光柵尺位移測量系統熱態特性分析

胡發偉，張文濤，熊顯名，杜 浩

（桂林電子科技大學 電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

隨著科學技術的進步與發展，對產品加工和工業技術要求的精度越來越高，高精度測量技術越來越受到重視。作為集成電路制造的核心裝備，光刻機決定了集成電路的特征尺寸和集成度。運動臺（掩膜臺和工件臺）的位置測量直接影響光刻機三大性能指標中的產率和套刻精度[1]。上海SMEE公司正在研制的28nm浸沒式光刻機代表了國內最高水平，其掩膜臺套刻精度要求達到 5.7nm，這無疑對光刻機運動臺的位置測量提出了更高的精度要求。

圖1 測量光柵和讀數頭相對位置Fig.1 Relative position of measuring grating and reading head

目前，應用于光刻機運動臺定位的超精度、高分辨率和大行程位移測量傳感器主要是激光干涉儀和光柵位移傳感器。激光干涉儀以激光波長作為測量基準，受環境因素影響較大。光柵位移傳感器以光柵的柵距作為測量基準，與激光干涉儀相比，受環境因素影響相對較小，在成本和環境控制方面具有很大優勢[2]。針對28nm浸沒式光刻機以及14nm預研對位置測量提出的超高精度要求，環境誤差對于光柵尺位移測量系統的影響已經不可忽略。熱誤差作為影響光柵尺位移測量系統測量精度最主要的環境誤差項，它的存在大大地增加了測量結果的不確定度。

本文依托桂林電子科技大學承擔的國家02專項子課題《高精度位置測量系統在線標定技術研究》，設計并搭建了具有納米級分辨率的光柵尺位移測量系統。為了能夠得到環境溫度變化對測量系統的影響，應用COMSOL有限元分析軟件對測量光柵和讀數頭進行了熱-結構耦合分析，得到了光柵和讀數頭鏡組的熱態特性，為實際應用中光柵尺位移測量系統的環境控制提供了參考，也為下一步通過實驗方式檢測環境誤差對測量系統的影響奠定了基礎。

1 COMSOL建模和邊界條件計算

1.1 光柵尺、讀數頭鏡組有限元模型建立

如圖1所示，為測量光柵和讀數頭的相對位置分布圖，4塊規格為68mm×68mm×9mm的一維光柵逆時針依次旋轉90°布局于光柵承載臺上，4個讀數頭由讀數頭安裝基板固定在測量光柵的Z軸正向，同4塊光柵一樣呈交叉分布形態對應部署于每塊測量光柵上方。測量光柵和讀數頭鏡組作為測量系統重要的組成部分，對于測量環境溫度變化比較敏感，下面將利用COMSOL有限元分析軟件來建立它們的有限元模型，以便進一步分析環境溫度變化對它們的影響，如圖2所示為測量光柵和讀數頭鏡組的有限元模型圖。

1.2 熱源

1.2.1 直流電機發熱

一般地，直流電機的熱消耗功率計算公式為[3]：

式（1）中，R=R20[1+α(TN-20℃)]為相電阻，單位為Ω，其中，α為溫度系數；I=F/KF為有效電流，其中，F為電機動力，單位為N，KF為常量，T=20℃時，KF=116。

通過閱讀PI微型定位六足運動臺的技術文檔可知：分別安裝于運動臺六足上精密冷卻器可排出電機所產熱量的95%～99%，只有很小一部分熱量會傳遞到六足運動臺上表面。

測量光柵和讀數頭未與運動臺直接接觸，所以在熱分析時，將電機工作產生的熱量轉化為對應的環境溫度載荷施加于測量光柵和讀數頭外表面。

1.2.2 激光電磁熱

測量系統采用的激光器能夠輸出功率為900mw、光斑直徑6mm的激光束，入射激光束通過讀數頭的入射光軸射入到內部光學元件的表面，一部分能量在通過光學元件表面時被反射掉，另一部分則被光學元件吸收使得光學元件溫度升高，從而在測量空間中形成一個局部熱源，并按照固體熱傳導規律在光學元件內部或各光學元件之間進行能量傳遞。由于熱量的傳遞會在光學元件中形成不同的溫度分布，該溫度場分布主要取決于光學元件表面的吸收系數、用于制造光學元件的材料的熱傳導系數、比熱容以及激光功率密度等。由激光產生的熱量在光學元件中的擴散狀態可用函數表示為：

式（2）中，ρ(T)為光學材料的密度；c(T)為光學材料的比熱容；T為溫度；k(T)為光學材料的熱傳導系數；q(r,t)v為單位體積的熱產生率。讀數頭內部光學元件的材料屬性見表1。

表1 光學元件材料屬性Table 1 Optical material material properties

考慮到光學元件的溫度場變化，是外部結構件熱傳遞和激光輻射加熱共同導致的結果。故在三維坐標系下的傳熱方程可表示為[4]：

1.3 初始條件和邊界條件

1.3.1 初始條件

假設環境溫度為20℃，測量光柵和讀數頭鏡組的初始溫度也為20℃。

1.3.2 自然對流傳熱

由努謝爾特準則可知，自然對流的換熱系數計算公式為[5]：

式（4）中，Nu為努謝爾特數；λ為流體導熱系數，單位為W/(m·℃)；D為特征尺寸，單位為m。由此式可知，努謝爾特數是計算換熱系數的關鍵，可通過下面得表達式求得[6]。

圖3 測量光柵溫度分布圖Fig.3 Temperature distribution of measuring grating

式（5）和式（6）中C、n為常數，可通過查表得到，定性溫度取壁面溫度與流體溫度的平均值；Ra為瑞利數；Gr為格拉曉夫數；Pr為普朗特數；g為重力加速度，單位為m/s2；β為流體的體積膨脹系數，單位為℃-1；ρ為流體的密度，單位為kg/m3；ΔT為換熱表面與流體的溫差，單位為℃；μ為流體粘度，由流體固有物理性質決定的物理量，單位為pa·s，即N·s/m2。對于測量光柵和讀數頭來講，都屬于自然對流方式傳熱，計算得到的光柵尺上表面的換熱系數為1.2W/(m2·℃)，側立面的換熱系數為0.4W/(m2·℃)；讀數頭下表面的換熱系數為1.3W/(m2·℃)，側立面的換熱系數為0.8W/(m2·℃)。

2 光柵尺和讀數頭鏡組熱特性研究

2.1 光柵尺熱變形仿真及結果分析

通過前面邊界條件的計算，在COMSOL中對光柵尺材料屬性和邊界條件進行設定。由于光柵是通過光柵承載臺固定于六足運動臺上表面，光柵在Z軸負向的位移量為0，故在固體力學仿真中將光柵的下表面設置為輥支撐，余下光柵外表面與空氣之間通過自然對流方式進行傳熱。運動臺工作1h，測量光柵附近溫度升高1℃，將該溫度作為光柵仿真的載荷，得到如圖3所示的光柵溫度分布圖。

測量光柵基底采用低膨脹系數的微晶玻璃，如圖3所示，運動臺工作1h，測量光柵周圍環境溫度提高1℃的條件下，測量光柵的自身溫度提高0.2℃，呈現出較為均勻的20.2℃。此時光柵的形變量如圖4所示，達到穩態時的光柵形變量如圖5所示。

從仿真結果可以看出，當環境溫度升高1℃時，測量光柵沿X、Y和Z方向上都會發生形變，1h的最大形變量為0.12nm，達到穩態后的最大形變量可達到0.49nm，而光柵中間位置的形變量則很小。因此，光柵形變不僅與溫度相關，與在測量光柵中的位置分布也關系密切。當測量光柵四周的形變量達到0.5nm時，也就意味著測量光柵的行程要增加近乎1nm，這是光刻機運動臺的超高精度要求是不允許的。

圖4 工作1小時光柵形變量Fig.4 Grating deformation for 1 hour of operation

為了更加直觀地描述光柵熱變形對測量結果的影響，下面以X方向為例，分析單個光柵熱變形帶來的零位漂移誤差和示值誤差。如圖6所示為X方向光柵熱變形前后的示意圖，圖中OX和OX'分別為光柵熱變形前后X方向光柵的零位；L和L'分別為光柵熱變形前后光柵總長度；X和X'分別為光柵熱變形前后光柵上任意一點到零位的距離；L1和L1'分別為光柵熱變形前后光柵中點到光柵零位的距離；L2和L2'分別為光柵熱變形前后光柵中點到光柵末端的距離；P和P'為X方向光柵中點，由光柵的形變圖可以看出光柵中間位置形變量很小，因此可近似認為P和P'為同一點。

從圖6中可以看出：

光柵熱變形會導致光柵長度發生變化，則可得到光柵熱變形后的光柵零位位置為：

則光柵在X方向上的零位漂移誤差δ0，其表達式為：

通過閱讀PI運動臺的技術文檔可知，運動臺在X正方向上的最大位移量為16mm，位于區間[0,L1]內，則光柵上任意一點的位置在光柵熱變形前后的關系可表示為：

圖5 穩態后光柵的形變量Fig.5 Deformation of the grating after steady state

圖6 X方向光柵熱變形前后示意圖Fig.6 Schematic diagram of the X-direction grating before and after thermal deformation

由此可得到示值誤差δ1為：

結合前面的仿真結果可得到，當測量光柵周圍溫度升高1℃，光柵在X方向上的零位漂移誤差和示值誤差最大可達到-0.49nm，大大地增加了測量結果的不確定度。

2.2 讀數頭鏡組熱變形仿真及結果分析

讀數頭鏡組的溫度載荷由外部環境溫度和激光電磁熱共同導致，在初始狀態下讀數頭鏡組和外部結構件的溫度都為環境溫度20℃。

圖7 讀數頭鏡組溫度分布Fig.7 Temperature distribution of the reading head lens group

如圖7所示，初始時刻讀數頭鏡組的溫度與外界溫度相同，工作1h后，在外部環境溫度上升1℃的情況下，讀數頭鏡組的溫度分布也隨之發生變化，與外部結構件接觸面最多的偏振分光鏡溫度最高，角錐棱鏡溫度相對較低，由于仿真中光學元件都采用同種材料，導熱系數相同，所以不同光學元件間的溫差不大。

圖8為外界環境溫度升高1℃時讀數頭的形變量，最大形變值為0.09μm，平均熱漂移系數約為0.05μm/℃。為了進一步分析環境溫度變化對讀數頭的影響，下面將結合仿真得到的結果分析由于溫度變化導致的讀數頭折射率變化。由前面的讀數頭溫度分布圖可知，當測量環境溫度升高時，讀數頭鏡組溫度呈現出明顯的梯度分布。讀數頭鏡組所用光學材料的折射率會隨著溫度變化而變化，此時的讀數頭鏡組就相當于一個梯度折射率鏡組，折射率的分布與鏡組中的溫度梯度有關，可結合對應的折射率溫度系數求得。

通常情況下，一定溫度范圍內的折射率溫度系數被認為是一個常數，即折射率和溫度為線性關系，線性化系數為折射率溫度系數，記為dn/dt，故讀數頭鏡組的折射率分布表示為：

式（13）中，n0為讀數頭鏡組表面一點處的折射率；Δt為讀數頭鏡組內部的溫差；d0為鏡組厚度。上式是沒有考慮讀數頭鏡組形變時折射率的分布，而鏡組上某點的實際折射率是按照真實位置的折射率來計算的，即需要考慮鏡組形變的影響，故需對式（13）進行修正，使用鏡組形變后的厚度d '來代替原始厚度d0。

由于讀數頭鏡組表面一點處的溫度不一定是讀數頭鏡組所使用光學材料折射率對應的標準溫度，因此n1不能直

圖8 讀數頭鏡組熱漂移Fig.8 Reading headlens group thermal drift

接用標準溫度下的折射率來計算，其計算公式為：

式（15）中，n0為標準溫度下光學材料折射率；Δt為實際溫度于標準溫度存在的溫度差。

3 結束語

上述的有限元仿真結果表明：光柵尺位移測量系統工作1h，測量光柵附近溫度升高1℃的情況下，達到穩態的光柵最大形變值為0.49nm，由此帶來的光柵在X方向上的零位漂移誤差和示值誤差最大可達到-0.49nm；讀數頭鏡組最大形變值為0.09μm，平均熱漂移系數為0.05μm/℃，鏡組溫度和折射率呈現出明顯的梯度分布。為了進一步獲得實際工況下由環境溫度變化帶來的測量誤差，下一步將通過實驗方式來檢測環境溫度變化對測量結果的影響。