中考里的“冪的運(yùn)算”

文鄧法珍

學(xué)習(xí)了本章內(nèi)容，同學(xué)們已經(jīng)知道，與冪有關(guān)的運(yùn)算有：同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除。在近幾年的中考試題中，冪的運(yùn)算作為解決整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，已成為中考中不可或缺的內(nèi)容，相關(guān)題型有選擇題、填空題，也有簡(jiǎn)答題、閱讀理解題和新定義題。下面，我們以一些地區(qū)的中考題為例進(jìn)行分析，希望同學(xué)們能靈活運(yùn)用運(yùn)算公式，注意公式的逆用。

例1 （2019·南京）計(jì)算（a2b）3的結(jié)果是（ ）。

A.a2b3B.a5b3C.a6b D.a6b3

【解析】題目的字越少，我們?cè)叫枰J(rèn)真審題，在閱讀時(shí)放慢速度，找準(zhǔn)與題目對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，提高解題的正確率。本題考查了積的乘方和冪的乘方，只要準(zhǔn)確使用公式就能輕松解決。冪的乘方公式：（am）n=amn（m，n為正整數(shù)）；積的乘方公式：（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）。本題應(yīng)先算積的乘方，再算冪的乘方。部分同學(xué)由于沒(méi)有看清題目，以為只對(duì)b進(jìn)行乘方就行了，而忘了a2也要乘方。

解：（a2b）3=a6b3。故本題選D。

【點(diǎn)評(píng)】解決中考中有關(guān)冪的運(yùn)算的選擇題或填空題，要關(guān)注題目的條件。一般情況下，要多讀幾遍題目，確定選擇四種運(yùn)算中的哪一種或哪幾種組合，理清運(yùn)算的順序，這樣就可以有效防止主觀(guān)性錯(cuò)誤的發(fā)生。

例2 （2015·閬中模擬）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，如何求的值（結(jié)果用n表示）？

【解析】我們?cè)谧鲱}時(shí)，方法的選擇非常重要。適切的方法往往可以使解題事半功倍，變得輕松。雖然“冪的運(yùn)算”是代數(shù)知識(shí)，但構(gòu)造圖形能直觀(guān)形象地解釋公式，驗(yàn)證定理，在一定程度上豐富了解決問(wèn)題的策略。本題中，求原式的值有不同的方法，如果構(gòu)造圖形，數(shù)形結(jié)合，能更直觀(guān)有效，而剖分圖形面積則是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵。

方法一：設(shè)計(jì)如圖1所示的正方形，將正方形的面積記作單位“1”。第一次取其面積的一半為，第二次取剩余一半面積的一半為第三次取剩余四分之一面積的一半為依次類(lèi)推，不斷取剩余面積的一半。n次分割后表示前面所取面積的總和，可以直接用整體面積“1”減最后剩余的面積

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)解題能力的提升，不能依靠題海戰(zhàn)術(shù)。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做題過(guò)程中，要學(xué)會(huì)提煉解題方法和思想，合理選擇解題方法。有時(shí)將代數(shù)問(wèn)題幾何化，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，換一個(gè)思考問(wèn)題的角度，就會(huì)有驚喜。對(duì)于本題，我們既可以設(shè)計(jì)圖形來(lái)解決（除了方法一，在同一個(gè)正方形中，還有其他圖形設(shè)計(jì)方法），也可以從代數(shù)法入手，用“擴(kuò)倍相消”的方法解決。

例3 （2019·安順）閱讀以下材料：

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾。納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系。對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)

（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log69+log68-log62=________。

【解析】（1）4=log381（或log381=4）。

（2）證明：設(shè)logaM=m，logaN=n，則M=由對(duì)數(shù)的定義得mn=loga又∵m-n=logaM-logaN，∴l(xiāng)ogalogaM-logaN。式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216，對(duì)數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式52=25。

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

loga（M·N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM=m，logaN=n，則M=am，N=an，∴M·N=am·an=am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n=loga（M·N）；

又∵m+n=logaM+logaN，

∴l(xiāng)oga（M·N）=logaM+logaN。

根據(jù)閱讀材料，解決以下問(wèn)題：

（1）將指數(shù)式34=81轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式_________；

（3）log69+log68-log62=log6（9×8÷2）=log636=2。

【點(diǎn)評(píng)】本題在考查同底數(shù)冪的乘、除法的同時(shí)，還融入了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)常識(shí)。解此題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系。“冪的運(yùn)算”這一章公式比較多，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵。