基于技術授權的多市場古諾雙寡頭動力學分析

吳雪嬌，李丹青

(蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070)

近年來許多研究者對于技術授權問題做出了多方面的研究.技術授權不僅可以降低企業的生產成本，還可以提高產品的質量，使得企業在市場上形成一定的競爭力.為了追求利潤最大化，李瑩瑩[1]，Stamatopolous和Tauman[2]，許治等[3]研究者在不同情況下對最適合同選擇問題進行分析.事實上，關于技術授權的動力學行為研究相對較少.Aspremont和Jacquemin[4]首先將技術創新引入到寡頭壟斷的研究中，之后Kobayashi[5]開始關注寡頭博弈的技術創新研究，Li和Wang[6]分析寡頭壟斷模式下的技術創新動態.

古諾雙寡頭博弈的動力學行為是復雜的，因為企業在每個階段不僅要考慮自身的決策，還要考慮其他競爭企業的決策.在這里我們將這種博弈擴展到兩個市場，不出所料，所得到的局部和全局動態結果十分豐富.由于研究者對于非線性雙寡頭壟斷市場的興趣日益高漲，使得企業的決策機制得到更新完善.在這一點上，羅琴和丁占文[7]，江小國[8]以及Ahmed[9]等提出了比較與企業使用nai?ve期望更為現實的期望規則，假設企業在動態古諾博弈中表現出自適應行為，遵循一個有限理性的調整過程，且每個企業基于邊際利潤梯度規則更新投資策略.

本文將Zhao等[10]提出的模型進行拓展.引進技術授權問題的分析，在兩個市場中，技術擁有企業作為生產性企業，它只對其中一個市場進行技術授權行為，且每個企業都有著相同的有限理性假設，基于邊際利潤遵循一個梯度原則，建立一個新的模型.特別地，利用Schur-Cohn判據對納什均衡點進行局部穩定性分析，此外，為了揭示企業間競爭的復雜性以及該模型的內在復雜性，在數值模擬的基礎上，利用混沌理論和分岔理論對系統進行分析.我們發現，這里存在一個調整速度的臨界值，納什均衡點將失去其穩定性.這個臨界值還受到特許收費費用的影響，較大的特許收費費用更加有利于市場的穩定性.另一方面，在沒有進行技術授權的市場中，可以推斷，較高的不變邊際成本確保納什均衡點的穩定.

1 模型的建立

在古諾雙寡頭競爭市場中，兩家生產性企業生產的商品近乎可替代但是在質量上有所不同，所以對于質量不同的商品，企業設定的價格也不同.假設企業之間進行產量競爭，且我們考慮市場A的逆需求函數：

pAi=ai-bi(qAi+qAj),(i,j=1,2,i≠j)

(1)

其中pAi表示在市場A中企業i的價格，qAi表示企業i的產量.ai>0,bi>0為常數.同樣地，市場B的逆需求函數為：

pBi=mi-ki(qBi+qBj),(i,j=1,2,i≠j)

(2)

其中pBi表示在市場B中企業i的價格，qBi表示企業i的產量.mi>0,ki>0為常數.

假設企業1擁有能降低成本的新技術，企業1將對企業2進行技術授權.授權博弈包括三個階段：第一階段，技術持有企業作為Stackelberg領導者，為授權設定特許權收費費用r；第二階段，其他企業扮演Stackelberg跟隨者決定是否接受技術持有者的授權；最后一個階段，2個企業在壟斷市場中進行非合作價格競爭.不失一般性，假設企業2接受授權后，其邊際成本降為零.在這篇文章中，我們假設企業1只在市場A中對企業2進行技術授權，且市場B的不變邊際成本分別為cB.因此在市場A中企業i的利潤函數分別為：

πA1=pA1qA1+rqA2,πA2=pA2qA2-rqA2,

(3)

其中r>0為企業2支付給企業1的單位產出費.市場B中企業i的利潤函數分別為：

πB1=pB1qB1-cBqB1,πB2=pB2qB2-cBqB2.

(4)

我們可以得到企業i的總利潤函數：

π1=πA1+πB1=(a1-b1(qA1+qA2))qA1+(m1-k1(qB1+qB2))qB1+rqA2-cBqB1,
π2=πA2+πB2=(a2-b2(qA1+qA2))qA2+(m2-k2(qB1+qB2))qB2-rqA2-cBqB2.

(5)

因此企業1和企業2分別關于市場A和市場B的邊際利潤如下所示：

(6)

(7)

其中常數α1,α2>0分別為市場A和市場B的調整速度.

2 均衡點及其穩定性分析

在Cournot雙寡頭市場中，企業1和企業2對產量決策經過多次反復的博弈，雙方產量最終將達到一個均衡的狀態，在均衡點處qi(t+1)=qi(t)，因此均衡點滿足：

(8)

對方程組(8)進行求解，得到以下均衡點：

其中

對系統(7)的均衡點進行局部穩定性分析，并得到以下結論.

由系統(7)可以得到其雅克比矩陣J為：

I)在E0=(0,0,0,0)處的雅克比矩陣J(E0)如下所示：

其特征值分別為：λ1=1+a1α1,λ2=1+α1(m1-cB),λ3=1+α2(a2-r),λ4=1+α2(m2-cB)，由于均衡點坐標有著非負性，αi>0,ai>0,a2>r,mi-cB>0,(i=1,2)，我們得到λi>1(i=1,2,3,4)，因此均衡點E0是不穩定的.

通過簡單的計算，可以得到矩陣J(E11)的4個特征值：

其中

V)對于納什均衡點E15=(q*1,q*2,q*3,q*4)的局部穩定性分析，由于在計算方面會更加復雜化，下面將利用Schur-Cohn判據對E15進行穩定性分析.

首先，在納什均衡點E15=(q*1,q*2,q*3,q*4)處的雅克比矩陣為：

其中

Q=a1-b1(4q*1+q*3),W=m1-k1(4q*2+q*4)-cB,
U=a2-b2(4q*3+q*1)-r,S=m2-k2(4q*4+q*2)-cB.

特征多項式為：

F(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4.

(9)

可以得到：

A1=-α1(Q+W)-α2(U+S)-4,

A2=QWα12+USα22+((WU+WS+QU+QS-b1b2q*1q*3-k1k2q*2q*4)α2
+3Q+3W)α1+(3S+3U)α2+6,

A3=((Qk1k2q*2q*4+Wb1b2q*1q*3-QW(U+S))α2-2QW)α21-2USα22+((Uk1k2q*2q*4+Sb1b2q*1q*3
-US(Q+W))α22+(2k1k2q*2q*4+2b1b2q*1q*3-2(WS+QS+QU+WU))α2-3(W+Q))α1-
3(U+S)α2-4,

A4=((b1b2k1k2q*1q*2q*3q*4-WSb1b2q*1q*3-QUk1k2q*2q*4+QWUS)α22+(QW(U+S)-
Qk1k2q*2q*4-Wb1b2q*1q*3)α2+QW)α21+((US(Q+W)-Uk1k2q*2q*4-Sb1b2q*1q*3)α22+
((W+Q)(U+S)-b1b2q*1q*3-k1k2q*2q*4)α2+W+Q)α1+USα22+(S+U)α2+1.

我們知道如果納什均衡點是穩定的，那么它的特征多項式的所有根都在單位范圍內，Schur-Cohn判據給出了充分必要條件：

i)F(1)>0,

ii) (-1)4F(-1)>0,

iii) 矩陣M±1和矩陣M±3的行列式都為正數，其中

因此，當特征多項式F(λ)的系數矩滿足以下不等式組條件時，納什均衡點E15是局部漸進穩定的，即：

(10)

3 數值模擬

上一章節我們對系統的局部穩定性做了一定的分析，為了更直觀地分析系統(7)的動態行為，在這一章節我們以數值模擬方法繼續對系統(7)在不同的初值條件下的動態演化過程進行可視化研究.具體地，研究內容主要分為3個部分：關于特許收費費用r與不變邊際成本c分別作用于市場A和市場B長期動態結果的研究；初值條件問題.在這里我們用到的主要工具包括一維分岔圖、二維分岔圖、最大李亞普洛夫指數圖、吸引盆等.

首先固定參數組a1=5.83,a2=3.56,b1=0.84,b2=0.42,α1=0.21；如圖1～6所示，分別是r=0.1,r=0.2,r=0.25時在A市場中產量qA1,qA2關于調整速度α2的單參數分岔圖以及對應的最大李亞普洛夫指數圖.

從圖1中發現，隨著調整速度α2的不斷增大，系統經歷了flip分岔，從穩定狀態變為不穩定，甚至是混沌.如圖1(r=0.1)，當α2≤0.666 3時，市場中企業的產量軌跡是局部穩定的，接著發生倍周期分岔.這就意味著，對于較大的調整速度α2，決策者更不容易精準地掌握市場.

圖1 當r=0.1時，關于α2的單參數分岔圖 圖2 最大李亞普洛夫指數圖

圖3 當r=0.2時，關于α2的單參數分岔圖 圖4 最大李亞普洛夫指數圖

圖5 當r=0.25時，關于α2的單參數分岔圖 圖6 最大李亞普洛夫指數圖

隨著r的增大，如圖3(r=0.2)，當α2≤0.6965時，A市場中企業1和企業2的產量軌跡是局部穩定的，同樣地，系統發生倍周期分岔失去其穩定性.如圖5(r=0.25)，當α2≤0.7126時，A市場是局部穩定的.從上面的現象我們發現，較大的特許收費費用r能夠讓A市場變得更加穩定.

另一方面，考慮到市場A中特許權收費費用r=0.18以及調整速度α1=0.214,α2=1.06，參數a1,a2,b1,b2不變時，我們發現了2個不同的5周期吸引子共存現象，如圖7為共存吸引子及所在吸引盆，其中深藍色區域代表混沌區域或逃逸區域，淺藍色區域為星狀吸引子所在吸引盆，粉色為點狀吸引子所在吸引盆.我們可以觀察到這里的吸引盆存在明顯的分形結構，與此同時，在大部分吸引盆中淺藍色部分與粉色部分不能很好的分開.從經濟學的角度分析，在市場博弈中，企業選擇了略微不同的產量初值，將會帶來很大不同的收益結果，在這種情況下，決策者也很難對市場未來進行一個精確的估計.當α1=0.216時，如圖8，點狀五周期吸引子變成了10周期吸引子，其中也出現明顯的分形結構.特別地，點狀吸引子所占面積增大.

圖7 2個不同的5周期環共存的吸引盆 圖8 1個5周期環和1個10周期環共存的吸引盆

圖9 α1與c的二維分岔圖 圖10 當α1=1.00時，關于c的單參數分岔圖

接下來我們將對B市場進行研究，同樣地固定參數組m1=2.98,m2=3.05,k1=2.76,k2=2.20,α2=1.60，同時，企業1的調整速度α1和固定邊際成本c作為分岔參數.如圖9我們將參數α1與c等分 1 000份，通過雙層迭代算法繪制出關于α1與c的2-D分岔圖，這種算法相對于傳統的計算能夠節約不少的時間.圖10，當α1=1.00時，在市場B中產量qB1,qB2關于固定邊際成本c的單參數分岔圖，我們發現市場B對于較小的c是不穩定的，隨著c增大，系統發生周期倍減分岔，從混沌狀態到多周期的不穩定狀態，再到穩定狀態.這就意味著，隨著不變邊際成本c的增大，企業決策者對于B市場的預判是困難的.

4 結語

這篇文章分析了基于有限理性假設的多市場古諾雙寡頭博弈，其中A市場的2個企業進行了技術授權.利用非線性系統以及Schur-Cohn判據討論了每個均衡點的局部穩定性.通過數值模擬為系統的復雜動態行為提供有力的證據，最主要的工具有一維分岔圖，二維分岔圖，最大李亞普洛夫指數圖，吸引盆等等.首先，在一組固定參數組下討論了特許收費費用r對A市場穩定性的影響，發現r在一定范圍內的增大會讓A市場更加穩定.在非線性系統中我們還發現了多重穩定性現象；對吸引子共存現象的分析，證明了初值條件對于系統的穩定性至關重要.最后，在一組固定參數組下討論了固定邊際成本c對B市場穩定性的影響，這里系統發生了周期倍減分岔，較小的c對于B市場的穩定是不利的.