,SD1)

(4)

每次嘗試失敗后，開始新的嘗試時將產生一個新的高斯，新的嘗試將會產生額外的時間，那么在第i次嘗試時，時間與累積封堵成功率之間的關系：

Pia=Pi·Gaussian(t2,SD2)×Gaussian(ti-1,SDi-1)

(5)

縮放因子Pi可表示為：

(6)

由于高斯的卷積特性，新高斯的標準差表示為：

(7)

式中:Pia—第i次的累積封堵成功率;

Gaussian()—給定平均時間t和標準差SD的高斯分布;

Pi—縮放因子。

假設：每一口救援井到達事故井的平均時間t1=60 d，標準差SD1=5 d，封堵成功率Ps=25%，那么一次嘗試的情況下到達事故井附近的時間密度概率和累積封堵成功率的分布如圖1所示。

圖1 一次嘗試封堵的時間密度概率和累積封堵成功率

由圖1可知，在一次嘗試封堵的情況下，由累積封堵成功率曲線可以看出要達到25%的封堵成功率大約需要75 d。當到達最大封堵成功率后，隨著時間的延長封堵成功率不會再增大。可見，在給定封堵成功率的條件下，75 d內完成封堵的概率只有25%，這遠遠不能保證在規定時間內完成有效封堵。

2 救援井數及啟動時間對累計封堵成功率的影響

嘗試封堵次數對累積封堵成功率的影響，假設：現場的救援條件只能滿足1口救援井的施工，現場的救援參數如表1所示。

表1 現場設計的平均時間和標準差參數

2.1 救援井數量n對累積封堵成功率的影響

單個救援井很難同時滿足作業時間短和封堵成功率高的兩個條件。所以基于多個骰子的“骰子游戲”的情況下建立了“時間-累積封堵成功率”模型，假設該模型中每個救援井的累積成功概率分布是相同的，且每口救援井之間不會互相干擾。

當同時鉆n口救援井時，時間與累積封堵成功率的關系表現形式如式(8)：

(8)

式中:CPD—累積封堵成功率。

分析當同時鉆2口、3口和4口救援井時，時間和累積封堵成功概率的分布如圖2所示。

從圖2可以得到：①通過增加同時啟動的救援井個數可以增大最大累積封堵成功率，但到達最大成功率的時間不同，井數越多用時越少；②1口井到達80%的概率需要大約119 d，同時啟動2口、3口和4口救援井到達理想成功率的時間分別約為：84 d、74 d和70 d；③增加同時啟動的救援井數量可以縮短到達理想累積成功率的時間，但隨著井數的增加，縮短到達理想成功率時間的效果呈遞減趨勢。

2.2 救援井的啟動時間對累積封堵成功率的影響

假設每口井的推遲時間都是相對于第1口井而言，將第2口救援井的啟動時間分別設置為+15 d、+25 d和+35 d(+代表推遲)。第2口井的啟動時間設定為+20 d，第3口井的啟動時間分別設置為+30 d、+40 d和+50 d。

圖2 多口救援井同時啟動時的累積封堵成功率

圖3 救援井的啟動時間對累積封堵成功率的影響

從圖3(a)可以看出：相對于1口救援井而言，第2口救援井啟動的推遲時間越長其到達理想累積封堵成功率的時間越長。從圖3(b)可以看出：當第2口井的啟動時間一定時，第3口井到達累積封堵成功率的時間會隨著啟動時間的推遲而延長，但對到達理想成功率的時間影響不大。

3 案例分析

2010年4月墨西哥灣“深水地平線”鉆井平臺爆炸事故，對人類造成了巨大的經濟損失，對環境造成了嚴重的污染[14-16]。將參數代入“時間-累積封堵成功率”模型中計算分析，可以得到時間與累積封堵成功率的關系,如圖4所示。

從圖4中可以看出：相對于1口救援井，第2口救援井推遲18 d啟動仍然可以明顯縮短到達理想累積封堵成功率的時間；第3口救援井和第4口救援井在推遲50 d啟動的情況下與第2口井推遲18 d啟動所達到理想累積封堵成功率的時間相差不大，在預期的時間內采用2口救援井就可以到達累積封堵成功率，這時啟動第3口救援井或者第4口救援井并不能縮短到達理想成功率的時間。所以BP公司采用了2口救援井的方案，從而驗證的該模型的實用性。

圖4 “深水地平線”的累積封堵成功率

4 結論

1)“時間-累積封堵成功率”分析表明，利用1口井救援井進行一次封堵成功率較小，目前只能通過采用多次嘗試封堵的方法可以提高累積封堵成功率，但會延長達到理想封堵成功率的作業時間。

2)“時間-累積封堵成功率”顯示，相對于1口救援井而言，多口救援井作業可以縮短作業時間、提高最大累積封堵成功率。但是每口救援井的啟動時間對累積封堵成功率有一定的影響。在同時啟動多口救援井的情況下，井數越多到達理想累積封堵成功率的時間越短。隨著井數的增加，縮短到達理想成功率時間的效果呈遞減趨勢。在不同時啟動多口救援井的情況下，每口井的啟動時間的間隔越短到達理想成功率的時間越短。但是當后1口井的啟動時間推遲到一定的期限時，增加救援井的數量將不能顯著縮短到達理想累積封堵成功率的時間。

3)在實際處理事故中，救援井數量和啟動時間會受實際救援條件的限制，結合現場的人力資源、基礎設備和關鍵技術等條件，“時間-累積封堵成功率”模型可以制定出一套合理的救援井方案。