看似形變實不變 抓住本質是關鍵

文陸文娟

初中代數涉及“不等式”知識的內容只有七（下）第11章“一元一次不等式”這一章，這章內容主要介紹了“不等式的定義、解集與基本性質”“一元一次不等式的定義、解法與應用”“一元一次不等式組的定義、解集、解法和應用”三塊，看似簡單，卻貫穿了整個初中代數的所有知識。所以，同學們在復習的時候還是要高度重視，對定義、解法、應用要清清楚楚，絕不能有半點模糊。

例題 已知2-a和3-2a的值的符號相反，求a的取值范圍。

【分析】因為兩個代數式都含有字母a，所以它們的符號是不確定的，只能分類討論。當2-a＞0 時，3-2a＜0；當2-a＜0 時，3-2a＞0。將其組成不等式組求出a的取值范圍。

綜上，a的取值范圍為1.5＜a＜2。

【反思】如果條件給我們的是確定符號表示的不等式或不等式組，我們只需直接解不等式（組）就可以了；如果條件給我們的是用文字表達的不等關系，通常先要轉譯成符號語言，如果正負號不能確定，常常還需要分類討論。

【變式1】已知2-a和3-2a的值相等，求a的值。

【分析】把上面的兩個代數式的不確定的符號變成確定的值，原來的問題就變成一個一元一次方程的問題。

【略解】由2-a=3-2a，得a=1。

【變式2】要使下列式子有意義，求a的取值范圍。

【分析】把例題中的兩個代數式放進二次根號內，原來的問題就變成了一個二次根式確定字母取值范圍的問題。

解：（1）由題意可得2-a≥0，求得a≤2；

（2）由題意可得3-2a≥0，求得a≤1.5；

（3）由題意可得2-a≥0 且3-2a≥0，求得a≤2且a≤1.5，所以a≤1.5。

【反思】初中階段研究的代數式主要是在整式基礎上的分式和二次根式。對于分式來說，由于分母上含有字母，要保證分母不為零；對于二次根式來說，要保證被開方數大于等于0。這樣，又把一元一次不等式與二次根式的被開方數的取值范圍聯系在了一起。

【變式3】已知一次函數y1=2-x和y2=3-2x，分別解決如下問題。

（1）分別求出y1＞0 及y1＜0 時，x的取值范圍；

（2）分別求出y2＞0 及y2＜0 時，x的取值范圍；

（3）分別求出y1＞y2及y1＜y2時，x的取值范圍。

【分析】把例題代數式中的a換成變量x，我們又可以把不等式問題轉換成一次函數的問題來進行研究。

解：（1）由題意可得，函數y1=2-x與x軸的交點為（2，0），當x＜2 時，y1＞0，當x＞2時，y1＜0；

（2）由題意可得，函數y2=3-2x與x軸的交點為（1.5，0），當x＜1.5 時，y2＞0，當x＞1.5時，y2＜0；

（3）由題意可得，函數y1=2-x與y2=3-2x的交點為（1，1），當x＞1時，y1＞y2，當x＜1時，y1＜y2。

【反思】我們發現，方程、不等式、函數其實都是由代數式組成的。當我們從變量的角度來認識代數式的時候，就把方程、不等式和函數聯系在了一起。事實上，我們解決函數的各種問題，主要就是依靠方程與不等式的知識。