考慮增量時程貢獻趨向和誤差排序的多阻尼目標反應譜擬合*

張偉明，孫曉丹，李東航，王 豪，萬珂羽

(1.西南交通大學，四川 成都 610031；2.中國建筑西南設計研究院有限公司，四川 成都 610031)

0 引言

地震動時程是進行結(jié)構(gòu)動力時程分析以及場地土非線性響應分析的必要條件，在缺失與工程場地條件完全一致的強震記錄的情況下，會選取相似場地條件的強震記錄或者人工波作為輸入(劉偉等，2015；鐘菊芳等，2019)。影響地面運動反應譜的因素很多(楊向東，1993)，因而天然地震記錄往往難以滿足《核電廠抗震設計規(guī)范》(GB50267-97)中給定反應譜的要求，常需要以規(guī)范中的標準反應譜為目標反應譜，通過不斷調(diào)整天然地震記錄以擬合目標反應譜，最終生成地震動時程。基于天然地震記錄的人工地震動時程生成方法主要有時域調(diào)整法、頻域調(diào)整法和時-頻調(diào)整法。時域調(diào)整法是在天然地震動時程上疊加一系列特定的時程函數(shù)，使其反應譜逐漸逼近目標反應譜。Lilhanand和Tseng(1988)最早提出了單位脈沖函數(shù)調(diào)整法；Hancock等(2006)提出在時域上疊加正、余弦小波函數(shù)法；趙鳳新和張郁山(2007)提出窄帶時程疊加法；侯春林(2012)提出將擬合誤差收斂問題看成是最大最小優(yōu)化問題，按相應約束條件進行求解；張郁山和趙鳳新(2014)提出消除基線漂移的增量時程函數(shù)；陳勝(2016)探討了多阻尼目標反應譜擬合中的時域調(diào)整法。頻域調(diào)整法是在頻域內(nèi)直接調(diào)整種子時程的傅里葉幅值譜(Rizzo，1975；Gasparini，1976；胡聿賢，何訓，1986；謝異同等，2002)，但該方法容易出現(xiàn)“頑固點”，特別對于多阻尼、多條反應譜的擬合問題困難較大。時-頻調(diào)整法則是結(jié)合時域調(diào)整法和頻域調(diào)整法，比如對不同頻段采取不同的調(diào)整方法(蔡長青，沈建文，1997)以及時頻小波分析法等(謝異同等，2011)。雖然上述幾種方法，都可實現(xiàn)擬合目標譜生成人工地震動時程，但難以滿足某些特殊工程的需求，比如核電廠的抗震分析，要求地震動輸入時程在多阻尼條件下均需貼近目標反應譜。在多阻尼條件下，時域調(diào)整法相對其他2種方法更為靈活，但由于各阻尼、各控制點之間的交叉影響，擬合誤差容易出現(xiàn)“此消彼長”的現(xiàn)象，使擬合效率不高，甚至出現(xiàn)不收斂。本文從多阻尼反應譜擬合時的控制點排序出發(fā)，并在調(diào)整中考慮增量時程函數(shù)對原始時程最大反應值的貢獻趨向，對現(xiàn)有的時域調(diào)整法進行改進。

1 單阻尼時域調(diào)整法

Lilhanand等(1988)提出了采用單位脈沖反應函數(shù)調(diào)整地震動時程的方法，認為在時域上對時程進行微小調(diào)整不會影響加速度反應最大值出現(xiàn)的時間?；谶@一思路，后來又逐漸出現(xiàn)了以增量諧波函數(shù)、增量小波函數(shù)等作為調(diào)整函數(shù)的時域調(diào)整方法。但在加速度時程上疊加增量時程可能引起位移時程和速度時程的漂移。因此，張郁山和趙鳳新(2014)提出零基線漂移的增量位移時程為：

Δd(t)=Ψ(t-t0)sin[2πf(t-t0)]

(1)

以及增量加速度時程為：

(2)

式中：f為所構(gòu)造增量地震動時程的中心頻率；t0為初始地震動時程作用下最大加速度反應出現(xiàn)的時間；函數(shù)Ψ(t)為：

(3)

式中：c1=-(t0-t1)2/lnε；c2=-(t2-t0)2/lnε；ε一般取10-6；t1和t2分別取值為t0-n1Tj和t0+n2Tj；Tj為反應譜的控制周期；n1和n2限定了增量加速度時程的有效區(qū)間。

假設初始地震動時程ag0(t)引起的阻尼比為ζ、周期為Tj時的絕對加速度反應時程為aa0(t)，其最大反應出現(xiàn)在tm,g時刻，則ag0(t)引起的(ζ，Tj)處的反應譜幅值為Sa0(Tj,ζ)=|aa0(tm,g)|。同樣假設增量加速度時程Δag(t)引起的(ζ，Tj)處的絕對加速度反應時程為Δaa(t)，其最大反應出現(xiàn)在tm，Δ時刻。若tm,Δ≠tm,g，則可根據(jù)二者之間的時間差Δt平移增量加速度時程，保證增量加速度時程最大反應出現(xiàn)的時間與初始地震動時程最大反應出現(xiàn)的時間一致。同時根據(jù)增量時程反應值與目標反應譜差值之間的大小，對增量加速度時程進行線性調(diào)幅：

(4)

式中：ΔS(Tj,ζ)為Sa0(Tj,ζ)與目標反應譜值的差值；Δt=tm,g-tm,Δ；Δag-bef和Δag-aft分別是調(diào)整前和調(diào)整后的增量加速度時程。將調(diào)整后的增量加速度時程疊加到初始時程ag0(t)上，則疊加后的時程為：

ag1(t)=ag0(t)+sgn[aa0(tm,g)]Δag-aft(t)

(5)

式中：sgn[x]在x＞0時為-1，x＞0時為1。

為逐漸減少增量加速度時程的疊加對周圍控制點反應譜值的影響，實際擬合過程中常常需要進行多次迭代。若能滿足最大相對誤差值|er|max小于控制值，則可認為達到擬合精度，擬合完成：

(6)

式中：Sa,i(Tj,ζ)為第i次迭代后得到的時程agi(t)對應的反應譜值。

2 考慮最大加速度反應貢獻趨向的改進

為確保時程的疊加可以使原始地震動更趨近目標反應譜，在疊加增量加速度時程時，本文考慮增量加速度時程引起的最大加速度反應對趨向目標反應值的貢獻情況，即式(5)可轉(zhuǎn)換為：

ag1(t)=ag0(t)+sgn[aa0(tm,g)×Δaa(tm,Δ)]Δag-aft(t)

(7)

若初始時程最大反應aa0(tm,g)與增量時程最大反應Δaa(tm,Δ)同向，則增量加速度時程的貢獻是正向的，sgn[x]=1；反之，增量加速度時程的貢獻是反向的，sgn[x]=-1。

若經(jīng)過i次迭代調(diào)整后的時程引起的加速度反應為：

(8)

將每一次迭代時式(7)得到的ag1(t)帶入式(8)，并令：

(9)

則式(8)可以簡化為：

(10)

根據(jù)Lilhanand等(1988)的研究，在時程中疊加一個幅值較小的脈沖函數(shù)，不影響結(jié)構(gòu)動力反應最大值出現(xiàn)的時刻，可認為aa(i+1)(t)與aa(i)(t)最大值出現(xiàn)的時刻相同。因此可令t=tm,g，則有：

(11)

ΔS(Tn,ζ)=ST(Tn,ζ)-Sa,i(Tn,ζ)

(12)

Sai(Tn,ζ)=|aai(tm,g)|

(13)

若期望下一次迭代時收斂，則有：

|aa(i+1)(tm,g)|=ST(Tn,ζ)

(14)

則可將式(12)和(13)代入式(11)，可得：

aa(i+1)(tm,g)=sgn[aa(i)(tm,g)]×ST(Tj,ζ)

(15)

可見，考慮增量時程最大反應譜貢獻趨向可以保證迭代更快貼近目標譜值ST(Tj,ζ)。

圖1中以El-Centro波NS分量為初始地震動時程，對比考慮增量時程反應趨向的改進前、后對同一目標譜的擬合速度。從圖中可以看出，改進前，經(jīng)過20次迭代后最大相對誤差仍在30%左右，改進后，20次迭代就可使最大相對誤差降到5%以下。

利用改進方法對初始地震動時程進行調(diào)整后，得到加速度、速度和位移時程曲線，如圖2所示。由圖可以看出，改進方法能保證地震動速度時程的基線不出現(xiàn)漂移，僅在地震動位移時程尾部可見小幅基線偏移。

圖1 改進前、后擬合精度與迭代次數(shù)之間關系的對比Fig.1 Comparison of relative error and iteration numbers before and after improvement

圖2 調(diào)整前、后E1-Centro波NS分量地震動加速度、速度及位移時程對比圖Fig.2 Comparison of the ground motion acceleration， velocity and displacement curves of NS component of E1-Centro wave before and after modification

3 考慮誤差排序的改進

在每一輪迭代時，需根據(jù)各控制點誤差大小進行針對性地調(diào)整。以集集地震中TCU052臺站的2個水平分量記錄以及汶川地震臥龍(WCW)臺站的2個水平分量記錄作為初始時程，以《核電廠抗震設計規(guī)范》(GB50267—1997)的多阻尼標準反應譜為目標，擬合地震動時程。在擬合時采用2種思路：第一種是傳統(tǒng)的控制點按照周期從小到大且阻尼從小到大的順序進行擬合，得到最小的相對誤差為erD；第二種是根據(jù)每一輪調(diào)整后各(ζ，Tj)處的誤差值，按從小到大進行排序，作為下一輪調(diào)整的順序，得到的最小相對誤差為erE。則在迭代的某一時刻2種思路給出的誤差之差為：

Δer=erD-erE

(16)

式(3)中參數(shù)n1和n2的取值會影響增量加速度時程的作用區(qū)間，為研究不同增量加速度時程下2種擬合思路的差別，此處取n1=2，3，4，…，8和n2=2，3，4，…，8，共49種組合，對(n1，n2)每一種組合形成的增量加速度時程，都按2種擬合思路進行調(diào)整并計算Δer，然后統(tǒng)計出49組增量時程的Δer值，如圖3所示。從圖中可以看出，對于絕大多數(shù)增量加速度時程來說，Δer都是正值，即erD＞erE，表明在相同的迭代次數(shù)下按誤差變序的擬合思路在絕大多數(shù)情況下都可以給出更高的擬合精度。

圖3 集集地震(a)和汶川地震(b)地震動時程按2種擬合思路調(diào)整后最小相對誤差之差直方統(tǒng)計圖Fig.3 Histogram of the difference of minimum relative error between two adjustment methods of the Chichi earthquake (a)and the Wenchuan earthquake(b).

4 工程應用

為驗證本文提出的改進后的時域調(diào)整法的有效性，以El-Centro波NS分量為初始地震動時程，以《核電廠抗震設計規(guī)范》(GB50267—1997)多阻尼設計反應譜作為目標譜，利用上文提出的2種改進思路，進行人工地震動時程的生成。調(diào)整初始地震動時程前，首先將初始地震動的峰值加速度標定到所選目標反應譜對應的峰值加速度水平(0.3 g)。圖4為調(diào)整前、后的EI-Centro波多阻尼反應譜。從圖中可以看出，調(diào)整后的人工地震動時程的反應譜可以在全部阻尼上很好地吻合目標反應譜。

表1中列出了最后一輪迭代后不同(ζ，Tj)對應的反應譜值與目標反應譜值之間的誤差。由表1可知，在所有控制點中最大的相對誤差為4.85%，滿足《工程場地地震安全性評價》(GB17741—2005)的規(guī)定，說明本文提出的方法是有效可行的。

表1 調(diào)整后地震動反應譜與多阻尼目標反應譜之間的相對誤差Tab.1 Errors between ground motions response spectrum and multi-damping target spectrum

圖4 調(diào)整前、后的El-Centro波NS分量的多阻尼反應譜
Fig.4 Muti-damping spectra of NS component of El-Centro wave before and after adjustment

5 初始“種子”時程選取的影響

多阻尼目標反應譜的擬合會對地震動的波形和傅里葉譜產(chǎn)生較大影響。選取5條天然地震動時程作為“種子”，其基本信息見表2。圖5為5條“種子”時程的加速度曲線和傅里葉譜幅值圖。

表2 5條“種子”時程的基本信息Tab.2 Information for selected seed records

從圖5可以看出，汶川臥龍(WCW)臺站的2個水平分量時程中有2個明顯的波包，指示著震源破裂過程中可能存在2次明顯主破裂，其傅里葉幅值譜也顯示W(wǎng)CW臺時程中含有豐富的高頻成分，且高頻段加速度幅值比其它“種子”時程大。而花蓮地震中HWA008臺和HWA191臺時程表現(xiàn)出明顯的長周期脈沖特征，其傅里葉幅值譜也體現(xiàn)了1 Hz以下長周期段的顯著能量；ILA050臺時程則更符合通常工程抗震分析中應用的地震動時程特征，主要能量分布在3～10 Hz。

使用本文提出的改進后的多阻尼目標反應譜擬合方法對5條“種子”時程進行調(diào)整，調(diào)整后的“種子”時程多阻尼反應譜與目標反應譜的對比如圖6所示。由圖可見，本文改進的方法可以保證不同“種子”時程與多阻尼目標反應譜吻合，擬合的相對誤差均能控制在5%以內(nèi)。但對比調(diào)整后的時程及傅里葉幅值譜(圖7)發(fā)現(xiàn)，不同“種子”時程在調(diào)整后雖然能夠與多阻尼目標反應譜吻合，但一定程度上仍然保留了初始時程的一些特性。比如，調(diào)整后WCW臺時程在時域上依然存在2個明顯的波包，PGA出現(xiàn)的時刻也接近初始地震動時程；仍然可以在HWA008臺和HWA191臺，時程尾部觀察到較為明顯的長周期分量；只有ILA0505臺時程調(diào)整前后的波形差別比較大，特別是在持時變化上，顯著持時有5倍以上的拉長。對比各“種子”時程的傅里葉幅值譜也可以看出，在高頻段的能量分布上，WCW臺時程相對其他時程仍顯著，且主頻段的加速度幅值也明顯大于其它時程。這不僅表明采用不同“種子”仍可以保證與同一組目標反應譜吻合，而且調(diào)整后的地震動時程也會保留一部分原有的地震動特性。已有研究表明，較大面積的脈沖個數(shù)對結(jié)構(gòu)最大彈塑性位移反應有較明顯的影響(陳永祁，1984)；遠場長周期地震動對超高層建筑、大跨度橋梁以及輸電線路等結(jié)構(gòu)自振周期較長的結(jié)構(gòu)破壞比較大(賈鵬，2016)；對于同一結(jié)構(gòu)物不同剛度的地基，其地震反應譜亦不相同(李偉鑫等，2016)。因此，在選擇“種子”時程時，需將“種子”時程特征與工程需求相結(jié)合，如應更多考慮后續(xù)抗震分析中結(jié)構(gòu)位移反應、結(jié)構(gòu)動力特性及工程場地條件。

圖5 “種子”地震動加速度時程曲線和傅里葉譜幅值圖Fig.5 Time history and Fourier amplitude spectrum for seed record

圖6 調(diào)整前、后不同“種子”地震動時程的多阻尼反應譜與目標反應譜Fig.6 The target spectra spectra and the multi-damping response spectra of different seed ground motion before and after modifications

圖7 不同“種子”時程對應的調(diào)整后的地震動時程及其傅里葉反應譜Fig.7 Time history and Fourier amplitude spectrum of modified ground motion for different seed record

6 結(jié)論

本文借助時域調(diào)整法進行多阻尼目標反應譜擬合，并基于現(xiàn)有的時域調(diào)整法提出2種改進思路，借助El-Centro波的工程應用，利用改進后的時域調(diào)整法對5條典型的天然地震動時程進行調(diào)整，對比分析調(diào)整前后的地震動時程在時域和頻域特性上的差異。結(jié)果表明：雖然采用不同“種子”時程可以保證與同一多阻尼目標反應譜相吻合，但是調(diào)整后的地震動時程仍會保留部分原有的地震動特性。因此，“種子”時程的選擇時應更多考慮后續(xù)抗震分析時的結(jié)構(gòu)物動力特性。若期望為大跨度橋梁等柔性構(gòu)筑物提供抗震分析的地震動輸入，那么在“種子”時程選擇時就應偏重長周期特征明顯的地震動記錄。反之，若期望為核電站等剛性構(gòu)筑物提供輸入，則選擇“種子”時程應盡可能考慮高頻成分顯著的天然地震記錄，以保證利用調(diào)整后的地震動時程進行抗震反應分析時，仍能夠更大可能地獲取構(gòu)筑物的共振反應。