改進的基于灰度級的模糊C均值圖像分割算法

趙戰民，朱占龍*，王軍芬

(1．河北地質大學 信息工程學院，河北 石家莊 050031；2.河北地質大學 人工智能與機器學習研究室，河北 石家莊 050031)

1 引 言

圖像分割是圖像處理中的關鍵任務之一，其目的是將圖像劃分為兩個或更多的區域[1]以進行后續的識別、測量等工作。現存在眾多分割算法能有效對圖像進行分割，其中基于模糊C均值(Fuzzy C-means, FCM)算法[2-8]是一種較經典的圖像分割算法。

為提升算法的魯棒性，研究人員提出了許多FCM算法的改進版本。按照算法的執行框架，可以將這些改進算法分為兩類：一類是基于圖像像素的圖像分割算法，具體是將每個像素單獨考慮，按照最終隸屬度大小對圖像進行分割[2-4]，如典型的結合鄰域信息的FCM(Fuzzy Local Information C-means, FLICM)[3]以及結合非鄰域空間信息的FCM(Fuzzy C-means with Non-local Spatial Information, FCM_NLS)[4]。這類算法通過在目標函數中引入像素的鄰域或者非鄰域信息提升了算法的魯棒性；另一類是基于圖像灰度級的分割算法[5-8]，與第一類不同之處在于，為保證算法魯棒性，首先要對圖像進行去噪，常見的有基于像素鄰域平均法[5]以及同時考慮像素鄰域值和鄰域位置方法[6]對圖像去噪。該類方法在降噪圖像的基礎上生成灰度直方圖，再將灰度級以及相應灰度級的個數一起考慮進行聚類分割。因為灰度級個數遠小于圖像像素個數，進而導致圖像分割速度明顯加快。

無損檢測圖像一般由超聲檢測、渦流檢測等手段對材料或工件進行檢測而得，通過圖像分割能夠發現材料或工件表面和內部的缺陷，也能進行尺寸測量與識別。無損檢測圖像因為易受到干擾而清晰度較差且往往呈現出灰度分布不均衡的特點[9]。FCM的改進算法誠然提升了算法魯棒性，但它們分割不均衡特性的圖像效果較差，其根本原因在于它們總是趨于均分圖像像素[10]，這是由于算法的目標函數所導致，因此有必要對目標函數進行改進。文獻[10-11]針對數據不均衡問題對目標函數進行了改進，但后續并未進行嚴格推導且未能推廣至圖像分割領域。

針對無損檢測圖像呈現出的灰度分布不均衡的狀況，本文在基于灰度級的模糊C均值框架基礎上設計新算法，在繼承該框架運行速度快的優勢的同時也能夠有效分割無損檢測圖像。本文算法設計了每一類隸屬度之和的表達式并將其引入至基于灰度級模糊C均值的目標函數中，進而得到了新的隸屬度和聚類中心表達式，隨后考慮了類緊密度對聚類進程的影響并給出新算法的執行步驟，最后利用具有灰度分布不均衡特性無損檢測圖像對本文算法進行分割測試，結果表明本文算法能夠對無損檢測圖像進行有效分割。

2 相關工作

2.1 基于灰度級的模糊C均值目標函數及迭代公式

基于灰度級的模糊C均值算法的目標函數如下：

(1)

其中：vi(1 ≤i≤c)為聚類中心，N表示圖像的像素數，γl表示灰度級l的像素數，m是模糊指數，uil表示灰度級l屬于第i類的隸屬度，ζ表示去噪后的圖像。由拉格朗日乘子法最小化式(1)，可得：

(2)

(3)

基于灰度級模糊C均值算法的執行過程參見文獻[6]。

2.2 典型圖像去噪方法

Cai等人提出了一種有效的圖像去噪方法[6]，具體表示為：

ζj=∑i∈NjSijxi/∑i∈NjSij，

(4)

(5)

3 本文算法

3.1 目標函數的改進

由于目標函數的限制導致基于灰度級的快速模糊C均值算法仍趨于均分待分割圖像的所有像素。如果待分割圖像灰度分布不均衡，這類算法很容易造成圖像分割失敗[10]，這便需要對目標函數進行改進，如下所示：

(6)

對式(6)進行改寫，如下：

(7)

由式(7)可以看出，當第i類為較大類時，式中除數也較大，故采用上式可以弱化較大類對目標函數的貢獻，從而避免使得較小類的聚類中心向較大類靠攏，造成分割效果較差。另外，需指出，該式的約束條件與式(1)保持一致。采用拉格朗日乘子法對式(6)優化，首先構造如下拉格朗日輔助函數：

(8)

(9)

由式 (9)可得：

(10)

(11)

將式(11)代入式(10)可得：

(12)

(13)

則 式(12)和 式(13)為新的隸屬度和聚類中心表達式。

3.2 類的緊密度

除了類的大小對聚類結果存在影響外，類的緊密度(密度)對聚類結果也有較大作用。顯然，如果某一類具有較大的緊密度，那么我們希望在聚類過程中提升該類對聚類結果的影響，反之亦然。本文基于灰度級的模糊C均值框架設計了類的緊密度表達式如下：

(14)

其中：

Si={ζl|uil>upl;p=1,2,...,c;p≠i}，

(15)

(16)

式(14)～(16)中，γl仍為像素灰度級為l的個數，Si表示第i類像素組成的像素集，|Si|表示該類像素集的數目，μi表示第i類像素與聚類中心vi距離的平均值。Ii值越小反映出該類具有越高的緊密度，表明第i類的像素屬于該類的可能性越高，反之亦然。為了在類與類之間做一個橫向對比，采用下式處理：

fi=(1-Si)/(1-Smin)，

(17)

其中：

(18)

Smin=min{Si,i=1,2,...,c}，

(19)

需要指出，式(17)中的fi定義為相對的緊密度系數。由式(17)～(19)可以看出，如果某類具有較高的系數，則說明該類的像素灰度值分布較為緊湊，將此系數融入至聚類進程能夠提升聚類精度，公式如下：

(20)

3.3 本文算法的執行步驟

本文算法的執行流程描述如下：

輸入：聚類中心數c，模糊指數m，參數λs、λg，最大迭代次數T，終止條件ε；

(1)利用式(4)對原圖像進行去噪得到圖像ζj；

(2)利用去噪圖像得到相應的灰度直方圖ζl；

(3)隨機初始化聚類中心V0；

(4)Forq= 1∶Tdo

(5)按照式(2)利用V(q-1)計算隸屬度Uq；

(6)將類的大小引入至隸屬度，即更新Uq，如式(12)所示；

(7)將類的緊密度引入至隸屬度，即更新Uq，如式(20)所示；

(8)由新的隸屬度更新Vq，如式(13)所示；

(9)If ‖Vq-Vq-1‖<ε或q>T，then執行12；

(10)End if

(11)End for

(12)輸出U，由此判決灰度級ζl對應的類，得到分類結果。

4 實驗與結果

4.1 實驗參數設置及說明

為了測試本文算法對無損檢測圖像的分割效果，選用F_value評價指標[11]來評價其分割效果，其表達式如下：

(21)

其中P為查準率，R為查全率，β為度量P和R的相對重要性。該指標能夠有效評價具有灰度分布不均衡特征圖像的分割結果，其值越大表示分割效果越好。將本文算法與其他基于灰度級的模糊C均值算法進行比較，如增強FCM(Enhanced Fuzzy C-means, EnFCM)算法[5]、快速廣義FCM(Fast generalized fuzzy C-means, FGFCM)算法[6]、文獻[7]算法和FNDFCM_P(Fast noise detection fuzzy C-means and post-processing, FNDFCM_P)算法[8]。之所以與這些算法進行比較，是因為這些算法都是基于灰度級的快速模糊C均值算法，相比較基于像素的模糊C均值算法具有明顯的速度優勢，同時這些算法在各自的論文中都取得了顯著的分割效果。因此，在后續的分割實驗中對比算法的參數皆來自相應論文的推薦值，各算法的參數設置如表1所示。實驗環境為：Matlab (R2014a)、3.40 GHz Intel?CoreTMi3-2130處理器，2 GB內存，Windows7中文版操作系統。

表1 算法參數設置Tab.1 Parameters setting of these algorithms

選擇無損檢測圖像(分別命名為#NDT1～#NDT5)進行分割試驗且所選擇的圖像具有標準分割結果，有利于對算法進行定量評價。圖1給出了原圖像、對應的標準分割圖像和灰度直方圖。通過灰度直方圖可以看出，所選擇的無損檢測圖像都具有灰度分布不均衡的特點。

(a)～(e) 原圖像 (#NDT1～#NDT5)(a)～(e) Original images (#NDT1～#NDT5)

(f)～(j) 標準分割圖像 (#NDT1～#NDT5)(f)～(j) Standard segmented images (NDT1～NDT5)

(k)～(o) 灰度直方圖 (#NDT1～#NDT5)(k)～(o) Gray-level histograms (#NDT1～#NDT5)圖1 原圖、標準分割圖及灰度直方圖(#NDT1～#NDT5)。Fig.1 Original images, standard segmented images and gray-level histograms(NDT1～NDT5).

4.2 分割結果

圖2～6展示了各算法對無損檢測圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果。另外，為了測試算法的適應性和魯棒性，對圖像在其他噪聲水平干擾下進行了分割實驗，測試結果如表2所示。由圖2～6展示的可視分割結果與各自的標準分割圖像(圖1(f)～(j))相比對可以看出，所提出的算法能夠有效地對具有灰度分布不均衡的圖像進行有效分割，而其對比算法由于沒有考慮圖像灰度分布不均衡特性，分割效果較差。另外也可以看出，文獻[7]算法的抗噪性最強，但存在邊緣模糊現象，這是此種算法的去噪特性決定的。由表2的指標值F_value可以看出，所提出的算法分割結果最好，說明了本文算法對基于灰度級的模糊C均值算法的目標函數進行改進是有效的，它繼承基于灰度級聚類的速度優勢的同時，改善了模糊C均值算法總是趨于均分圖像像素數目的缺陷。

圖2 #NDT1圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果Fig.2 Segmentation results of #NDT1 with Gaussian noise (0, 0.01) based on thesealgorithms

圖3 #NDT2圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果Fig.3 Segmentation results of #NDT2 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖4 #NDT3圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果Fig.4 Segmentation results of #NDT3 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖5 #NDT4圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果Fig.5 Segmentation results of #NDT4 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖6 #NDT5圖像的高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結果Fig.6 Segmentation results of #NDT5 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

表2 對#NDT1～#NDT5圖像各算法的分割指標(F_value)對比
Tab.2 Indexes(F_value) comparison of different algorithms on #NDT1～#NDT5 images with different noise

Image噪聲水平EnFCMFGFCMRef.[7] 算法FNDFCM_PIFCMG# NDT1Gaussian noise(0,0.01)0.429 10.416 30.473 20.402 70.644 9Gaussian noise(0,0.02)0.400 20.409 10.488 20.365 10.625 3Salt &Pepper noise(0.1)0.409 00.531 20.449 90.374 40.734 3Salt &Pepper noise(0.2)0.336 50.435 10.384 20.398 50.623 6# NDT2Gaussian noise(0,0.01)0.757 70.771 50.836 90.630 40.935 0Gaussian noise(0,0.02)0.638 00.668 70.818 90.574 50.907 6Salt &Pepper noise(0.1)0.604 40.782 20.827 60.633 40.942 9Salt &Pepper noise(0.2)0.446 40.669 00.720 20.576 20.878 6# NDT3Gaussian noise(0,0.01)0.657 20.679 70.795 20.584 80.911 8Gaussian noise(0,0.02)0.551 00.567 70.667 60.502 00.822 7Salt &Pepper noise(0.1)0.556 30.804 50.624 50.577 70.923 0Salt &Pepper noise(0.2)0.480 60.653 80.606 00.552 60.830 3# NDT4Gaussian noise(0,0.01)0.887 20.895 70.928 00.866 70.941 6Gaussian noise(0,0.02)0.841 80.861 00.910 40.826 20.913 1Salt &Pepper noise(0.1)0.835 00.903 30.913 40.863 60.941 0Salt &Pepper noise(0.2)0.755 00.846 80.874 10.831 60.899 4

續 表

4.3 綜合性(魯棒性)分析

采用公式(22)評價本文算法的魯棒性[12]：

(22)

其中：n表示算法個數，Ri表示算法i在某幅圖上的相對分割表現，其值越高，越表明算法i在某幅圖上的分割效果越好，取值范圍為(0,1]。

將表2中各算法的指標按照式(22)進行調整得到Ri值并進行累加，可得算法i的綜合分割表現，即算法的魯棒性。累加的結果如圖7所示，顯然，所提出的算法具有最高的魯棒性，比其他算法分別高出4.43，2.79，2.33，4.26，折合百分比分別為26.13%，16.46%，13.75%，25.10%。

圖7 算法魯棒性分析Fig.7 Robustness of these algorithms

5 結 論

本文提出一種快速的基于灰度級的模糊C均值圖像分割算法。無損檢測圖像具有灰度分布不均衡的特征，將能夠表征灰度分布不均衡特性的類隸屬度表達式融入至基于灰度級的模糊C均值算法目標函數并將其嚴格推導。同時，為了度量類的密度對聚類的影響，設計基于灰度級的類緊密度并將其融入迭代進程。采用本文算法和對比算法對添加了不同水平噪聲的無損檢測圖像進行分割實驗并采用F_value指標進行算法衡量。最后利用綜合評價公式對所有的F_value值進行算法綜合評價，結果顯示，本文算法的綜合評價值比其他對比算法分別高出26.13%，16.46%，13.75%，25.10%，顯示了本文算法分割的有效性和魯棒性。