“冪的運(yùn)算”中的數(shù)學(xué)思想

文吳亞平

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁。在冪的運(yùn)算中，同學(xué)們?nèi)绻莆樟藘绲倪\(yùn)算法則及性質(zhì)，再理解了數(shù)學(xué)思想方法，解題時(shí)思維會(huì)更加靈活，解題過程也會(huì)更加簡(jiǎn)潔優(yōu)化。

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)常用的思想方法之一，就解題的本質(zhì)而言，是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題的一種思想方法。對(duì)于冪的大小的比較，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用尤其明顯。

例1 比較355、444、533的大小。

【解析】這三個(gè)數(shù)的底數(shù)不同，指數(shù)都是11的整數(shù)倍，故可先逆用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，將這三個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成指數(shù)相同的冪，然后再通過比較底數(shù)的大小來比較冪的大小。

解：∵355=（35）11=24311，444=（44）11=25611，533=（53）11=12511，

又∵125＜243＜256，

∴12511＜24311＜25611，

即 533＜355＜444。

例2 已知 a=166，b=89，c=413，試比較a、b、c的大小。

【解析】這三個(gè)數(shù)的指數(shù)不同，底數(shù)16、8、4都可以轉(zhuǎn)化成2的乘方的形式，故可將這三個(gè)數(shù)分別化成以2為底的冪，然后再通過比較指數(shù)的大小來比較冪的大小。

解：∵a=166=（24）6=224，b=89=（23）9=227，c=413=（22）13=226，

又∵24＜26＜27，

所以224＜226＜227，即a＜c＜b。

二、分類討論

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，因此就需要我們把所求問題分成若干類，然后轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問題來解決，這就是分類討論思想。在冪的運(yùn)算中，當(dāng)我們遇到有關(guān)冪為1的問題時(shí)，就要利用分類討論思想，對(duì)每種情況逐一進(jìn)行考慮。

例3 若（2x-1）2x+2=1，求x的值。

【解析】因?yàn)?的任何次冪是1，-1的偶數(shù)次冪是1，任何非0數(shù)的0次冪也是1，因此我們要分三種情況進(jìn)行考慮。

解：（1）當(dāng) 2x-1=1時(shí)，解得 x=1，此時(shí)（2x-1）2x+2=14=1；

（2）當(dāng)2x-1=-1時(shí)，解得x=0，此時(shí)（2x-1）2x+2=（-1）2=1；

（3）當(dāng) 2x+2=0時(shí)，解得x=-1，此時(shí)（2x-1）2x+2=（-3）0=1。

綜上，x=-1或x=0或x=1。

三、逆向變換

逆向變換思想在“冪的運(yùn)算”這章內(nèi)容中的體現(xiàn)，是將一些計(jì)算公式逆向運(yùn)用。逆用冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，往往能拓展解題思路，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)便。

例4 計(jì)算（-0.25）2019×42020。

【解析】我們觀察這兩個(gè)冪的底數(shù)，-0.25與4是互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，兩者之積為-1，于是可聯(lián)想到積的乘方運(yùn)算性質(zhì)的逆用。但兩個(gè)冪的指數(shù)又不一樣，因此我們可逆用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)，得42020=42019×4。這樣問題就被巧妙解決了。

解：（-0.25）2019×42020

四、整體思想

整體思想就是通過研究問題的整體形式、結(jié)構(gòu)、特征，對(duì)問題進(jìn)行細(xì)心觀察和深入分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從整體上把握問題，進(jìn)而解決問題的一種思想方法。

例5 若x+3y-4=0，求3x·27y的值。

【解析】要求3x·27y的值，只需知道字母x和y的值。但一個(gè)方程x+3y-4=0有兩個(gè)未知數(shù)，顯然這樣的x和y無法確定。我們可抓住所求式子進(jìn)行考慮，先化為同底，再利用整體思想來解決。

解：∵3x·27y=3x·（33）y=3x·33y=3x+3y，

由x+3y-4=0，

得x+3y=4。

∴3x·27y=34=81。

總之，在解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法后，可在不同程度上降低題目的難度，原先無從下手的題目也都迎刃而解了。“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化。提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心就是提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。